RegistrierenRegistrieren   LoginLogin   FAQFAQ    SuchenSuchen   
Rotation des Bezugssystems und Spin
 
Neue Frage »
Antworten »
    Foren-Übersicht -> Quantenphysik
Autor Nachricht
Lennard
Gast





Beitrag Lennard Verfasst am: 24. Sep 2014 14:19    Titel: Rotation des Bezugssystems und Spin Antworten mit Zitat

Hallo community,

bzgl. des Eigendrehimpulses spin +/- 1/2 eines z.B. Elektrons trifft man desöfteren auf die Formulierung, daß "das Teilchen sich zweimal um sich selbst drehen muß, um wieder gleich auszusehen".

Die bessere Formulierung müßte ja eigentlich lauten, daß das Bezugssystems des Elektrons zweimal rotiert werden muß, um ... .

In welchem Formalismus kann man zeigen oder nachvollziehen, daß es sich um eine Rotation des Bezugssystems handelt und nicht des Teilchens selbst ?

Danke für Input.
Lennard
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8210

Beitrag jh8979 Verfasst am: 24. Sep 2014 14:36    Titel: Re: Rotation des Bezugssystems und Spin Antworten mit Zitat

Lennard hat Folgendes geschrieben:
igen oder nachvollziehen, daß es sich um eine Rotation des Bezugssystems handelt und nicht des Teilchens selbst ?

Da die Aussage nicht richtig ist: Gar nicht.

Die korrekte Aussage lautet:
Durch eine Rotation um 2*pi wird ein Spin1/2-Zustand nicht in sich selbst überführt, sondern in "minus sich selbst". Erst nach Rotation um 4*pi erhält man den Ausgangszustand zurück.

Mit einem Bezugsystem hat dies nichts zu tun. Sondern letztendlich damit, das Rotationen im Raum durch die Gruppe SO(3) beschrieben werden, Rotationen im Spin-Raum aber durch SU(2). Nun ist aber SU(2) nicht gleich SO(3), sondern die "double covering group" (was ist denn das auf Deutsch? zweifache Überlagerung??..), d.h. es gibt einen Homomorphismus zwischen SU(2) und SO(3), bei dem aber zwei verschiedene Elemente von SU(2) auf dasselbe Element von SO(3) abgebildet werden.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 13864

Beitrag TomS Verfasst am: 24. Sep 2014 14:53    Titel: Re: Rotation des Bezugssystems und Spin Antworten mit Zitat

jh8979 hat Folgendes geschrieben:
Die korrekte Aussage lautet:
Durch eine Rotation um 2*pi wird ein Spin1/2-Zustand nicht in sich selbst überführt, sondern in "minus sich selbst". Erst nach Rotation um 4*pi erhält man den Ausgangszustand zurück.

Konkret: bezeichnet man mit |...> den qm Zustand und mit U(...) den Rotationsoperator, dann gilt



jh8979 hat Folgendes geschrieben:
... die "double covering group" (was ist denn das auf Deutsch? zweifache Überlagerung??..), ...

Überlagerungsgruppe

_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8210

Beitrag jh8979 Verfasst am: 24. Sep 2014 14:55    Titel: Re: Rotation des Bezugssystems und Spin Antworten mit Zitat

TomS hat Folgendes geschrieben:

jh8979 hat Folgendes geschrieben:
... die "double covering group" (was ist denn das auf Deutsch? zweifache Überlagerung??..), ...

Überlagerungsgruppe

Danke smile Bildungslücke: Kommt davon wenn das englische Wikipedia nicht auf einen deutschen Artikel verlinkt Augenzwinkern
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 13864

Beitrag TomS Verfasst am: 24. Sep 2014 15:05    Titel: Re: Rotation des Bezugssystems und Spin Antworten mit Zitat

jh8979 hat Folgendes geschrieben:
Kommt davon wenn das englische Wikipedia nicht auf einen deutschen Artikel verlinkt ;)

das ist bisweilen durchaus verständlich ...

_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Lennard
Gast





Beitrag Lennard Verfasst am: 24. Sep 2014 16:17    Titel: Re: Rotation des Bezugssystems und Spin Antworten mit Zitat

Danke für Eure Antworten.

Zitat:
Mit einem Bezugsystem hat dies nichts zu tun. Sondern letztendlich damit, das Rotationen im Raum durch die Gruppe SO(3) beschrieben werden, Rotationen im Spin-Raum aber durch SU(2). Nun ist aber SU(2) nicht gleich SO(3), sondern die "double covering group" (was ist denn das auf Deutsch? zweifache Überlagerung??..), d.h. es gibt einen Homomorphismus zwischen SU(2) und SO(3), bei dem aber zwei verschiedene Elemente von SU(2) auf dasselbe Element von SO(3) abgebildet werden.


Was ist ein Spin-Raum im gegensatz zu einem "normalen Raum" ?
Lennard
Gast





Beitrag Lennard Verfasst am: 24. Sep 2014 16:27    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo Tom, ich hätte auf jh8979s Schelte oben einen Einspruch von Dir erwartet, siehe Dein Input aus einem anderen Thread ...

TomS hat Folgendes geschrieben:
Nein.

Es geht nicht um die Rotation des Fermions, so dass daraus der Spin entsteht, sondern darum, was geschieht, wenn man das Bezugssystem rotiert, aus dem heraus man das Fermion betrachtet.

Stell dir Zifferblatt und Zeiger einer Uhr vor. Der Zeiger rotiert. Du kannst aber auch die Uhr "von außen" als ganzes rotieren, diese also aus unterschiedlichen Winkeln betrachten.

Im Falle der Fermionen kannst du letzteres ebenfalls tun (dafür steht mein R), allerdings darfst du dir nicht mehr vorstellen, dass da etwas wirklich rotiert; also kein Zeiger im eigtl. Sinne.
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8210

Beitrag jh8979 Verfasst am: 24. Sep 2014 17:28    Titel: Re: Rotation des Bezugssystems und Spin Antworten mit Zitat

Lennard hat Folgendes geschrieben:
Danke für Eure Antworten.

Zitat:
Mit einem Bezugsystem hat dies nichts zu tun. Sondern letztendlich damit, das Rotationen im Raum durch die Gruppe SO(3) beschrieben werden, Rotationen im Spin-Raum aber durch SU(2). Nun ist aber SU(2) nicht gleich SO(3), sondern die "double covering group" (was ist denn das auf Deutsch? zweifache Überlagerung??..), d.h. es gibt einen Homomorphismus zwischen SU(2) und SO(3), bei dem aber zwei verschiedene Elemente von SU(2) auf dasselbe Element von SO(3) abgebildet werden.


Was ist ein Spin-Raum im gegensatz zu einem "normalen Raum" ?

normaler Raum: drei reelle Dimensionen (x,y,z).
Spin-Raum: zwei komplexe Dimensionen (psi1, psi2).

Der Punkt ist, dass es eine gruppentheoretische, mathematische Eigenschaft is, dass dies auftritt. Und dass dies nichts mit Transformation von Bezugsystem vs Teilchen zu tun hat. Welches von beidem Man betrachten will ist letztendlich egal und hängt vom Standpunkt ab (aktive vs passive Rotation). Aber das letzte hat nichts mit SU(2) vs SO(3) zu tun.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 13864

Beitrag TomS Verfasst am: 24. Sep 2014 17:37    Titel: Antworten mit Zitat

Hm, Worte, ...

Was genau passt jetzt nicht zusammen?

Man muss zwei Dinge unterscheiden:
1) der Spin hat letztlich nichts mit der Rotation eines Teilchens zu tun. 2) man kann den Zustand |...> rotieren; das kann man als "tatsächliche" Rotation des Zustandes oder als Rotation des Bezugssystems auffassen

Diese Rotation wirkt nun zunächst weder im Spin-Raum noch im Ortsraum, sie wirkt auf den Zustand.

Man kann sich nun aber überlegen, was daraus resultiert, wenn man die Wellenfunktion berechnet. Das bedeutet letztlich





D.h. die Rotation U des Zustandes induziert eine Rotation D im Ortsraum bzw. eine Rotation S im Spinraum .

U ist ein SU(2) Operator, D eine SO(3) Rotation im Ortsraum (modulo Vorzeichen), S eine SU(2) Rotation im Spinraum.

EDIT: siehe Anmerkung von jh8979

_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 2096

Beitrag index_razor Verfasst am: 24. Sep 2014 18:34    Titel: Antworten mit Zitat

Nur ein formaler Einwand, aber ich denke da muß



stehen, sonst liefert D keine Darstellung der Drehgruppe auf den Wellenfunktionen in der Ortsdarstellung.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 13864

Beitrag TomS Verfasst am: 24. Sep 2014 19:31    Titel: Antworten mit Zitat

index_razor hat Folgendes geschrieben:
Nur ein formaler Einwand, aber ich denke da muß



stehen, sonst liefert D keine Darstellung der Drehgruppe auf den Wellenfunktionen in der Ortsdarstellung.
Ist das nicht reine Definitionssache?
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 13864

Beitrag TomS Verfasst am: 24. Sep 2014 19:55    Titel: Antworten mit Zitat

index_razor hat Folgendes geschrieben:
Nur ein formaler Einwand, aber ich denke da muß



stehen, sonst liefert D keine Darstellung der Drehgruppe auf den Wellenfunktionen in der Ortsdarstellung.

Ich sehe, was du meinst. Wenn man in meiner Notation das U in den Ket zieht, dann stünde dort das ^-1 und das sieht komisch aus. Also so wie bei dir, das ^-1 im Bra. Ein ^-1 braucht man, klar.

_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 2096

Beitrag index_razor Verfasst am: 24. Sep 2014 21:01    Titel: Re: Rotation des Bezugssystems und Spin Antworten mit Zitat

Achso, ich hatte das U schon angewendet auf den Ket gelesen. Mir war gar nicht aufgefallen, daß das bei unitären Transformationen ja gar nicht eindeutig ist. Aber noch eine andere Frage

jh8979 hat Folgendes geschrieben:
... das Rotationen im Raum durch die Gruppe SO(3) beschrieben werden, Rotationen im Spin-Raum aber durch SU(2).


Warum ist das eigentlich so? Bekomme ich nicht alle nötigen Informationen (Quantenzahlen, Auswahlregeln, etc.) sowieso letztendlich aus der Algebra? An welcher Stelle brauche ich eigentlich explizit die Gruppenstruktur der SU(2) bei der Behandlung des Spins? Warum kann ich keine SO(3)-Darstellung auf dem Spin-Raum verwenden?
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 13864

Beitrag TomS Verfasst am: 24. Sep 2014 21:27    Titel: Antworten mit Zitat

Nun, du klassifizierst die Darstellungen nach den Casimir-Operatoren; im Falle von Algebren mit Rang Eins hast du ebenfalls genau einen. Im Falle von su(2) und so(3) ist das gerade L^2.

Es gilt bekanntermaßen



Nun hat SO(3) als reelle Rotationsgruppe nur reelle Darstellungen, und das liefert dir



SU(2) als komplexe Rotationsgruppe erlaubt zusätzlich halbzahlige (komplexe) Darstellungen



D.h. SO(3) hat keine halbzahligen = keine Spinor-Darstellungen.

_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 13864

Beitrag TomS Verfasst am: 25. Sep 2014 00:39    Titel: Antworten mit Zitat

Anders formuliert, du suchst Matrizen mit







n entspricht der Dimension des Vektorraumes, auf dem die durch den Casimir-Operator definierte l-Darstellung existiert.

Dabei stellst du fest, dass für reelle T nur ganzzahlige l möglich sind; bzw. dass für halbzahlige l reelle Matrizen nicht ausreichen, sondern dass komplexe Einträge notwendig sind.

_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 2096

Beitrag index_razor Verfasst am: 25. Sep 2014 08:24    Titel: Antworten mit Zitat

TomS hat Folgendes geschrieben:

Dabei stellst du fest, dass für reelle T nur ganzzahlige l möglich sind;


Ich verstehe nicht, warum ich voraussetzen soll, daß die T reell sein müssen. Es gibt ja auch komplexe irreduzible Darstellungen der SO(3), z.B. Kugelflächenfunktionen, aber natürlich trotzdem nur für ganzzahliges l. (Für den Bahndrehimpuls brauche ich ja auch solche komplexen Darstellungen.)

Ich glaube der Punkt ist einfach, daß mir die Algebra zwar verrät, welche Werte des Casimir-Operators auf irreduziblen Darstellungen überhaupt möglich sind, aber nicht, für welche dieser Werte tatsächlich eine echte Darstellung existiert. Es ist auch eigentlich plausibel, daß die "infinitesimalen Transformationen", also die Elemente der Algebra, nichts von dem globalen Unterschied zwischen mehrfach zusammenhängenden Gruppen und deren Überlagerungsgruppe merken können und somit streng genommen nur über die Darstellungen der Überlagerungsgruppe etwas aussagen. Ich glaube meine Verwirrung kam daher, daß man z.B. bei der SO(3) die halbzahligen Darstellungen auch als "double-valued representations" der SO(3) bezeichnet obwohl es keine Darstellungen von SO(3) sind, sondern von SU(2). (Deswegen nahm ich an, Darstellungen der SO(3) würden auf jeden Fall ausreichen.)
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 13864

Beitrag TomS Verfasst am: 25. Sep 2014 16:48    Titel: Antworten mit Zitat

index_razor hat Folgendes geschrieben:
Ich verstehe nicht, warum ich voraussetzen soll, daß die T reell sein müssen.

Weil für komplexes T keine orthogonalen sondern unitäre Matrizen resultieren, und dies dann eine andere Gruppe ist ;-)

index_razor hat Folgendes geschrieben:
Ich glaube der Punkt ist einfach, daß mir die Algebra zwar verrät, welche Werte des Casimir-Operators auf irreduziblen Darstellungen überhaupt möglich sind, aber nicht, für welche dieser Werte tatsächlich eine echte Darstellung existiert.

Sehe ich nicht so. Für die Berechnung des Wertes des Casimir-Operators benötigst du bereits die Matrizen in dieser konkreten Dasrstellung.

index_razor hat Folgendes geschrieben:
Es ist auch eigentlich plausibel, daß die "infinitesimalen Transformationen", also die Elemente der Algebra, nichts von dem globalen Unterschied zwischen mehrfach zusammenhängenden Gruppen und deren Überlagerungsgruppe merken können ...

Ja.

_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 13864

Beitrag TomS Verfasst am: 25. Sep 2014 19:13    Titel: Antworten mit Zitat

index_razor hat Folgendes geschrieben:
Es gibt ja auch komplexe irreduzible Darstellungen der SO(3), z.B. Kugelflächenfunktionen, aber natürlich trotzdem nur für ganzzahliges l.

Guter Punkt. Es scheint, ich kenne die exakte Definition von "reeller" bzw. "komplexer Darstellung" nicht. Nur so viel: in der Darstellung der Kugelflächenfunktionen kommen die T's ja gar nicht vor; es gilt ja



und nicht



In meiner obigen Gleichung



würde ja das D als Rotationsmatrix auf den Vektor r wirken; im Falle der Kugelflächenfunktionen Y wirkt jedoch S auf die Y.

_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 2096

Beitrag index_razor Verfasst am: 25. Sep 2014 19:51    Titel: Antworten mit Zitat

TomS hat Folgendes geschrieben:
index_razor hat Folgendes geschrieben:
Ich verstehe nicht, warum ich voraussetzen soll, daß die T reell sein müssen.

Weil für komplexes T keine orthogonalen sondern unitäre Matrizen resultieren, und dies dann eine andere Gruppe ist ;-)


Der Punkt ist möglicherweise schon geklärt. Nur nochmal der Deutlichkeit halber: ich rede von unitären (komplexen) Darstellungen der Gruppe SO(3), wie z.B. den Kugelflächenfunktionen. Komplex heißt m.W. einfach, daß die Darstellung auf einem C-Vektorraum lebt. Sowas gibt es für jede Gruppe, z.B. die triviale Darstellung für alle g.

TomS hat Folgendes geschrieben:

index_razor hat Folgendes geschrieben:
Ich glaube der Punkt ist einfach, daß mir die Algebra zwar verrät, welche Werte des Casimir-Operators auf irreduziblen Darstellungen überhaupt möglich sind, aber nicht, für welche dieser Werte tatsächlich eine echte Darstellung existiert.

Sehe ich nicht so. Für die Berechnung des Wertes des Casimir-Operators benötigst du bereits die Matrizen in dieser konkreten Dasrstellung.


Ich brauche eigentlich nur die darstellungsunabhängigen Kommutatorrelationen. Damit allein finde ich dann (mit Hilfe der Leiteroperatoren etc.) die möglichen Eigenwerte von auf den unterschiedlichen Darstellungsräumen.

Genauso konstruiert man doch die endlichdimensionalen irreduziblen Darstellungen (inklusive der projektiven) der Drehgruppe. Aus der Algebra allein folgt, daß auf irreduziblen Darstellungen l halbzahlig oder ganzzahlig ist. Die halbzahligen Werte gehören aber nicht zu einer echten, sondern einer projektiven Darstellung der SO(3) oder, wie du bereits gesagt hast, zu einer echten Spinordarstellung, d.h. einer Darstellung der Überlagerungsgruppe SU(2).


TomS hat Folgendes geschrieben:
index_razor hat Folgendes geschrieben:
Es gibt ja auch komplexe irreduzible Darstellungen der SO(3), z.B. Kugelflächenfunktionen, aber natürlich trotzdem nur für ganzzahliges l.

Guter Punkt. Es scheint, ich kenne die exakte Definition von "reeller" bzw. "komplexer Darstellung" nicht. Nur so viel: in der Darstellung der Kugelflächenfunktionen kommen die T's ja gar nicht vor;


Doch. Die T's sind in dieser Darstellung Differentialoperatoren auf den Funktionen, z.B. etc. Die kannst du auf einer Basis der endlichdimensionalen irreduziblen Darstellungen für festes l auswerten und die Ergebnisse wieder nach zerlegen. Dann erhältst du die zugehörigen Matrizen.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 13864

Beitrag TomS Verfasst am: 25. Sep 2014 19:55    Titel: Antworten mit Zitat

Das ist ein Missverständnis. Ich meine hier tatsächlich Matrizen, nicht unspezifizierte Generatoren:

TomS hat Folgendes geschrieben:
... du suchst Matrizen mit



...

_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 2096

Beitrag index_razor Verfasst am: 25. Sep 2014 20:06    Titel: Antworten mit Zitat

TomS hat Folgendes geschrieben:
Das ist ein Missverständnis. Ich meine hier tatsächlich Matrizen, nicht unspezifizierte Generatoren:

TomS hat Folgendes geschrieben:
... du suchst Matrizen mit



...


Die Differentialoperatoren sind nicht unspezifiziert. Sie stellen nur auf Kugelflächenfunktionen die (abstrakten) Generatoren dar. Die Generatoren selbst sind ja noch abstrakter. Die werden ja nicht mit Hilfe von Kugelflächenfunktionen definiert.

Natürlich wird es auf unendlichdimensionalen Räumen schwer von "Matrizen" zu reden. Aber die irreduziblen Darstellungen für festes l sind ja endlichdimensional. Damit kannst du ja im Prinzip die Matrixdarstellung für usw. leicht ausrechnen.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 13864

Beitrag TomS Verfasst am: 25. Sep 2014 20:17    Titel: Antworten mit Zitat

Ich meine aber wirklich Matrizen im Sinne der linearen Algebra, nichts anderes.

Nochmal:

T benötige ich zur Konstruktion der Drehmatrizen D, die auf r wirken.
L benötige ich zur Konstruktion der Drehoperatoren S, die auf die Wellenfunktion (inkl. Spinor) wirken
U benötige ich im abstrakten Hilbertraum der Bra's und Ket's.

Das muss man unterscheiden.

_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 2096

Beitrag index_razor Verfasst am: 25. Sep 2014 20:21    Titel: Antworten mit Zitat

TomS hat Folgendes geschrieben:
Ich meine aber wirklich Matrizen im Sinne der linearen Algebra, nichts anderes.


Ich auch. Wieso denkst du ich würde was anderes meinen? Da wir von endlichdimensionalen Darstellungen reden, reden wir natürlich von Matrizen.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 13864

Beitrag TomS Verfasst am: 25. Sep 2014 20:27    Titel: Antworten mit Zitat

Du widersprichst dir, zunächst schreibst du

index_razor hat Folgendes geschrieben:
Die T's sind in dieser Darstellung Differentialoperatoren auf den Funktionen, z.B.



also Diffentialoperatoren zur Konstruktion von S mit Wirkung auf die Wellenfunktion, nicht Matrizen zur Konstruktion von D mit Wirkung auf r.

Dann schreibst du aber

index_razor hat Folgendes geschrieben:
TomS hat Folgendes geschrieben:
Ich meine aber wirklich Matrizen im Sinne der linearen Algebra, nichts anderes.


Ich auch. Wieso denkst du ich würde was anderes meinen? Da wir von endlichdimensionalen Darstellungen reden, reden wir natürlich von Matrizen.


Und das passt nicht zusammen.

Ein Differentialoperator ist ein Differentialoperator, keine Matrix ;-)

_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 2096

Beitrag index_razor Verfasst am: 25. Sep 2014 20:34    Titel: Antworten mit Zitat

TomS hat Folgendes geschrieben:
du widersprichst dir, zunächst schreibst du

index_razor hat Folgendes geschrieben:
Die T's sind in dieser Darstellung Differentialoperatoren auf den Funktionen, z.B.



also Diffentialoperatoren zur Konstruktion von S mit Wirkung auf die Wellenfunktion, nicht Matrizen zur Konstruktion von D mit Wirkung auf r.


Die irreduziblen Darstellungen von SO(3) auf den Kugelflächenfunktionen für festes sind endlichdimensional. Deshalb hat dort jeder lineare Operator, auch , eine gewöhnliche Matrixdarstellung im Sinne der linearen Algebra. Das sind dann genau die T's, von denen du sprichst. Hätte ich vielleicht klarer ausdrücken sollen, sorry.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 13864

Beitrag TomS Verfasst am: 25. Sep 2014 20:45    Titel: Antworten mit Zitat

Ok, klar.

Wie definierst du nun eine reelle oder komplexe Darstellung rein unter Verwendung der Differentialoperatoren bzw. von S? Bei gegebenen T's kann ich das sozusagen direkt ablesen, andernfalls nicht.

_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 2096

Beitrag index_razor Verfasst am: 25. Sep 2014 20:56    Titel: Antworten mit Zitat

TomS hat Folgendes geschrieben:

Wie definierst du nun eine reelle oder komplexe Darstellung rein unter Verwendung der Differentialoperatoren bzw. von S? Bei gegebenen T's kann ich das sozusagen direkt ablesen, andernfalls nicht.


Doch. Es handelt sich um eine komplexe Darstellung, wenn der Vektorraum bzgl. dessen (beliebig gewählter) Basis du deine Generatoren als Matrizen dargestellt hast, ein C-Vektorraum ist. Das ist bei Kugelflächenfunktionen der Fall. Die bilden sogar einen unitären Raum und ihre Darstellung der SO(3) ist ebenfalls unitär.

Wenn es ein R-Vektorraum ist, handelt es sich um eine reelle Darstellung.
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8210

Beitrag jh8979 Verfasst am: 25. Sep 2014 21:00    Titel: Antworten mit Zitat

Worueber diskutiert ihr eigentlich noch? Ich hab irgendwie den Überblick verloren smile
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 13864

Beitrag TomS Verfasst am: 25. Sep 2014 21:17    Titel: Antworten mit Zitat

Z.Zt. über reelle Darstellungen.

Schau mal hier: http://motls.blogspot.de/2013/04/complex-real-and-pseudoreal.html

Das liest sich etwas anders.

Ich bin aber der Meinung, dass die Frage nach reellen u.a. Darstellungen physikalisch nicht wirklich wichtig ist, oder?

_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 2096

Beitrag index_razor Verfasst am: 25. Sep 2014 21:18    Titel: Antworten mit Zitat

jh8979 hat Folgendes geschrieben:
Worueber diskutiert ihr eigentlich noch? Ich hab irgendwie den Überblick verloren smile


Hm, ich glaube es ging eigentlich darum, weshalb keine Darstellung von SO(3) für halbzahlige l existiert. Das hat aber wohl gar nicht viel mit komplexen vs. reellen Darstellungen zu tun. Da sind wir wohl etwas abgeschweift.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 13864

Beitrag TomS Verfasst am: 25. Sep 2014 21:22    Titel: Antworten mit Zitat

Genau.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 2096

Beitrag index_razor Verfasst am: 25. Sep 2014 21:34    Titel: Antworten mit Zitat

TomS hat Folgendes geschrieben:
Z.Zt. über reelle Darstellungen.

Schau mal hier: http://motls.blogspot.de/2013/04/complex-real-and-pseudoreal.html

Das liest sich etwas anders.


Bin nur bis hier gekommen:
Zitat:

antilinear map j, the structure map, that obeys the antilinearity (the "anti-" adds the complex conjugation on the line below)



and that obeys the condition that makes it a structure map




Widerspricht sich das nicht? Laut der Antilinearität dürfte doch nur die Bedingung hinter "real" erlaubt sein.

Ansonsten scheint es zwei Definitionen zu geben: die die ich genannt habe und die, die zusätzlich noch fordert, daß die Matrixelemente auschließlich reell bzw. komplex sind. Dann ist das aber ja eigentlich keine Eigenschaft der Darstellung mehr, sondern hängt doch u.U. von der Basiswahl im Darstellungsraum ab. Ich weiß jetzt auch nicht ob letztere Definition letztlich äquivalent zu der von Lubos ist (die sieht ja eher Basisunabhängig aus).


Zuletzt bearbeitet von index_razor am 25. Sep 2014 21:41, insgesamt einmal bearbeitet
index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 2096

Beitrag index_razor Verfasst am: 25. Sep 2014 22:05    Titel: Antworten mit Zitat

index_razor hat Folgendes geschrieben:

Bin nur bis hier gekommen:
Zitat:

antilinear map j, the structure map, that obeys the antilinearity (the "anti-" adds the complex conjugation on the line below)



and that obeys the condition that makes it a structure map




Widerspricht sich das nicht? Laut der Antilinearität dürfte doch nur die Bedingung hinter "real" erlaubt sein.


Achso, er hat die Antilinearitätsbedingung falsch aufgeschrieben. Da sollte eigentlich

stehen. Dann ergibt es wieder Sinn.
Hallodry
Gast





Beitrag Hallodry Verfasst am: 26. Sep 2014 02:02    Titel: Antworten mit Zitat

Du kannst einen Spinor auch interpretieren als einen orientieren bivektor, der einfach seine Orientierung ändert.
Hallodry
Gast





Beitrag Hallodry Verfasst am: 26. Sep 2014 02:06    Titel: Antworten mit Zitat

Halt, ich meine natürlich Rotoren als Spinoren interpretieren. Bivektoren kannst du auch als imaginäre Einheit interpretieren.
Neue Frage »
Antworten »
    Foren-Übersicht -> Quantenphysik