Divergenz durch einen Zylinder

Bauarbiau · Gast

Meine Frage:
Hallo,

Ich habe folgende Aufgabe:
Für ein Vektorfeld der Form

soll der Fluss durch einen Zylinder bestimmt werden:

Wie bestimme ich hier das Oberflächenintegral?

Meine Ideen:
Mein Ansatz bisher war es:
1. eine Parametrisierung aufzustellen des Zylinders

Da wir uns ja die Oberfläche anschauen, wollen wir ja den Fluss bei rho=4 bestimmen.

2. die Flächennormale bestimmen:

3. Bestimmung des Integrals:

.
Allerdings ist mir hier erst aufgefallen, das der Vektor F in Kugelkoordinaten beschrieben wird und es so schwierig wird das Integral auszurechnen, bzw. ich nicht weiß wie man es ausrechnen kann.

Weiterhin kann man hier ja den Satz von Gauß nutzen, denn es gilt auch:

.
Dabei käme dann 0 für die Divergenz raus, wenn die Divergenz in Kugelkoordinaten bestimmt wird. Allerdings wollte ich gerne zur Übung auch die andere Seite mal ausrechnen, da ich mit Oberflächenintegralen noch nicht gut klar komme.

MFG

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5875

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5875

Bitte, bitte entschuldige. Ich habe gestern abend offenbar einen grossen Blödsinn geschrieben. Die Divergenz des Vektorfelds ist tatsächlich =0 (?), dann muss auch der Fluss durch den Zylinder =0 sein.
Aber ich verstehe das gerade gar nicht, hab einen Blackout. Wie kann der Fluss verschwinden, wenn das Vektorfeld radial nach aussen zeigt und der Zylinder den Ursprung umschliesst? Hab auch den Fluss über das Oberflächenintegral berechnet und erhalte etwas Positives, aber da muss ich mich verrechnet haben, was auch gut möglich ist. Nochmals sorry.

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5875

PS: Das Problem liegt beim Ursprung. Dort divergiert F, und für die Divergenz gilt

Der Fluss durch den Zylinder ergibt folglich 4*pi. Das ergibt sich auch, wenn man über die Oberflächen integriert.