Eintauchtiefe Zylinder + Kugel berechnen

Eric · Gast

Meine Frage:
Hallo,

Es soll die Eintauchtiefe einer zylinderförmigen Boje aus Kork mit einem Radius 20cm und der Höhe 50cm an die unter Wasser eine Eisenkugel mit einem Radius von 10cm angehängt wird berechnet werden.

Meine Ideen:
Masse und Gewichtskraft der Körper habe ich bereits berechnet.
M(zylinder) = 15,08kg
V(zylinder) = 62.83dm
Gewichtskraft Zylinder = 147,93N
Dichte Zylinder = 0.24kg/dm

M(kugel) = 32,93kg
V(kugel) = 4,19dm
Gewichtskraft Kugel = 323,04N
Dichte Kugel = 7,86kg/dm

Bei dem verdrängten Volumen des Zylinders komme ich nicht wirklich weiter.
Die Lösung soll eine Eintauchtiefe von 2,6dm sein. Auf diese komme ich aber nicht.

autor237 · Anmeldungsdatum: 31.08.2016 Beiträge: 509

Hallo Eric!

Es ist zwar lobenswert, dass du dir die Mühe gemacht hast die einzelnen Werte für die Massen, Volumina und Kräfte auszurechnen, aber diese werden nicht benötigt, wenn du dir erst die benötigte Größengleichung für die Eintauchtiefe herleitest.

Der Ansatz ist ja, dass beim Schwimmen die Schwerkraft auf den schwimmenden Körper (Korkzylinder+Kugel) gleich der Auftriebskraft (Schwerkraft auf das verdrängte Wasser) sein soll.

m_W: Masse des verdrängten Wassers
m_K: Masse der Eisenkugel
m_Z: Masse des Korkzylinders

Wie man schon sehen kann kürzt sich die Erdbeschleunigung weg. Jetzt musst du die Gleichung weiter nach der gesuchten Eintauchtiefe umformen.

Auwi · Anmeldungsdatum: 20.08.2014 Beiträge: 602

Auch die angegebenen Dichten bzw Volumen stimmen nicht, zumindest schon mal nicht bezüglich ihrer Dimensionen. Auch ist nicht ersichtlich, woher die Materialdichten des Korks und des Eisens kommen, gegeben ?
Die "Schwimmbedingung" lautet:
Gewichtskraft der beiden Körper muß gleich der Auftriebskraft im Gleichgewichtszustand sein, also:
[m(Kork)+m(Kugel)] x g = Auftrieb (Kugel) + Auftrieb(Eintauchvolumen-Kork)
Im Eintauchvolumen des Korks versteckt sich die Einttauchtiefe des Korks.
Der Auftrieb von Kugel und Kork ist gegeben durch ihre Volumina x Dichte des Eintauchmediums (Wasser ??? )

Eric · Gast

Vorab Danke für die schnellen Antworten.

Die Dichten der Werkstoffe sind in meiner Formelsammlung so angegeben.
Ja, bei der Flüssigkeit handelt es sich um Wasser (sorry hatte ich vergessen zu schreiben)
Die Dichte des Wassers liegt bei 1kg/dm_3

Euren Lösungansatz verstehe ich und ich hab es auch schon probiert, aber ich scheitere an dem Eintauchvolumen und der somit verdrängten Masse an Wasser

Mathefix · Anmeldungsdatum: 05.08.2015 Beiträge: 5866 Wohnort: jwd

Zylinder und Kugel freischneiden.

Summe der Kräfte = 0

Auftriebskraft Zylinder

Gewichtskraft Zylinder

Masse Zylinder

Querschnittsfläche Zylinde

Auftriebskraft Kugel

Gewichtskraft Kugel

Volumen Kugel

Masse Kugel

Eintauchtiefe Zylinder

Dichte Wasser

Eric · Gast

Hey mathefix,

danke für die Antwort.

Ich hab das gerade mal nachgerechnet und komme auf eine Eintauchtiefe von 3,48dm
Laut Lösung sollten es aber 2,6dm sein.
Hier meine Berechnung:

Mathefix · Anmeldungsdatum: 05.08.2015 Beiträge: 5866 Wohnort: jwd

autor237 · Anmeldungsdatum: 31.08.2016 Beiträge: 509

@Mathefix: Der Fragesteller muss sich die Endgleichung selber erarbeiten.

@Eric: Ist das Ergebnis von Mathefix soweit verständlich? Man könnte diese Formel noch weiter zusammenfassen, so dass man ohne Massen und Volumina auskommt. Es ist immer Vorteilhafter die Größengleichung soweit zusammenzufassen, so dass man dann nur mit einem Minimum an notwendigen Werten auskommt.

Eric · Gast

@mathefix: die gleichung ist doch

@autor237: ja ist verständlich. Ich hatte das Ergebnis auch schon mal aber es passt eben nicht zur Lösung.

Eric · Gast

autor237 · Anmeldungsdatum: 31.08.2016 Beiträge: 509

@Eric:

Wenn du jetzt für:

setzt, erhältst du:

wenn du dann noch:

einsetzt, erhältst du:

Mathefix · Anmeldungsdatum: 05.08.2015 Beiträge: 5866 Wohnort: jwd

GvC · Anmeldungsdatum: 07.05.2009 Beiträge: 14861

Mathefix · Anmeldungsdatum: 05.08.2015 Beiträge: 5866 Wohnort: jwd

Mathefix · Anmeldungsdatum: 05.08.2015 Beiträge: 5866 Wohnort: jwd

GvC · Anmeldungsdatum: 07.05.2009 Beiträge: 14861

@Mathefix
Nein, alles richtig. Ich hab' mich nur verguckt. Sorry!

Ich hätte allerdings noch eine Vereinfachung vorgenommen, nämlich rk=r und rz=2r gesetzt. Dann ergibt sich die Eintauchtiefe zu

Die Musterlösung ergibt sich damit aber nicht, was vermutlich an der falschen Dichte für Kork liegt. Die ist in der Literatur mit mindestens dem doppelten wie dem hier verwendeten Wert angegeben. Bei einer Korkdichte von 0,48kg/dm³ kommt das Ergebnis mit 2,63dm dann gut hin.

Mathefix · Anmeldungsdatum: 05.08.2015 Beiträge: 5866 Wohnort: jwd

Eric · Gast

So das mit der Formel hab ich jetz verstanden. Ich hab sie mir gerade zur Übung auch nochmal selbst hergeleitet.

Wenn ich aber mit einer Dichte von 0,48 rechne komme ich auf 4,68dm.
Bist du tatsächlich auf 2,63 gekommen?
Wäre nett wenn du mir sagen könntest wo mein Fehler liegt.

Hier meine Berechnung:

[latex] y_z = \frac {0,48\frac{kg}{dm^3} } {1\frac{kg}{dm^3} } \cdot 5dm + \frac {1}{3} \cdot ( \frac {7,86\frac{kg}{dm^3}} {1\frac{kg}{dm^3} } -1)

Eric · Gast

autor237 · Anmeldungsdatum: 31.08.2016 Beiträge: 509

Wenn man die vorgegebenen Werte nimmt:

r_K=10 cm
r_Z=20cm
h_Z=50cm
rho_K=7,86 kg/dm^3
rho_Z=0,24 kg/dm^3

dann erhält man 35 cm als Eintauchtiefe. Entweder stimmt einer oder mehrere
der vorgegebenen Werte nicht (z.B. die Dichte von Kork kann zwischen 0,15 und 0,52 kg/dm^3 variieren) oder das Sollergebnis von 26 cm ist falsch.
@Eric: Wo hast du das Sollergebnis her?

Eric · Gast

Ich habe zur Prüfungsvorbereitung ein Blatt mit Aufgaben von meinem Physiklehrer bekommen und da steht zu jeder Aufgabe die Lösung unten mit dabei. Bei den anderen Aufgaben hat das auch immer gepasst.

Aber dann würde ich es jetzt hierbei belassen. Das Herleiten der Formel habe ich nun auf jeden Fall verstanden.

Vielen Dank für eure Hilfe

autor237 · Anmeldungsdatum: 31.08.2016 Beiträge: 509

Gern geschehen! Dann viel Erfolg bei der Prüfung.

GvC · Anmeldungsdatum: 07.05.2009 Beiträge: 14861