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Doctor Who
Anmeldungsdatum: 07.06.2014
Beiträge: 44
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 Doctor Who Verfasst am: 28. Jun 2014 09:51 Titel: Divergenz eines Spannungstensors |
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Hallo Leute,
ich habe eine theoretische Frage. Vllt kann mir jemand helfen.
Bei einer Aufgabe ist ein Spannungstensor eines Körpers gegeben. Das heißt eine 3x3 Matrix. Wir sollen eine Volumenkraft "b" berechnen, so dass der Körper im Gleichgewicht ist. Wir wissen nur das "roh" konstant ist und haben eben die 9 Einträge des Tensors.
Zum einen hatte ich mir überlegt dass eine Volumenkraft ja nur durch so eine Art Feld ausgelöst werden kann? Ich meine das klingt ja nach einer Kraft die auf jeden Punkt im Körper wirkt? Bzw. jeden "Massenpunkt".
Der Dozent hatte für die Volumenkraft b die Formel genannt:
Wir benötigen also die Divergenz von Sigma. Jetzt ist mir klar wie wir die Divergenz hier berechnen, also durch Ableitung eines jeden Eintrags nach der entsprechenden x Koordinate. Kann mir jemand erkl. was genau hier die Divergenz aussagt, also mechanisch? Ich habe mehrere Definitionen gelesen aber ich kann es nicht ganz auf die Mechanik adaptieren.
Falls jemand die Volumenkraft anders sieht, wäre ich um neue Definitionen dankbar  |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18026
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| TomS Verfasst am: 28. Jun 2014 10:25 Titel: |
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Die Divergenz eines Tensors zweiter Stufe ist (in Komponentenschreibweise) gegeben durch
_i = \partial_k \sigma_{ik})
und liefert die Komponenten eines Tensors erster Stufe (= eines Vektors), wobei gemäß der Summenkonvention über den doppelt vorkommenden Index k summiert wird (es gibt auch die Konvention, bzgl. des ersten Index von sigma abzuleiten, was jedoch bei symmetrischen Tensoren auf's selbe rausläuft)
Ausführlich wäre das also
_i = \sum_k \frac{\partial \sigma_{ik}}{\partial x_k})
Dabei sind jedoch ein paar Kleinigkeiten zu beachten: insbs. ist "div sigma" ein Tensor erster Stufe. Ein Tensor ist jedoch nicht einfach eine Ansammlung von Komponenten, denn letztere beziehen sich immer auf eine bestimmte Basis. "div sigma" dagegen ist koordinatenfrei. Die wesentliche Problematik besteht nun darin, dass im Falle krummliniger Koordinaten Ableitungen immer auch auf die Basisvektoren wirken (kannst du dir im Falle von Kugelkoordinaten explizit überlegen). Und das muss man bei allen Problemen der Tensoranalysis im Hinterkopf haben.
Wenn ihr derartige Themen behandelt, müsste euer Prof. eigtl. auf ein Skript oder Buch verweisen, in dem die Regeln dazu kurz zusammengefasst sind.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Doctor Who
Anmeldungsdatum: 07.06.2014
Beiträge: 44
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| Doctor Who Verfasst am: 28. Jun 2014 10:49 Titel: |
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Die Formel über Sigma ik ist mir klar.
Wenn ich bei einem Tensor das dyadische Produkt von z.B. ei ej anhänge dann beziehen wir uns doch auf bestimmte Koordinaten oder etwa nicht? Also ich bin mit der rein theoretischen Tensorrechnung noch nicht so vertraut. Die div Sigma hat ja auch ein (x1,x2,x3)ei hinten anhängen?
Also jedenfalls bei uns  |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18026
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| TomS Verfasst am: 28. Jun 2014 11:15 Titel: |
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| Doctor Who hat Folgendes geschrieben: | | Wenn ich bei einem Tensor das dyadische Produkt von z.B. ei ej anhänge dann beziehen wir uns doch auf bestimmte Koordinaten oder etwa nicht? |
Nur, wenn du die Basisvektoren spezifizierst, also z.B. kartesische Koordinaten oder Kugelkoordinaten. Ansonsten gelten die Formeln allgemein, d.h. in beliebigen Koordinaten.
| Doctor Who hat Folgendes geschrieben: | | div Sigma hat ja auch ein (x1,x2,x3)ei hinten anhängen? |
Deine Notation sieht komisch aus; versuch's doch mal mit LaTeX.
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