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w.bars
Anmeldungsdatum: 24.07.2006
Beiträge: 202
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 w.bars Verfasst am: 25. Jul 2006 12:59 Titel: Gradient in der Physik |
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Hallo,
ich hab mal ne Frage: was ein Gradient ist, hab ich glaub ich verstanden, aber ich kapier nicht, ob man seine zwei eigenschaften (richtung der größten änderung des funktionswertes und noch was über betrag) allgemein beweisen kann. Und die wichtigste Frage - wat nützt der mir in der Physik? Ich erinner mich dunkel, dass irgendwer mir mal irgendwas über Gravitation mithilfe von Gradienten erzählen wollte. Ich hab damals auch nix verstanden.
Kann mir da einer was interessantes zu erzählen?
Wasilij |
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
Beiträge: 5786
Wohnort: Heidelberg
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| as_string Verfasst am: 25. Jul 2006 15:20 Titel: |
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Welchen Beweis Du genau meinst, weiß ich nicht, aber die Verwendung hat in der Tat häufig etwas mit Potentialen zu tun (Gravitations-Potential, Elektrostatisches-Potential).
Wenn Du für jeden Punkt im Raum eine Funktion gegeben hast, die Dir für die Punkte jeweils einen Wert für das Potential liefert, dann kannst Du mit dem Gradienten den Kraftvektor ausrechnen, der auf einen Körper an diesem Raumpunkt wirkt. Als Veranschaulichung nimmt man da gerne eine Hügellandschaft an und geht von der Gravitation aus. Damit hat Dir wahrscheinlich "irgendwer" mal versucht, das zu erklären...
Angenommen, eine Kugel "liegt" in einer hügligen Landschaft. Die Schwerkraft zieht die Kugel immer nach unten. Die Kugel rollt jetzt immer in Richtung des steilsten Gefälles den Hügel nach unten. Wenn Du jetzt eine Funktion der Form "z(x, y) = ..." hättest, dann könntest Du die Kraft auf die Kugel ausrechnen und damit die Beschleunigung, indem Du für kleine Winkel (geringe Steigungen, weil der Gradient in diesem Fall den Tangens angeben würde) a =g* (-grad(z)) rechnest.
Allerdings ist das nur eine Veranschaulichung, die ein paar Haken hat. Besser ist es, wenn Du z. B. ein Gravitationspotential gegeben hast (z. B. eine Himmelskörpers) und daraus die Gravitationskraft auf einen anderen Himmelskörper ausrechnen sollst. Dann kann man den Gradienten direkt verwenden.
Gruß
Marco |
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w.bars
Anmeldungsdatum: 24.07.2006
Beiträge: 202
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| w.bars Verfasst am: 26. Jul 2006 11:26 Titel: |
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hi,
Die eine eigenschaft ist ja eben die, dass der gradienten immer in richtung des steilsten Gefälles zeigt - mit der bin ich mittlerweile auch klargekommen  Die andere lautet aber: Betrag des Grafienten ist ein Maß für die Änderung des Funktionswertes, senkrecht zu den Höhenlinien. 
und das mit der physik hab ich glaub ich sogar verstanden. 
Wasilij |
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Xolotl
Anmeldungsdatum: 17.02.2006
Beiträge: 85
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| Xolotl Verfasst am: 26. Jul 2006 14:06 Titel: |
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Der Gradient zeigt nicht in Richtung des stärksten Gefälles, sondern in Richtung des stärksten Anstieges.
vgl. Wikipedia:
| Zitat: | | Geometrisch betrachtet stellt der Gradient einen Vektor dar, der in Richtung des steilsten Anstieges des Skalarfeldes weist |
Zwischen Kraftfeld und Potential ist deswegen ein Minuszeichen, so wie es as_string in seinem Beispiel geschrieben hatte.
Zu dem Betrag steht in Wiki:
| Zitat: | | Dabei entspricht der Betrag des Vektors der Stärke des Anstieges. |
Über den Gradienten kann man aber auch die stärke des Anstieges in jede beliebige Richtung berechnen durch die Richtungsableitung. Auch das steht bei Wiki. |
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goa
Anmeldungsdatum: 09.05.2006
Beiträge: 75
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| goa Verfasst am: 26. Jul 2006 14:26 Titel: |
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| w.bars hat Folgendes geschrieben: | hi,
Die eine eigenschaft ist ja eben die, dass der gradienten immer in richtung des steilsten Gefälles zeigt - mit der bin ich mittlerweile auch klargekommen Die andere lautet aber: Betrag des Grafienten ist ein Maß für die Änderung des Funktionswertes, senkrecht zu den Höhenlinien.
Wasilij |
Die beiden Aussagen sind nicht widersprüchlich, da sich mathematisch beweisen lässt dass der Gradient/ die grösste Steigung immer senkrecht zu den Höhenlinien (besser: Äquipotentiallinien/-flächen) zeigt |
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w.bars
Anmeldungsdatum: 24.07.2006
Beiträge: 202
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| w.bars Verfasst am: 27. Jul 2006 10:54 Titel: |
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tschuldigung, tschuldigung,
hast ja recht mit dem Anstieg, xolotl. Ist alles die blöde Hitze.
aber mir geht es bei betrag des gradienten um den Beweis. Warum das Biest senkrecht zu den Äquipotentiallinien/-flächen  steht hab ich mittlerweile rausbekommen, aber WARUM entspricht denn der Betrag des Gradienten der Stärke des Anstiegs??? 
Wasilij |
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goa
Anmeldungsdatum: 09.05.2006
Beiträge: 75
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| goa Verfasst am: 27. Jul 2006 11:12 Titel: |
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Naja, das ist ganz analog zu einer Ableitung im eindimensionalen, wo die Ableitung einer Funktion gleich der Steigung ist... |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 27. Jul 2006 11:24 Titel: |
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Das ist genau derselbe Grund, warum der Betrag der ersten Ableitung einer Funktion ihrer Steigung entspricht, das kannst du dir mit einem Steigungsdreieck aufmalen.
Wenn du dir den Gradienten eines Feldes ) mal hinschreibst, dann hast du ja:
 U = \left ( \begin{array}{c} \partial U / \partial x \\ \partial U/ \partial y \\ \partial U/ \partial z \end{array} \right) )
Du siehst also, der Gradient ist nichts anderes als eine dreidimensionale Methode, um die Steigung einer Funktion auszurechnen, die von den drei Raumkoordinaten abhängt. Der Gradient einer solchen Funktion ist ein Vektor, der in die Richtung der stärksten Veränderung zeigt, und dessen Betrag die Steigung der Funktion in dieser Richtung ist.
Das, was du für das Steigungsdreieck von eindimensionalen Funktionen ) als
kennst, lautet also für den dreidimensionalen Fall:
 \cdot \vec {\Delta s})
//edit: goa war schneller, und er hat dasselbe deutlich kürzer und treffender gesagt |
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w.bars
Anmeldungsdatum: 24.07.2006
Beiträge: 202
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| w.bars Verfasst am: 31. Jul 2006 11:55 Titel: |
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jetzt hab ichs glaub ich verstanden,
dank schön an alle!!! 
Wasilij |
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