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johanna
Gast
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 johanna Verfasst am: 21. Dez 2005 14:08 Titel: Tensoren und Trägheit |
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Hallöchen alle zusammen,
habe hier eine Tensor-Aufgabe vor mir und weiß nicht so recht wie das ganze funktionieren soll. Bitte um Hilfe! Danke schön.
Also:
1)Ein schlittenartiges, nordlandwild-getriebenes saisonales Luftfahrzeug ist symmetrisch zur x-z-Ebene konstruiert. Ergänze die fehlenden Komponenten des trägheitstensors:
I= ( 1000 ?? 1200, ?? 500 ??, 1200 ?? 3000)
2)Außerdem ist hier noch eine Teilaufgabe, wo es um den geringsten Trägheitsmoment geht:
Da der Einsatzplan schEnelle Entladevorgänge vorsieht, ist es nützlich, die Achse des geringsten Trägheitsmoments zu kennen. Welche Richtung hat diese? Welche Farbe hat die Mütze des Piloten?
... ich habe als irgendwie versucht das zu lösen und hab nachgelesen etc. aber hab keine Antwort gefunden ... Hilfe!!! dankedankedanke |
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Gast
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| Gast Verfasst am: 21. Dez 2005 14:22 Titel: |
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Wenn ich mich nicht vertue, heißt Symmetrisch zur x-z-Ebene doch, dass eine Integration über y, Null ergeben müsste.
Wenn du dir jetzt die Formeln für deine fehlenden Elemente anschaust, sollte zumindest die erste Teilaufg. kein Problem mehr sein. |
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as_string
Moderator
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| as_string Verfasst am: 21. Dez 2005 14:29 Titel: |
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Zur 2)
Schau mal nach, ob Du was zu "Hauptachsentransformation" finden kannst. Z. B. auf Wikipedia.de sollte da was zu finden sein denke ich.
Gruß
Marco. |
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as_string
Moderator
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johanna
Gast
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| johanna Verfasst am: 21. Dez 2005 16:15 Titel: |
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Hey,
ich hab was zur Hauptachsentransformation gefunden, aber ich weiß ncioht was ich damit anfangen soll? ... die erste Aufgabe versteh ich immer noch nicht :-( |
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
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| as_string Verfasst am: 21. Dez 2005 23:41 Titel: |
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Hallo!
Also... ich stand und stehe ja mit diesem Trägheitmomente Zeug schon immer auf Kriegsfuß... Also verlaß Dich bitte nicht darauf, dass das was ich jetzt schreibe irgendeinen Sinn macht...
Die fehlenden Tensor Elemente sind ja immer welche mit y drin. z. B.:
Jetzt steht im Text, dass das Ding an der x-y-Achse spiegelsymmetrisch ist. Eigentlich sollte man das dann doch irgendwie auch so schreiben können:
 dy dx = \int_{x=-\infty}^{\infty}\left[\int_{y=-\infty}^{0}xy\rho(x,y) dy + \int_{y=0}^{\infty}xy\rho(x,y) dy\right] dx)
und mit  = \rho(x, -y)) :
 dy + \int_{y=0}^{\infty}xy\rho(x,y) dy\right] dx \\= \int_{x=-\infty}^{\infty}\left[\int_{y=-\infty}^{0}xy\rho(x,-y) dy + \int_{y=0}^{\infty}xy\rho(x,y) dy\right] dx\\= \int_{x=-\infty}^{\infty}\left[\int_{y=\infty}^{0}x(-1)y\rho(x,y) (-1)dy + \int_{y=0}^{\infty}xy\rho(x,y) dy\right] dx\\= \int_{x=-\infty}^{\infty}\left[-\int_{y=0}^{\infty}xy\rho(x,y) dy + \int_{y=0}^{\infty}xy\rho(x,y) dy\right] dx = \int_{-\infty}^{\infty}0dx = 0)
Man hätte einfacher mit gerader und ungerader Funktion argumentieren können und wäre dann schneller auf die null gekommen...
Mit den anderen fehlenden Elementen müßte das dann genau so gehen. Besonders unsicher bin ich mir aber mit dem rho, aber das wäre dann nicht wichtig für das Ergebnis.
Wäre schön, wenn das jemand bestätigen könnte, oder erklären könnte, wie's richtig ist... Würde mich jetzt auch interessieren ehrlich gesagt.
Gruß
Marco. |
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Gast
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| Gast Verfasst am: 22. Dez 2005 13:09 Titel: |
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Im wesentlichen war das auch mein Ansatz.
Nur das man nicht von - bis + unendlich integriert, sondern nur über den Körper.
Aber an deinem Problem mit dem rho ist schon was dran.
Es stellt sich die Frage, ob die Symmetrie bezüglich der Masse, oder bezüglich des Volumens gilt.
Oder ob man eh implizit annimmt, dass die Dichte konstant ist. |
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as_string
Moderator
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| as_string Verfasst am: 22. Dez 2005 14:34 Titel: |
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Achso! Ich glaube, ich verstehe, wie Du das gemacht hast. Wenn man von einer Dichte Verteilung ausgeht, die überall gleich ist, aber feste Grenzen hat (Ausdehnung des Körpers), dann kommt man auch da drauf. Aber meine Rechnung kann man ganz leicht in Deine überführen, wenn man annimmt, dass rho innerhalb des Körpers konstant ist und außerhalb = 0. Für die Aufgabe ist das aber ziemlich egal, glaube ich. Da kommt es nur darauf an, dass die Dichte Verteilung symmetrisch ist und mit einer antisymmetrischen Funktion multipliziert wird, so dass wieder eine antisymmetrische (punktsymmetrisch sagt man glaube ich auch) rauskommt, über die dann integriert wird. Ich habe mit meiner etwas länglichen Rechnung nur gezeigt, dass dabei immer Null rauskommt.
Gruß
Marco |
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johanna
Gast
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| johanna Verfasst am: 29. Dez 2005 12:32 Titel: |
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Hallo Marco,
ist das also richtig was du da gerechnet hast ... oder nicht? |
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
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| as_string Verfasst am: 29. Dez 2005 13:15 Titel: |
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Na, das weiß ich leider auch nicht so genau... Ich denke eigentlich schon, aber das mit dem Rho, da bin ich mir nicht so ganz sicher. Solte aber trotzdem null als Ergebnis rauskommen.
Gruß
Marco |
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johanna
Gast
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| johanna Verfasst am: 31. Dez 2005 15:57 Titel: |
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Hallo Marco,
ich verstehe deinen Ansatz, doch ist jetzt die ganze Aufgabe damit gelöst ???? |
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
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| as_string Verfasst am: 01. Jan 2006 15:17 Titel: |
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| johanna hat Folgendes geschrieben: | | ich verstehe deinen Ansatz |
Das ist schonmal sehr gut 
| johanna hat Folgendes geschrieben: | | doch ist jetzt die ganze Aufgabe damit gelöst ???? |
Das sollte die Lösung der 1) sein. Da war ja nach den Tensor Elementen mit den Fragezeichen gefragt und nach meiner Rechnung sollten die dann alle "= null" sein. Ob das jetzt alles 100% richtig ist, kann ich Dir leider auch nicht beantworten, weil ich mich mit diesem Tragheitsmomente Thema nicht mehr so auskenne. An diesem Punkt wäre es nicht schlecht, wenn Du das nochmal alles reflektierst und aufgrund den Sachen, die Ihr in der Vorlesung (wenn's eine Vorlesung war...) besprochen habt überlegst, ob das so sinnvoll erscheint oder nicht. Du kommst nicht drum rum das mit den Trägheitstensoren selbst zu verstehen. Wir können Dir vielleicht ein Stück weit dabei helfen, indem wir Dir unsere Gedanken dazu mitteilen und wenn Du konkrete Fragen hast, welchen Schritt genau Du nicht verstehst, versuchen Dir den zu erklären, aber ich kann Dir (besonders in diesem Fall) leider keine Garantie auf Korrektheit meiner "Ausführungen" geben 
Vielleicht hilft es, wenn man sich versucht das ganze irgendwie vor zu stellen, was mit Trägheitstensoren im Allgemeinen recht schwierig ist, weil in diesem Zusammenhang wirklich überraschende Tatsachenexistieren, die man nur schwer aus der Intuition heraus kapieren kann.
Ich würde an Deiner Stelle vielleicht mal Probieren, ob ich aus dieser Matrix die Hauptträgheitsachsen ausrechnen kann. Dann würde ich mal versuchen, ob da dieser Trägheits-Ellipsoid, oder wie der nochmal hieß, rauskommt. Ob man den vielleicht sogar mal plotten könnte oder so. Dann würde ich versuchen, mir zu erklären, warum er gerade so aussieht, wie er aussieht und das versuchen mit der beschriebenen Symmetrie in Zusammenhang zu bringen. Man kann da sicher noch tausend andere Sachen machen, um das alles besser zu verstehen. Ich hatte das irgendwann auch mal verstanden, allerdings isses bei mir schon ungefähr 10 Jahre her und ich habe das in der Zwischenzeit nicht mehr wirklich gebraucht. Deshalb kann ich dir (im Moment) die tieferen Zusammenhänge auch nicht erklären. Fazit: Versuch' einfach selbst nochmal der Sache auf die Spur zu kommen. Wenn Du dabei etwas herausfindest, oder sich neue (wahrscheinlich konkretere) Fragen auftuen, dann würden wir uns freuen, wenn Du das nochmal hier beschreibst. Erfahrungsgemäß gibt's dann auch mehr/bessere Antworten, je konkreter die Fragen sind und je mehr Vorarbeit von Dir zu sehen ist.
Also: Frohes Neues Jahr und viele Grüße von mir!
Marco |
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as_string
Moderator
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| as_string Verfasst am: 01. Jan 2006 19:44 Titel: |
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Du hast also dann als Trägheitstensor das hier:
)
Nur um das nochmal etwas anschaulicher zu machen.
Gruß
Marco |
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johanna
Gast
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| johanna Verfasst am: 01. Jan 2006 20:48 Titel: |
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Hallo zusammen,
die Teilaufgabe 1 hab ich jetzt verstanden!
WAs ist denn mit der 2. Teilaufgabe, kann mir das bitte jemand vorrechnen, weil ich hab bis morgen Abgabetermin und ich komm damit garnicht klar!!! Hilfe!!! |
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
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| as_string Verfasst am: 01. Jan 2006 21:17 Titel: |
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Ich kann Dir nachher das vielleicht noch etwas genauer schreiben... Aber damit Du schon mal was tun kannst hier erstmal das, was ich noch so weiß (oder zu wissen glaube...)
Um die Achse mit dem geringsten Trägheitsmoment zu finden mußt Du eine Hauptachsentransformation machen. Dabei bekommst Du die Hauptträgheitsachsen raus und die zugehörigen Trägheitsmomente. Die Hauptachse mit dem geringsten Trägheitsmoment ist auch allgemein die Achse mit dem geringsten Trägheitsmoment, als die, die Du suchst.
Jetzt weiß ich allerdings nicht mehr sicher, wie das mit der Hauptachsentranformation ging... So weit ich mich erinnern kann, muß man einfach nur die Eigenwerte der Matrix/Tensor finden (Stichwort charakteristisches Polynom) und damit dann die Eigenvektoren. Die Eigenvektoren sind dann die Hauptachsen (bzw. geben die Richtung der Hauptachsen an) und die Eigenwerte sind die Trägheitsmomente dieser Achsen. Aber das muß ich auch erst nochmal nachschlagen. Das könntest Du aber sicher auch selber machen entweder in einem Buch oder bei wikipedia.de. Man lernt am meisten, wenn man versucht selbst etwas heraus zu bekommen.
Gruß
Marco. |
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johanna
Gast
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| johanna Verfasst am: 01. Jan 2006 22:31 Titel: |
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Hey,
ich habe versucht das zu rechnen, aber ich komme damit nicht klar! Ich verstehe die ganze Transformation nicht! Damit kann ich auch garnichts ausrechnen! |
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as_string
Moderator
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| as_string Verfasst am: 01. Jan 2006 23:47 Titel: |
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Hallo!
Ist jetzt etwas schwierig, weil ich nicht weiß, ob Du schon was über Eigenwerte und Eigenvektoren weißt. Wenn nicht, dann mußt Du das erstmal irgendwo in einem Mathebuch oder im Netz nachlesen. Lohnt nicht, dass ich jetzt anfange das hier zu erklären.
Auf jeden fall machst Du ein charakteristisches Polynom aus der Matrix:
\left((500-\lambda )(3000-\lambda )\right)+1200\left(-\left(1200(500-\lambda)\right)\right) = 0)
Das mußt Du jetzt lösen (leider ist mir das gerade etwas zu viel Rechenarbeit...) Wenn Du nicht weißt, wie ich darauf komme, mußt Du mal im Netz (wahrscheinlich gibt's bei wikipedia darüber was) nach charakteristischem Polynom oder eben nach Eigenwerte/-vektoren suchen. Oder in einem Buch, in dem was über lin. Algebra steht. Die Erklärungen sind sicher besser, als ich es jetzt hier erklären könnte!
Wenn Du die Gleichung löst, bekommst Du (bis zu) 3 verschiedene Lambda raus. Das sind Deine Eigenwerte. Die dazugehörenden Eigenvektoren bekommst Du raus, wenn Du weißt, dass für Eigenwerte/-vektoren das hier gelten muß:
wobei  der Eigenvektor sein soll.
Eigentlich reicht es für die Aufgabe, wenn Du nur den Vektor für den kleinsten Eigenwert ausrechnest, den du bekommen hast, weil nur danach ist gefragt.
Probier mal, ob Du damit schon etwas weiter kommst!
Gruß
Marco |
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