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Kelvin1995
Anmeldungsdatum: 09.01.2022
Beiträge: 64
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 Kelvin1995 Verfasst am: 31. Mai 2022 14:12 Titel: Mehrteilchen-Systeme, Tensoren und Isomorphie |
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Nehmen wir an es sei  ein Hilbertraum und
Dann kann ich über diesen Hilbertraum Tensoren definieren.
bspw mit dem Tensorprodukt den folgenden kovarianten Tensor zweiter Stufe 
Sowas verwendet man ja auch, um Systeme mit mehreren Teilchen zu beschreiben.
Zunächst noch eine kleine Erläuterung welche Auffassung von Tensorprodukt ich hier verwende:
Der Tensor
ist eine Bilinearform, die zwei Vektoren des ursprünglichen Hilbertraums aufnimmt, so dass gilt
=\left<\phi_1\right|(\left|\psi_1\right>)\cdot\left<\phi_2\right|(\left|\psi_2\right>))
Durch den Satz von Riesz kann man das durch Skalarprodukte darstellen, aber das kommt erst später.
Aufgrund der folgenden isomorphen Abbildung
 = \left < \psi \right |(\left|\phi\right>) )
kann ich lineare Abbildungen von dem Dualraum des Hilbertraums in den Körper mit Vektoren  des Hilbertraums identifizieren.
Demnach kann ich dann auch einen zweifach kontravarianten Tensor über das Tensorprodukt definieren.
wie folgt
Dieser Tensor nimmt zwei Vektoren des Dualraums auf, so dass gilt
=\left < \psi_1 \right |(\left|\phi_1\right>)\cdot \left < \psi_2 \right |(\left|\phi_2\right>) )
Jetzt gilt aber in dem entsprechenden Tensorraum, wenn man eben das Skalarprodukt darauf überträgt auch Folgendes:
\cdot \left < \psi_2 \right |(\left|\phi_2\right>))
Hier hat der kontravariante Tensor nicht zwei duale Vektoren, sondern einen kovarianten Tensor zweiter Stufe aufgenommen.
Meine Frage ist nun, wie das in Einklang zu bringen ist. Ist ein k facher kontravarianter Tensorraum isomorph zu einem kontravariantem Tensorraum 1. Stufe bei dem die Tensoren eben ein Element eines k fachen kovarianten Tensors aufnehmen? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18062
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| TomS Verfasst am: 31. Mai 2022 14:44 Titel: |
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Ich hoffe, index_razor kann dazu etwas sagen.
Von meiner Seite: Die QM wird laut der Axiome in einem separablen Hilbertraum formuliert. Nun sind jedoch alle separablen Hilberträume untereinander isometrisch isomorph, insbs. also zum l2-Folgenraum. Dieser wiederum ist sein eigener Dualraum. Damit sind auch ein o.g. Tensorraum sein eigener Dualraum.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Kelvin1995
Anmeldungsdatum: 09.01.2022
Beiträge: 64
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| Kelvin1995 Verfasst am: 31. Mai 2022 15:50 Titel: |
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Damit kann ich schon was anfangen
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Nun sind jedoch alle separablen Hilberträume untereinander isometrisch isomorph, |
Aber bei endlich dimensionalen Hilberträumen nur bei gleicher Dimension oder?
Also kann ich einen kontravarianten Tensor zweiter Stufe sowohl auffassen als eine Bilinearformen, die zwei Elemente des Dualraums des ursprünglichen Hilbertraums auf ein Element des Körpers abbildet als auch als eine Linearform, die ein Element seines eigenen Dualraums auf ein Element des Körpers abbildet? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18062
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| TomS Verfasst am: 31. Mai 2022 16:10 Titel: |
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| Kelvin1995 hat Folgendes geschrieben: | Damit kann ich schon was anfangen
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Nun sind jedoch alle separablen Hilberträume untereinander isometrisch isomorph, |
Aber bei endlich dimensionalen Hilberträumen nur bei gleicher Dimension oder?
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Ja.
| Kelvin1995 hat Folgendes geschrieben: | | Also kann ich einen kontravarianten Tensor zweiter Stufe sowohl auffassen als eine Bilinearformen, die zwei Elemente des Dualraums des ursprünglichen Hilbertraums auf ein Element des Körpers abbildet als auch als eine Linearform, die ein Element seines eigenen Dualraums auf ein Element des Körpers abbildet? |
Puh, zu kompliziert
^\ast = H^\ast \otimes H^\ast )
So stelle ich mir das vor, aber das ist wahrscheinlich extrem schlampig.
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 31. Mai 2022 16:19 Titel: |
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| Kelvin1995 hat Folgendes geschrieben: |
Also kann ich einen kontravarianten Tensor zweiter Stufe sowohl auffassen als eine Bilinearformen, die zwei Elemente des Dualraums des ursprünglichen Hilbertraums auf ein Element des Körpers abbildet als auch als eine Linearform, die ein Element seines eigenen Dualraums auf ein Element des Körpers abbildet? |
Ja, das geht. Das nennt sich "universelle Eigenschaft" ("universal property") des Tensorprodukts. Für jede bilineare Abbildung  gibt es eine eindeutige lineare Abbildung  , so daß  = f(v, w)) für alle  . (Dir geht es anscheinend um die universelle Eigenschaft von  , aber das macht keinen Unterschied.)
P.S: Also in deinem Fall wäre  und z.B.  \mapsto \langle v,\phi_1\rangle\langle w, \phi_2\rangle)
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It is just this lack of connection to a concern with truth -- this indifference to how things really are -- that I regard as of the essence of bullshit. -- Harry G. Frankfurt |
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Kelvin1995
Anmeldungsdatum: 09.01.2022
Beiträge: 64
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| Kelvin1995 Verfasst am: 31. Mai 2022 17:08 Titel: |
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Danke euch beiden.
Das mit der "universellen Eigenschaft" von Index_razor ist genau das was ich gesucht habe. Ich wusste nicht, dass das was ich gesucht habe einen Begriff hat.
Ich überlege mir halt grad wie man die Physik mathematisch rigoros aufbauen kann. Da stoße ich dann auf solche Fragen. |
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