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Nachricht |
rhombus_e
Gast
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 rhombus_e Verfasst am: 02. Feb 2022 00:25 Titel: Tensoren vom Rang 1 |
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Meine Frage:
Hallo, ich habe folgendes Problem:
In meinen Aufzeichnungen wird ein Tensor von Rang 1 definiert über das dyadische Produkt zweier kontravarianter Vektoren, jedoch verstehe ich nicht genau warum.
Soweit ich verstanden habe, lässt sich der entsprechende Tensor als Matrix darstellen, jedoch dachte ich, dass kontravariante Vektoren lediglich die "normalen" Spaltenvektoren sind und kovariante Vektoren als Zeilenvektoren darstellbar sind (ich vermute hier liegt irgendwo der Denkfehler..), dementsprechend würde ich denken, dass zwei kontravariante Vektoren ein Skalar geben und die Multiplikation von einem kontravarianten Vektor mit einem kovarianten den Tensor?
Eine Anschlussfrage ist, was habe ich erhalten, wenn ich den kontravarianten Tensor berechnet habe - um welches mathematische Objekt handelt es sich dabei (oder einfach gesagt, was kann man damit machen)?
Meine Ideen:
Das Transformationsverhalten von Vektoren und Skalaren ist mir, denke ich, einigermaßen klar, ein Skalar ändert sich bei einer Koordinatentransformation nicht und bei einem Vektor ändern sich die Komponenteneinträge, jedoch nicht Betrag und Richtung. |
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Ich
Anmeldungsdatum: 11.05.2006
Beiträge: 913
Wohnort: Mintraching
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| Ich Verfasst am: 02. Feb 2022 09:23 Titel: |
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Du meinst Rang 2
https://de.wikipedia.org/wiki/Matrizenmultiplikation#Zeilenvektor_mal_Spaltenvektor
Zur Bedeutung von kovarianten und kontravarianten Vektoren findest du viel im Internet. Wichtig für dich ist vielleicht, dass es sich eigentlich um kovariante und kontravariante Komponenten ein und desselben Objekts, des Vektors, handelt. Der verkürzenden Sprechweise zum Trotz handelt es sich also nicht um unterschiedliche Vektoren. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18110
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| TomS Verfasst am: 02. Feb 2022 15:57 Titel: |
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| Ich hat Folgendes geschrieben: | | Du meinst Rang 2. |
Nee, er meint Stufe 2 und Rang 1 der so definierten Abbildung.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 02. Feb 2022 16:20 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Ich hat Folgendes geschrieben: | | Du meinst Rang 2. |
Nee, er meint Stufe 2 und Rang 1 der so definierten Abbildung. |
Das könnte sein. Dummerweise verwenden einige Quellen "Rang" und "Stufe" syonym, der deutsche Wikipediaartikel über Tensoren z.B. Nach einer anderen Definition haben alle einfachen Tensorprodukte den Rang 1. Es könnte also beides gemeint sein. Kommt drauf an, was die Aufzeichnungen genau sagen. Die zitierte Aussage ist ja eigentlich keine Definition. |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 02. Feb 2022 18:16 Titel: Re: Tensoren vom Rang 1 |
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| rhombus_e hat Folgendes geschrieben: |
Soweit ich verstanden habe, lässt sich der entsprechende Tensor als Matrix darstellen, jedoch dachte ich, dass kontravariante Vektoren lediglich die "normalen" Spaltenvektoren sind und kovariante Vektoren als Zeilenvektoren darstellbar sind (ich vermute hier liegt irgendwo der Denkfehler..), dementsprechend würde ich denken, dass zwei kontravariante Vektoren ein Skalar geben und die Multiplikation von einem kontravarianten Vektor mit einem kovarianten den Tensor?
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Eine Zahl erhältst du aus dem inneren Produkt bzw. dem Skalarprodukt zweier Vektoren. Aus dem dyadischen Produkt zweier Vektoren erhältst du immer einen Tensor 2. Stufe. Je nachdem ob du kovariante oder kontravariante Vektoren nimmst, ändert sich der Typ des resultierenden Tensors. Aus zwei Kovektoren wird ein zweifach kovarianter Tensor, aus zwei Vektoren ein zweifach kontravarianter und ansonsten ein gemischter Tensor. Den Typ eines Tensors mit n kovarianten und m kontravarianten Indizes bezeichnet man auch mit (m, n). Ein Kovektor ist also ein Typ-(0,1)-Tensor ein Vektor ein Typ-(1,0)-Tensor. Das dyadische Produkt eines Kovektors und eines Vektors ergibt also einen Tensor vom Typ (1,1).
| rhombus_e hat Folgendes geschrieben: |
Eine Anschlussfrage ist, was habe ich erhalten, wenn ich den kontravarianten Tensor berechnet habe - um welches mathematische Objekt handelt es sich dabei (oder einfach gesagt, was kann man damit machen)?
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Einen Tensor kann man als multilineare Abbildung auffassen, mit der man Vektoren oder Zahlen oder eben allgemein andere Tensoren erzeugen kann.
Ein paar recht wahllose Beispiele aus Elektrodynamik und Allgemeiner Relativitätstheorie habe ich mal vor kurzem hier aufgezählt.
Die Frage ist allerdings ein bißchen zu allgemein gestellt. Mit Tensoren kann man vieles machen und es hängt auch von der Art des Tensors ab. |
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