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Corbi
Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 297
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 Corbi Verfasst am: 24. Nov 2020 13:21 Titel: Tensoren - Koordinatentransformationen |
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In Physik-Büchern werden Tensoren oft als Objekte definiert deren Komponenten sich bei einer Koordinatentransformation wie die Koordinatendifferentiale transformieren.
Aber warum transformieren sich die Tensor-Komponenten bei einem Wechsel des Koordinatensystems überhaupt?
Wenn man als Basisvektoren die Tangentialvektoren der Koordinatenlinien verwendet, dann ist obiger Sachverhalt klar. Aber man kann doch die Basisvektoren auch vollkommen unabhängig vom Koordinatensystem wählen und dann wären auch die Tensor-Komponenten unabhängig vom Koordinatensystem. |
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masterpie
Anmeldungsdatum: 13.11.2019
Beiträge: 408
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| masterpie Verfasst am: 24. Nov 2020 14:42 Titel: Re: Tensoren - Koordinatentransformationen |
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| Corbi hat Folgendes geschrieben: | | Aber warum transformieren sich die Tensor-Komponenten bei einem Wechsel des Koordinatensystems überhaupt?. |
Damit Dein Vektor z.B. (einfachhalber) auf der X-Achse nach der Trafo immer noch genauso lang ist, wie vor der Trafo.
Wenn die X-Basis vorher die Länge 1 hatte, dann hatte Dein Vektor mit Länge=5 eine Komponente mit A=5. Im neuen KoSystem ist x' = 5, dann muss die Komponente A'=1 sein, damit V' weiterhin die Länge 5 hat.
Gruß, Masterpie
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Wir denken zu viel und fühlen zu wenig. (Charlie Chaplin) |
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Corbi
Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 297
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| Corbi Verfasst am: 24. Nov 2020 17:33 Titel: |
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| Zitat: | Damit Dein Vektor z.B. (einfachhalber) auf der X-Achse nach der Trafo immer noch genauso lang ist, wie vor der Trafo.
Wenn die X-Basis vorher die Länge 1 hatte, dann hatte Dein Vektor mit Länge=5 eine Komponente mit A=5. Im neuen KoSystem ist x' = 5, dann muss die Komponente A'=1 sein, damit V' weiterhin die Länge 5 hat.
Gruß, Masterpie |
das beantwortet meine Frage nicht so ganz.
Wenn ich beispielsweise ein kartesisches Koordinaten-System verwende und es auf ein Kugel-Koordinatensystem transformiere, dann zwingt mich doch eigentlich nichts dazu, andere Basisvektoren zu verwenden. Ich könnte immernoch die Basisvektoren, von vor der Transformation verwenden, und die Komponenten des Vektors würden sich nicht ändern.
Genau so auf einer Mannigfaltigkeit. Die Vektoren und Tensoren, existieren im Tangentialraum. Der Tangentialraum, und eine definierte Basis darin, existieren doch völlig unabhängig, vom Koordinatensystem auf der Mannigfaltigkeit. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18113
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| TomS Verfasst am: 24. Nov 2020 17:42 Titel: |
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Im Falle von Polarkoordinaten in der Ebene liegt an jedem Punkt eine Orthonormalbasis vor. Der radialen Einheitsvektor zeigt jeweils in radiale Richtung, der zweite Einheitsvektor steht senkrecht darauf. Damit ist diese Basis des Polarkoordinatensystems eben gerade nicht die des kartesischen Koordinatensystems, sondern eine in jedem Punkt gegenüber dieser rotierte Basis.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Zuletzt bearbeitet von TomS am 24. Nov 2020 20:39, insgesamt einmal bearbeitet |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 24. Nov 2020 17:52 Titel: Re: Tensoren - Koordinatentransformationen |
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| Corbi hat Folgendes geschrieben: | In Physik-Büchern werden Tensoren oft als Objekte definiert deren Komponenten sich bei einer Koordinatentransformation wie die Koordinatendifferentiale transformieren.
Aber warum transformieren sich die Tensor-Komponenten bei einem Wechsel des Koordinatensystems überhaupt?
Wenn man als Basisvektoren die Tangentialvektoren der Koordinatenlinien verwendet, dann ist obiger Sachverhalt klar. Aber man kann doch die Basisvektoren auch vollkommen unabhängig vom Koordinatensystem wählen und dann wären auch die Tensor-Komponenten unabhängig vom Koordinatensystem. |
Aber wenn man von der Transformation der Tensorkomponenten unter Koordinatentransformation spricht, dann meint man damit ihre Abhängigkeit von der Koordinatenbasis
Natürlich mußt du nicht die zu  gehörige Koordinatenbasis im Tangentialraum wählen. Du kannst in jedem Punkt  irgendeine fixe Basis ) wählen und deine Tensoren darin ausdrücken. Die müssen nicht mal eine Koordinatenbasis sein. |
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