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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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 Jayk Verfasst am: 10. März 2015 22:23 Titel: Hodge-Duale berechnen |
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Hi!
Ich verzweifle gerade an einem vermeintlich einfachen Beispiel. Kann mir vielleicht jemand mit einer sicheren Rechentechnik als ich sagen, wo mein Fehler ist bzw. ob eventuell das Buch den Fehler hat?
Wir sind im  , die Metrik ist  (ich werde später  und  verwenden für die Eintragungen in die Matrix). Zu bestimmen ist die Hodge-Duale von  .
Ich beschränke mich auf den Fall des negativen Vorzeichens, dann ist also die Metrik in Matrixdarstellung  = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}) und die Basisformen sind ,\,dt = (0,\;1)) .
Die Volumenform ist je nach Orientierung entweder  , in Matrixdarstellung  = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}) , oder  , in Matrixdarstellung  = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix})
Die kontravarianten Komponenten von dx sind ^i = (dx)_j g^{i j } = \delta^1_j g^{i j}) , also in Spaltendarstellung  , die kontravarianten Komponenten von dt sind 
Zur Hodge-Dualen von dx (für die erste Orientierung): Diese ist ^i dx^j \epsilon_{i j} ) , nur die Kombination i=1, j=2 überlebt, also  .
Zur Hodge-Dualen von dt (für die erste Orientierung): Diese ist ^i dx^j \epsilon_{i j} ) , nur die Kombination i=2, j=1 überlebt, also  .
Für die andere Orientierung sind die Vorzeichen gerade umgekehrt.
Also wäre  für die erste Orientierung, für die zweite Orientierung  .
Laut Lehrbuch (Thirrings Lehrbuch der Mathematischen Physik, Band 2, Seite 17 in der 2. Auflage) ist jedoch  . Über die verwendete Orientierung wird keine Rechenschaft abgelegt. Aber in keinem der beiden Fälle stimmen die Resultate überein.
Wo ist der Fehler? |
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bassiks
Anmeldungsdatum: 11.08.2010
Beiträge: 194
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| bassiks Verfasst am: 11. März 2015 07:27 Titel: |
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Ich hab das Buch leider nicht da. Kann auf den ersten Blick keinen Fehler erkennen.
Kann es sein dass das  in seiner Lösung von den beiden möglichen Metriken kommt? Denn dann gilt  während bei gleich bleibender Orientierung  für beide Metriken gilt.
EDIT: Vielleicht ist ja deshalb keine Aussage bezüglich Orientierung vorhanden. |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 11. März 2015 12:28 Titel: |
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Ich bekomme das Ergebnis von Thirring für  .
Gerechnet habe ich so
 = \dd t \wedge (\pm\dd x)) , also
 (Vorzeichen je nach verwendeter Metrik)
und analog
 = \dd x\wedge (-\dd t) )
und folglich
Wenn ich das richtig sehe, hast du bei der Berechnung der dualen Formen die Metrikkoeffizienten vergessen. Das ergibt einen Vorzeichenfehler bei  , weil darin  auftaucht.
Zuletzt bearbeitet von index_razor am 11. März 2015 12:35, insgesamt einmal bearbeitet |
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bassiks
Anmeldungsdatum: 11.08.2010
Beiträge: 194
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| bassiks Verfasst am: 11. März 2015 12:33 Titel: |
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| Zitat: | | ...(Vorzeichen je nach verwendeter Metrik) |
Das ist ja genau das was ich geschrieben habe. So wie ich sein Posting verstanden habe hat er halt nur die g_ metrik verwendet und nicht beide. |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 11. März 2015 12:41 Titel: |
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Die Bemerkung war nur als Bestätigung deiner Vermutung gedacht. Im Buch werden aber offenbar beide Metriken parallel behandelt, anscheinend jedoch nur die Volumenform  verwendet. |
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bassiks
Anmeldungsdatum: 11.08.2010
Beiträge: 194
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| bassiks Verfasst am: 11. März 2015 12:45 Titel: |
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Achso, du hast das Buch. In diesem Fall danke für die Info.
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 11. März 2015 12:51 Titel: |
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Nein, ich habe das Buch nicht. Ich habe nur aus der Übereinstimmung zwischen meinem und dem zitierten Ergebnis gefolgert, daß es so sein müßte. Wenn ich die andere Orientierung verwende ändert sich das Vorzeichen von *F. |
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 11. März 2015 14:23 Titel: |
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Vielen Dank euch beiden! 
Ich glaube, ich werde nicht weiter nach dem Fehler suchen, sicher war es nur irgendein dummer Flüchtigkeitsfehler. An die Metrikkoeffizienten habe ich schon gedacht. Mein Plan war,  zu benutzen (das ist übrigens auch die Definition bei Thirring). Für das innere Produkt wollte ich
!} \omega_{j_1 \dots j_p} \nu^{j_1 \dots j_q} e^{j_{q+1}} \wedge \dots \wedge e^{j_p})
benutzen (dafür habe ich die kontravarianten Komponenten von dx und dt berechnet), wo ja die Metrikkoeffizienten gemäß  schon eingehen. Für mich ist der Stoff noch ganz neu, deswegen habe ich noch nicht so das Auge für elegante Rechenwege.
Aber es ist ja viel eleganter und kürzer, deinen (index_razor) Rechenweg zu benutzen, um den Koeffizienten zu bestimmen. Also vielen Dank für die Erklärung! Das hat mir wirklich sehr geholfen (ich habe es auch damit gerade für höhere Dimensionen ausprobiert).
Die Vermutung ist richtig: war auf das Vorzeichen in der Metrik und nicht auf die Orientierung bezogen. Im Buch werden beide Beisiele parallel behandelt, weil daran und der DGL  die Methode der Charakteristiken erklärt werden soll (vielleicht wird auch deshalb über die Orientierung keine Rechtfertigung abgelegt, weil die Rechnung nicht im Zentrum steht; ich dachte nur, es sei eine gute Übungsaufgabe, das Ergebnis mal nachzurechnen, denn sonst werden im Buch nur Übungsaufgaben gestellt, wo man irgendwelche allgemeinen Formeln beweisen soll, aber kaum konkrete Rechnungen). |
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Khaleb
Anmeldungsdatum: 01.05.2015
Beiträge: 64
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| Khaleb Verfasst am: 02. Mai 2015 00:50 Titel: Versuch es mit dirschmid tensoren und felder |
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Seite 87 wird dort die umrechnung der kanonischen basisformen erklärt für den hodge stern operator.
Im thirring band 1 seite 50 unten ist sowieso ein fehler beim volumenelement epsilon : ein fehlerhafter exponent bei der determinante der koeffizienten des metriktensors: es gehört +1/2 statt -1/2.
Beim dirschmid musst du aber eventuell bedenken dass er üblicherweise (+ - - -) als signatur des minkowskiraumes annimt und nicht (- + + +) wie beim thirring.
Leider gibts beim thirring keine zwischenrechnungen und auch kein erratum so viel ich weiss, so dass der werte leser alles selber nachrechnen muss um eventuelle fehler zu finden.
Lg peter |
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Khaleb
Anmeldungsdatum: 01.05.2015
Beiträge: 64
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| Khaleb Verfasst am: 03. Mai 2015 15:03 Titel: Durchgerechnet |
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Hallo Jayk, ich habs durchgerechnte und das Ergebnis von Thirring Band 2 stimmt. Der Fehler von Band 1 Seite 50 wirkt sich nicht aus da die determinante der koordinaten des Metriktensors 1 ist.
Als erstes habe ich die Formel mal für kovariante koordinaten umgestellt (Thirring band 1 Seite 51 2.4.19 ):
wobei
nach dem korrigierten Thirring Seite 50 (2.4.17) 4
|^{1/2} sign(\pi_{j_1..j_m})
<br />
)
mit sign vorzeichen der permutation (oben - wenn man verlangt  ) kann man sich die division durch die faktorillen ersparen)
mit Dirschmid Tensoren Und Felder Seite 84 (2.47) 
dabei ist
Wir haben  also =\begin{pmatrix} \pm 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} ) und die inverse =(g_{ij})^{-1}\begin{pmatrix} \pm 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} ) und |^{1/2} = 1)
das Volumenelement (bei Thirring kannonische Form genant) ist |^{1/2} = dt \wedge dx )
somit 
da der *-operator linear ist rechnet man wie du in diesem am besen die basisvekoren um wobei
 und 
somit   = -dt ) und
 + 0 = \pm dx)
das eingesetzt ergibt genau die Formel im Thirring 2 Seite 17
 = E (*dt) + B (*dx) = \pm E dx - B dt)
Aber wahrscheinlich wird Dich die Rechnung nach 2 Monaten eh nicht mehr interessieren.
LG Peter |
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 03. Mai 2015 17:29 Titel: Re: Versuch es mit dirschmid tensoren und felder |
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| Khaleb hat Folgendes geschrieben: |
Leider gibts beim thirring keine zwischenrechnungen und auch kein erratum so viel ich weiss, so dass der werte leser alles selber nachrechnen muss um eventuelle fehler zu finden. |
Ja, das ist leider wahr. Thirring ist didaktisch leider eine Katastrophe und Fehler gibt es auch einige (viele davon sind nur kleine Unstimmigkeiten, aber da alles so kompakt geschrieben ist, können auch die einen in den Wahnsinn treiben). Aber die Lehrbuchreihe ist (leider) in ihrer Form einzigartig. Und gerade für den zweiten Band gibt es keine wirkliche Alternative (mathematisch ausgerichtete Bücher zur ART gibt es ein paar, z.B. von Robert Wald oder von Yvonne Choquet-Bruhat, aber zur Elektrodynamik nicht wirklich).
Ja, nach zwei Monaten war der Thread nicht mehr so wirklich in meinem Fokus. Aber danke trotzdem für deine Antwort!
Übrigens: In der englischsprachigen Ausgabe sind ein paar Fehler korrigiert worden. Leider sind dafür neue dazugekommen (z.B. falsche Referenzen). |
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Khaleb
Anmeldungsdatum: 01.05.2015
Beiträge: 64
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| Khaleb Verfasst am: 03. Mai 2015 21:34 Titel: Danke für den tipp |
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HalloJayk,
Danke für den tipp mit der englischen ausgabe.
Lg peter |
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