Potential (Gradient, Äquipotentiallinien)

The Flash · Anmeldungsdatum: 03.11.2012 Beiträge: 25

Hallo Leute,

ich habe folgendes Potential gegeben:

Den Gradienten berechne ich ja, indem ich den Nabla-Operator auf das Potential anwende.
Ich bin mir nur nicht sicher, ob ich das richtig gemacht habe. Das Resultat muss ja ein Vektor sein.

.

Bin ich da auf dem richtigen Weg?

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Ich denke, schon.

Vielleicht die z - Komponente der Vollständigkeit halber noch. Auch ist mir die "vektorielle" Schreibweise von V ungeläufig.

Würde die Exponenten zusammenfassen

und wg der Symmetrie über eine Lösung in Zylinderkoordinaten nachdenken ... Geschmackssache.

The Flash · Anmeldungsdatum: 03.11.2012 Beiträge: 25

Zylinderkoordinaten sollen wir dafür noch nicht benutzen Augenzwinkern

Meine nächste Frage wäre dann, wie ich die Äquipotentiallinien berechnen kann. Ich habe das Potential schon einmal geplottet und weiß, wie sie ausseh müssen, aber nicht genau, wie ich sie berechne.

Ich habe auch im Internet und meinen Büchern wenig dazu gefunden.
Mein Ansatz wäre, das V = const. zu wählen und dann die Gleichung nach x umzustellen.

Das würde so aussehen bei mir:

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Welche geometrische Figur ergibt sich in der Ebene durch die Punkte x² + y² = C? Meinetwegen C = 3² = x² + y²?
Notfalls paar Punkte zeichnen? x = -3, x = 0, x = 3.
In Zylinder- oder Polarkonstanten würde das Ergebnis direkt "ins Auge springen". smile

The Flash · Anmeldungsdatum: 03.11.2012 Beiträge: 25

Es sollten lauter Kreise um den Koordinatenursprung sein, weil das geplottete Potential einen Hochpunkt im Koordinatenursprung hat. Ich denke mal auf sowas ähnliches willst du auch hinaus? Big Laugh

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Ja. Und wenn Du diese Linien als Funktionen y(x) beschreiben willst, denke bitte an die Doppellösungen der quadratischen Gleichungen. Obere und untere Kreisbögen quasi.

The Flash · Anmeldungsdatum: 03.11.2012 Beiträge: 25

Ja, okay

Außerdem sind noch die Punkte mit steilsten Anstieg von

zu berechnen. Jetzt habe ich im Betrag ja immernoch x und y stehen. Muss ich y als Konstante betrachten, wenn ich das Maxima berechnen will?

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Ich würde erstmal den Betrag des Gradienten b(r) aufschreiben. Radius r
b(r) = 2 \alpha r e^-{r^2} -> maximum

The Flash · Anmeldungsdatum: 03.11.2012 Beiträge: 25

Nach meiner Berechnung wäre der Betrag:

Das könnte man noch etwas vereinfachen, weiß aber nicht ob das nötig ist.

Packo · Gast

The flash,
dein Gradientenvektor ist richtig!

Das Problem ist ein ebenes Problem. Es gibt daher weder z-Koordinanten noch Zylinderkoordinaten.

Die Äquipotenziallinien findet man indem man die Potenzialfunktion = konstanter Parameter setzt:

e^(-x²)*e^(-y²) = C (alpha steckt dabei schon im C)

e^(-x²-y²) = C = ln(C)

-(x²+y²) = C

x²+y² = C² Gleichung von Kreisen mit C als Radius.

(ich habe immer nur C geschrieben, eigentlich C1,C2,C3 usw. =C)

The Flash · Anmeldungsdatum: 03.11.2012 Beiträge: 25

Das klingt plausibel smile

Aber warum verschwindet ln(C) von einer Zeile zur nächsten?
Müsste es nicht heißen -(x²+y²) = ln(C) ?

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

The Flash · Anmeldungsdatum: 03.11.2012 Beiträge: 25

Ich verstehs auch nicht ganz. Außerdem sind die letzte und vorletzte Gleichung ja auch nicht äquivalent.

Packo · Gast

The Flash,
ich habe etwas verkürzt geschrieben.

Eigentlich hätte ich in der fraglichen Zeile auch e^C schreiben sollen.

Es gilt:

C = alpha*C1 = C2 = (C3)² = e^C3 = ln(C4) = 1/C5 = (C6)² usw.
(und für alle Ci kann man wieder C schreiben).

The Flash · Anmeldungsdatum: 03.11.2012 Beiträge: 25

Also leider habe ich keinen Schimmer, wie du von

auf dein Ergebnis kommst. Was genau meinst du mit C1, C2, ...?
Stehen diese für die verschiedenen Äquipotentiallinien?

Packo · Gast

Also nochmal langsam zum Mitschreiben:
die Äquipotenzialkurven bilden eine Kurvenschar mit dem Parameter C.
Dabei ist C eine reelle Zahl.

α*e^(-x²)*e^(-y²) = C1
e^(-x²)*e^(-y²) = C1/α = C2
e^(-x²-y²) = C2
e^-(x²+y²) = C2 = e^(C3)
-(x²+y²) = C3
x²+y² = -C3 = (C4)²
Die Gleichung der Kurvenschar also x²+y² = (C4)²
Wir nennen nun C4 = C
und erhalten:
x²+y² = C²
C durchläuft alle reelle Zahlen.