Gradienten und Potential von Zylinderkoordinaten

henning.u · Anmeldungsdatum: 19.11.2020 Beiträge: 11

Meine Frage:
Aufgabe:

Ein Potential sei in Zylinderkoordinaten gegeben,

.
(a) Stellen Sie den Gradienten von

in der Zylinderkoordinatenbasis

dar, wobei die Koeffizienten durch die partiellen Ableitungen

und

auszudrücken sind. Der Zusammenhang zwischen der Zylinderkoordinatenbasis und den kartesischen Basisvektoren

ist aus der Vorlesung bekannt, siehe im Skript unten.
(b) Zeigen Sie, dass bei der Bewegung in diesem Potential Folgendes gilt: Wenn

0 ist, so ist die 3 -Komponente des Impulses eine Erhaltungsgröße,

wenn

ist, so ist die 3 -Komponente des Drehimpulses eine Erhaltungsgröße,

https://www.onlinemathe.de/images/fragenbilder/images/a7b2f26231a6245cd2769132cc050a1e.PNG

Meine Ideen:
Problem/Ansatz: Bei solchen Aufgaben, wo man teilweise mit Gegenbeispielen Aussagen zeigen / widerlegen kann, scheiter ich immer. Ideen für Lösungen oder Beispiele wären toll.

Mfg

Henning

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5875

Zu a) Ich glaube, Du hast die falsche Seite aus dem Skript gepostet. Gemeint ist wohl der Zusammenhang

etc.
Zum Gradienten von U in Zylinderkoordinaten: Du kannst zuerst die Koordinaten des Gradienten bezüglich der kartesischen Basis

ausdrücken durch

und

.

Für die erste Koordinate z.B.:

Analog für

.

Um nun die Koordinaten des Gradienten bezüglich der Zylinderbasis zu erhalten, kann

jeweils skalar multipliziert werden mit

, also z.B.

Zu b) Die erste Behauptung folgt einfach aus

und

.

Die zweite Behauptung folgt praktisch analog aus

(ausrechnen, dass

).

henning.u · Anmeldungsdatum: 19.11.2020 Beiträge: 11

Super, danke für den Tipp!