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index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
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Beitrag index_razor Verfasst am: 23. Nov 2020 17:03    Titel: Antworten mit Zitat

TomS hat Folgendes geschrieben:
PS EDIT
terminus hat Folgendes geschrieben:
ich weiß momentan auch gar nicht, wo und wie jemals ein Betrag eines BraKets definiert worden wäre....

Der Betrag bzw. die Länge eines Vektors entspricht der Norm; ein Vektor heißt normiert, wenn er den Betrag Eins hat, wenn also ein Einheitsvektor vorliegt. Der Betrag entspricht gerade der Wurzel aus dem Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst (in Komponentendarstellung sofort einsichtig mittels Satz des Pythagoras).

Ein Braket hat keinen Betrag, lediglich ein Bra oder ein Ket für sich alleine; ein Braket = Bra * Ket entspricht ja gerade diesem Skalarprodukt, ist also das Quadrat der Norm.


In der Frage ging es um den Betrag des Skalarprodukts zweier Vektoren also z.B.

, sowie dessen Quadrat. Das Skalaraprodukt selbst bezeichnet terminus scheinbar als "BraKet".


terminus, das Skalarprodukt zweier Vektoren ist ja einfach eine komplexe Zahl und eine solche besitzt den Betrag = .

Das Quadrat dieses Betrags ergibt diverse "Übergangswahrscheinlichkeiten", wie z.B. die, die ich in meinem letzten Beitrag als und bezeichnet habe.
terminus



Anmeldungsdatum: 17.10.2020
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Beitrag terminus Verfasst am: 23. Nov 2020 18:12    Titel: Antworten mit Zitat

αΓγΔδεζηΘθικλµνΞξΠπϱΣστΦφχΨψΩω∫∂⋅∘⟨⟩√≤≥∞∈

@index_razor:
ja, genau, mit BraKet meinte ich das Produkt Bra mal Ket.
Irgendwo in irgendeinem Buch wurde das mal so bezeichnet (IIRC).
Aber stimmt natürlich, es ist nur eine komplexe Zahl,
dann davon der Betrag, und dann das Quadrat, aber warum hilft das um die Eindeutigkeit zu zeigen?
"Übergangswahrscheinlichkeiten" ist allerdings jetzt auch neu für mich...

@TomS:
zu
Einsetzen in (1) liefert



ich komme beim Nachrechnen auf
(<u| αu* + <d| αd*) (αu |u> + αd |d>)
= <u|u> αu*αu + <u|d> αu*αd + <d|u> αd*αu + <d|d> αd*αd )
= αu*αu + 0 + 0 + αd*αd

wie man da jetzt auf die beiden αu Betragsquadrate kommt, verstehe ich noch nicht...
sollte der 2. Summand evt |αd|² heißen?

Die Schreibweise αu*αu = |αu|² ist allerdings jetzt auch noch neu.

Die weiteren Schlüsse verstehe ich noch nicht alle, aber dazu später, wenn das hier geklärt ist...

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Zuletzt bearbeitet von terminus am 23. Nov 2020 18:20, insgesamt einmal bearbeitet
TomS
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Beitrag TomS Verfasst am: 23. Nov 2020 18:20    Titel: Antworten mit Zitat

bzgl. alpha_d hast du recht; war ein Kopierfehler

Bzgl. des Quadrates: für eine komplexe Zahl z gilt wegen





diese Gleichung für den Betrag



(wie für einen Vektor mit Komponenten x,y)

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index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259

Beitrag index_razor Verfasst am: 23. Nov 2020 18:22    Titel: Antworten mit Zitat

terminus hat Folgendes geschrieben:

@index_razor:
ja, genau, mit BraKet meinte ich das Produkt Bra mal Ket.
Irgendwo in irgendeinem Buch wurde das mal so bezeichnet (IIRC).
Aber stimmt natürlich, es ist nur eine komplexe Zahl,
dann davon der Betrag, und dann das Quadrat, wer warum hilft das um die Eindeutigkeit zu zeigen?


Mein Beweis der "Eindeutigkeit bis auf Phasenfaktoren" steht weiter oben in diesem Beitrag:

https://www.physikerboard.de/ptopic,349767.html#349767

Ist daran etwas unklar? Das ist im Prinzip dasselbe Argument wie von TomS, aber man muß weniger rechnen.
terminus



Anmeldungsdatum: 17.10.2020
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Beitrag terminus Verfasst am: 23. Nov 2020 18:27    Titel: Antworten mit Zitat

ich glaube, das mit dem Betragsquadrat für eine komplexe Zahl kam noch nicht in dieser Form vor, aber ok, verstehe ich dann.

Wie genau kommst du auf die komplexe Lösung für
2 |αu|² = 1
also |αu|² = 1/2 ?
Ich könnte das noch nicht so ausrechnen mit dem e^iφ
.... ich hätte da einfach |αu| =1/√2 rausbekommen....

und dann:
was ist eine "Phase" und speziell eine "beliebige reelle Phase" ?

PS,
@index_razor:
hatte deinen Post überlesen, sry.
Auch bei dir hatte ich nicht verstanden, was die Betragsquadrate oder Phasenfaktoren sind, daher fehlte mir das grundlegende Verständnis, was es bedeuten soll...

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Zuletzt bearbeitet von terminus am 24. Nov 2020 12:06, insgesamt 2-mal bearbeitet
TomS
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Beitrag TomS Verfasst am: 23. Nov 2020 22:38    Titel: Antworten mit Zitat

terminus hat Folgendes geschrieben:
Wie genau kommst du auf die komplexe Lösung für
2 |αu|² = 1
also |αu|² = 1/2 ?


Gesucht sei die Lösung für die Gleichung



Nun kannst du z schreiben als



und damit





r ist der Betrag der komplexen Zahl, phi der Winkel zur x-Achse in der komplexen Zahlenebene.


D.h. bei der Lösung der o.g. Gleichung spielt der Winkel bzw. die Phase phi sowie der Phasenfaktor



keine Rolle, relevant ist nur der Betrag r.

Anders gesagt, die Lösungsmenge der Gleichung



ist ein Kreis mit Radius



in der komplexen Ebene.


Daraus folgt die Lösungsmenge der für die Spins oben diskutierten Gleichung



als Kreis mit Radius




https://de.m.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl#Komplexe_Zahlenebene

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Beitrag terminus Verfasst am: 24. Nov 2020 10:01    Titel: Antworten mit Zitat

dankeschön!

ja, |αu| =1/√2 wäre dann ja richtig gewesen, wie ich vermutet hatte...

allerdings taucht bei dir ja noch zusätzlich e^iφ auf, also

|αu| =e^iφ/√2

DAS war es, was ich nicht verstand und verstehe.

Unklar ist immer noch deine Aussage zu "Phase" und speziell "beliebige reelle Phase" (was hat e^iφ mit "Phase" oder "reelle Phase" zu tun?)
und was nun eine Wurzel mit einem Kreis zu tun hat, erschließt sich mir allerdings auch noch nicht....


PS,
das Thema "Phase" war es übrigens genau, welches ich oben meinte, als ich schrieb, es wäre noch einiges mehr unklar, aber was ich zunächst zurückstellen wollte, bis das mit der "Eindeutigkeit" der R³-Basen geklärt ist)

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Zuletzt bearbeitet von terminus am 24. Nov 2020 12:06, insgesamt einmal bearbeitet
TomS
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Beitrag TomS Verfasst am: 24. Nov 2020 10:23    Titel: Antworten mit Zitat

terminus hat Folgendes geschrieben:
ja, αu =1/√2 wäre dann ja richtig gewesen, wie ich vermutet hatte ...

... allerdings nicht allgemein.

terminus hat Folgendes geschrieben:
allerdings taucht bei dir ja noch zusätzlich e^iφ auf, also

αu =e^iφ/√2

DAS war es, was ich nicht verstand und verstehe.

Was genau verstehst du daran nicht?

(vergiss mal den Begriff Phase; ist halt eine Bezeichung für das Ding)

terminus hat Folgendes geschrieben:
und was nun eine Wurzel mit einem Kreis zu tun hat, erschließt sich mir allerdings auch noch nicht.

Heißt das, du verstehst die komplexen Zahlen und die komplexe Zahlenebene nicht?





Die o.g. Gleichung



beschreibt einen Kreis mit Radius 1 in der komplexen xy-Ebene.


In Polarform, jetzt mit beliebigem Radius r



Also





Wenn phi von 0 bis 2*pi läuft, überstreichen x,y diesen Kreis mit Radius r in der komplexen Ebene.


Wenn ich die Gleichung



löse, dann ist jedes





für beliebiges phi eine Lösung, da sich der Betrag



ja nicht ändert. D.h. die Gleichung



hat nicht eine Lösung, sondern unendlich viele und zwar für jedes phi zwischen 0 und 2*pi eine.


Was genau ist daran jetzt unklar? Welche konkrete Gleichung oder Schlussfolgerung verstehst du nicht?

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Beitrag terminus Verfasst am: 24. Nov 2020 10:28    Titel: Antworten mit Zitat

ok, danke,
tatsächlich wurden komplexe Zahlen nur mal "erwähnt" im Matheunterricht (i als Lösung von Wurzel aus -1), aber das war es dann auch schon. Keine trigonometrischen Funktionen dafür und erst recht keine e-Funktion. (Ein bisschen zusätzlich habe ich mir inzwischen "angelesen")

Aber ich sehe, es ist für mich mit Schulmathematik (trotz Leistungskurs) nicht zu verstehen, ich glaube, ich lasse es bleiben....

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Beitrag TomS Verfasst am: 24. Nov 2020 10:40    Titel: Antworten mit Zitat

Schieb einfach ein kleines Selbststudium zu den komplexen Zahlen ein; das, was du benötigst, ist mit Leistungskurswissen kein Hexenwerk.

Ohne dieses Vorwissen geht‘s aber wirklich nicht.

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Beitrag terminus Verfasst am: 24. Nov 2020 12:03    Titel: Antworten mit Zitat

ja, wahrscheinlich schon richtig...
Zumindest bin ich mit der Frage, was die Wurzel aus einer komplexen Zahl ist und wie man sie ausrechnet, noch ziemlich überfordert, und alle Formeln dazu verwirren nur noch umso mehr, leider.
Auch völlig unklar, warum man für |z|² das z mit seinem Konjugierten multiplizieren muss und nicht einfach mit sich selber.... (?)
Ich überfliege die nächsten Seiten vielleicht noch und guck dann mal ...

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Beitrag TomS Verfasst am: 24. Nov 2020 12:58    Titel: Antworten mit Zitat

terminus hat Folgendes geschrieben:
Auch völlig unklar, warum man für |z|² das z mit seinem Konjugierten multiplizieren muss und nicht einfach mit sich selber ...

Einfach die binomische Formel für (x-iy)*(x+iy) anwenden.

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Beitrag terminus Verfasst am: 24. Nov 2020 13:05    Titel: Antworten mit Zitat

nein, warum überhaupt das Konjugierte, warum also nicht einfach z mal z (statt z* mal z), also warum nicht
(x+iy)*(x+iy)

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Beitrag TomS Verfasst am: 24. Nov 2020 13:33    Titel: Antworten mit Zitat

Rechne es halt mal beides aus ;-)

1) Rauskommen soll das Quadrat einer reellen Zahl.

2) Und es soll als Betrag natürlich mit dem Begriff des Betrags eines Vektors mit Komponenten (x,y) in der 2-dim. Ebene übereinstimmen.

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Beitrag terminus Verfasst am: 24. Nov 2020 13:38    Titel: Antworten mit Zitat

ok, dass es irgendeinen Sinn haben wird, ist schon klar, aber dafür fehlt mit eben bislang das Verständnis, daher bin ich auch unsicher, ob es sich lohnt hier weiterzumachen.
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Beitrag TomS Verfasst am: 24. Nov 2020 13:47    Titel: Antworten mit Zitat

https://epub.uni-bayreuth.de/4591/1/Komplexe_Zahlen.pdf

Darin Kapitel A und B.

In B wird eine etwas seltsame Notation verwendet; es ist jedenfalls



Ansonsten das ganz OK.

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Beitrag terminus Verfasst am: 24. Nov 2020 17:23    Titel: Antworten mit Zitat

danke, werde ich mir auf jeden Fall ansehen! Ob es zu den Aufgaben auch Musterlösungen gibt zur Kontrolle?
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Beitrag terminus Verfasst am: 03. Dez 2020 11:42    Titel: Antworten mit Zitat

so, ist mir jetzt ein klein wenig klarer mit dem Betrag und der Wurzel und den theoretisch unendlich vielen Lösungen zu dem Orthonomalbasen, wenn jetzt auch noch die Phasen dazu kommen.
Tatsächlich ist ja der Betrag einer komplexen Zahl immer unabhängig vom Winkel, es ist ja nur der Radius = die Hypothenuse in der R²-Darstellung.
Ich habe jetzt also zwar unendlich viele komplexe Lösungen für |αu|² = 1/2,
andererseits aber ist der Wert für φ offenbar völlig wurscht für den Betrag.

Was heißt das dann denn jetzt für die Eindeutigkeit der oben berechneten Vektoren |u>, |d>, |r>, |l>, |o>, |i>
a) anschaulich und
b) mathematisch?

(Wenn IMO φ bedeutsam wäre, müsste man es doch berücksichtigen, wenn aber nicht, bräuchte man es doch gar nicht erwähnen?)

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Beitrag TomS Verfasst am: 03. Dez 2020 12:53    Titel: Antworten mit Zitat

Eine konstante = zeitunabhängige Phase spielt tatsächlich keine Rolle. Man sollte sich der Existenz dieser Mehrdeutigkeit jedoch bewusst sein, da es Fälle gibt, in denen eine Phase doch relevant ist: eine zeitabhängige Phase kodiert letztlich die Dynamik, ist also immer relevant; ein spezieller Fall ist eine sogenannte geometrische Phase, die insbs. dann auftritt, wenn ein Quantensystem in einem zeitlich langsam veränderlichen äußeren Feld betrachtet wird (im Falle von Spins z.B. in einem Magnetfeld).

Physikalisch darfst du also für jeden einzelnen Basisvektor |u>, |d> o.ä. eine beliebige Phase hinzufügen. D.h. es ist egal, ob du die Basis



oder



verwendest. Zwar erhältst du unterwegs z.B. unterschiedliche Koeffizienten, die sich wiederum um eine Phase unterscheiden, jedoch wirkt sich das nicht auf die physikalisch relevanten Ergebnisse aus; bei Messwerten, Erwartungswerten etc. fällt diese Mehrdeutigkeit heraus.


Mathematisch spricht man davon, dass nicht ein einzelner Vektor einen physikalischen Zustand beschreibt, sondern die Äquivalenzklasse aller Vektoren, die sich nur bis auf eine Phase unterscheiden.

Am Beispiel von Spin-up heißt das, das der physikalische Zustand „Spin-up“ nicht von einem Vektor |u> repräsentiert wird, sondern von der Äquivalenzklasse [u], d.h. der Menge aller Vektoren |x>, die zu |u> äquivalent sind



Äquivalenz ~ liegt genau dann vor, wenn



gilt, d.h. wenn sich die Vektoren nur bis auf eine Phase unterscheiden.


Wenn dir das mit den Äquivalenzklassen zu kompliziert ist, dann vergiss es. Man kann auch ohne die Kenntnis von Äquivalenzklassen Diplomphysiker werden.

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Beitrag terminus Verfasst am: 03. Dez 2020 13:08    Titel: Antworten mit Zitat

dankeschön!

wegen:
Zitat:
Wenn dir das mit den Äquivalenzklassen zu kompliziert ist, dann vergiss es. Man kann auch ohne die Kenntnis von Äquivalenzklassen Diplomphysiker werden.


... das ist schon mal sehr beruhigend ;)

was mir jetzt allerdings wieder völlig unklar wird :
Zitat:
Eine konstante = zeitunabhängige Phase spielt tatsächlich keine Rolle... Fälle ... in denen eine Phase doch relevant ist: eine zeitabhängige Phase kodiert letztlich die Dynamik

Wie kommt denn jetzt hier die "Zeit" hinein?
Ich spreche doch hier von einer Darstellung von komplexen Zahlen isomorph zum R² und insb. von der Lösung (komplexer) quadratischer Gleichungen bzw. von (orthonormalen) Vektoren im R³ oder C² oder C³ (?), wieso also "Zeit"?

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index_razor



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Beitrag index_razor Verfasst am: 03. Dez 2020 13:30    Titel: Antworten mit Zitat

terminus hat Folgendes geschrieben:

was mir jetzt allerdings wieder völlig unklar wird :
Zitat:
Eine konstante = zeitunabhängige Phase spielt tatsächlich keine Rolle... Fälle ... in denen eine Phase doch relevant ist: eine zeitabhängige Phase kodiert letztlich die Dynamik

Wie kommt denn jetzt hier die "Zeit" hinein?
Ich spreche doch hier von einer Darstellung von komplexen Zahlen isomorph zum R² und insb. von der Lösung (komplexer) quadratischer Gleichungen bzw. von (orthonormalen) Vektoren im R³ oder C² oder C³ (?), wieso also "Zeit"?


Die Zeit spielt hier m.E. tatsächlich keine Rolle. Die Zeitentwicklung eines quantenmechanischen Systems wird bestimmt durch die Phasendifferenzen der Koeffizienten in der Entwicklung nach Energieeigenzuständen, nicht durch eine einzige zeitabhängige Phase.

Phasendifferenzen zwischen Entwicklungskoeffizienten sind aber, im Gegensatz zu einer globalen Phase, (fast) immer physikalisch relevant, nicht nur wenn man zeitlich veränderliche Zustände betrachtet. Also ich würde behaupten, das ganze hat erstmal nichts mit Zeitentwicklung zu tun.
TomS
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Beiträge: 17909

Beitrag TomS Verfasst am: 03. Dez 2020 14:27    Titel: Antworten mit Zitat

terminus hat Folgendes geschrieben:
was mir jetzt allerdings wieder völlig unklar wird :
Zitat:
Eine konstante = zeitunabhängige Phase spielt tatsächlich keine Rolle... Fälle ... in denen eine Phase doch relevant ist: eine zeitabhängige Phase kodiert letztlich die Dynamik

Wie kommt denn jetzt hier die "Zeit" hinein?
Ich spreche doch hier von einer Darstellung von komplexen Zahlen isomorph zum R² und insb. von der Lösung (komplexer) quadratischer Gleichungen bzw. von (orthonormalen) Vektoren im R³ oder C² oder C³ (?), wieso also "Zeit"?

Die Zeit kommt jetzt hier noch nicht ins Spiel, weil wir noch keine Zeitentwicklung diskutiert haben. Sobald wir dies tun, ist jedoch keineswegs klar, dass eine zeitabhängige Phase ebenso irrelevant sein wird wie die zeitunabhängige Phase jetzt. Zu den o.g. Bespielen der Dynamik und insbs. der geometrischen Phase fällt mir auch noch die Transformation zwischen Schrödinger-, Heisenberg- und Diracbild ein. Alles das kommt später, ich möchte hier lediglich betonen, dass zunächst ausschließlich zeitlich konstante Phasen irrelevant sind.

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Beitrag terminus Verfasst am: 03. Dez 2020 17:31    Titel: Antworten mit Zitat

ok, also Phase hier unwichtig, danke!

Wie kann man sich das, was hier über |u>, |d>, |r>, |l>, |o>, |i> ausgerechnet wurde, denn jetzt anschaulich vorstellen?

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Beitrag TomS Verfasst am: 03. Dez 2020 20:03    Titel: Antworten mit Zitat

terminus hat Folgendes geschrieben:
Wie kann man sich das, was hier über |u>, |d>, |r>, |l>, |o>, |i> ausgerechnet wurde, denn jetzt anschaulich vorstellen?

Anschaulich vorstellen ist schwierig, gerade bei Spinzuständen.

Du hast gelernt, dass du einen allgemeinen Spinzustand bzgl. verschiedener Basen darstellen kannst, d.h.



Konkretes Beispiel:



Wenn du dir vorstellst - und diese Vorstellung wird sich als falsch erweisen - dass der Spin ein klassischer Drehimpuls ist, wobei der Spinvektor den Betrag des Drehimpulses sowie die Orientierung der Rotationsachse kodiert, dann würdest du z.B. zuordnen

|u> Rotation um die vertikale z-Achse im Uhrzeigersinn
|d> Rotation um die vertikale z-Achse gegen den Uhrzeigersinn
|r> Rotation um die horizontale x-Achse im Uhrzeigersinn
|l> Rotation um die horizontale x-Achse gegen den Uhrzeigersinn

Das bedeutet jedoch für den o.g. Zustand



„Rotation um die horizontale x-Achse im Uhrzeigersinn = Rotation um die vertikale z-Achse im Uhrzeigersinn + Rotation um die vertikale z-Achse gegen den Uhrzeigersinn“.

Und das ist klassisch schlichtweg nicht möglich.

In der Quantenmechanik würdest aus diesen Spinzuständen Messwerte bzw. Wahrscheinlichkeiten ableiten. Es muss dich noch nicht interessieren, warum es sich so verhält, aber die Quantenmechanik besagt folgendes: die Wahrscheinlichkeit, dass der Spin eines beliebigen Systems in a-Richtung weist, ist durch



gegeben, wobei a für u,d,r,l stehen kann.

Für den o.g. Zustand bedeutet dies







In Worten: für einen Spinzustand |r> erhält man bei Messung der Spinrichtung die Wahrscheinlichkeiten für
Rotation um die vertikale z-Achse im Uhrzeigersinn = Eins
Rotation um die vertikale z-Achse gegen den Uhrzeigersinn = Null
Rotation um die horizontale x-Achse im Uhrzeigersinn = 1/2
Rotation um die horizontale x-Achse gegen den Uhrzeigersinn = 1/2

Das ist klassisch bzw. anschaulich nicht vorstellbar.

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Beitrag terminus Verfasst am: 03. Dez 2020 22:20    Titel: Antworten mit Zitat

das meinte ich eigentlich gar nicht...
ich meinte, wie sich die Vektoren
|u>, |d>, |r>, |l>, |o>, |i>
mit den obigen Definitionen bzw. Lösungen (3), (5), (6), (7)
in welchem Vektorraum in welcher Weise bildlich-graphisch darstellen lassen?

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Beitrag TomS Verfasst am: 03. Dez 2020 22:50    Titel: Antworten mit Zitat

terminus hat Folgendes geschrieben:
ich meinte, wie sich die Vektoren
|u>, |d>, |r>, |l>, |o>, |i>
mit den obigen Definitionen bzw. Lösungen (3), (5), (6), (7)
in welchem Vektorraum in welcher Weise bildlich-graphisch darstellen lassen?

Auch das gelingt nicht ganz.

Die Vektoren |u> und |d> sind linear unabhängig, d.h. sie spannen einen 2-dim. Vektorraum auf; für den Vektorraum zeichnest du ein Koordinatensysten mit u- und d-Achse in die Ebene. Die Vektoren |r> und |l> spannen den selben Vektorraum auf; die Koordinatenachsen r und l sind ggü. u und d um 45° rotiert.

Soweit alles klar.

Das dritte Paar von Vektoren erfordert jedoch komplexe Koeffizienten. Das kannst du dir in dem Bild der Ebene nicht mehr vorstellen. Eine dritte Richtung darfst du nicht einführen, denn dies entspräche einem 3-dim. Vektorraum.

Man kann einem 2-dim. komplexen Vektorraum auch einen 4-dim. reellen Vektorraum zuordnen; statt zwei komplexer Koeffizienten verwendest du sozusagen vier reelle Koeffizienten. Aber das wäre dann eben ein 4-dim. Vektorraum, und den kannst du dir auch nicht vorstellen.

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Beitrag TomS Verfasst am: 04. Dez 2020 07:12    Titel: Antworten mit Zitat

Das mit der Dimension von reellem und komplexem Vektorraum sollte ich erklären.

1) Betrachten wir die komplexe Zahlenebene und die Darstellung einer komplexen Zahl z mittels zweier reeller Zahlen x,y sowie der imaginären Einheit i:





Natürlich fehlen bei den normalen Vektoren die zusätzlichen Rechenregeln für komplexe Zahlen, aber das interessiert nicht, wenn wir nur die Dimension diskutieren.

Offenbar liefert (1) eine zweidimensionale komplexe Zahlenebene.

2) Betrachten wir nun die selbe komplexe Zahl z, jedoch einen künstlichen, eindimensionalen Vektor





Im Gegensatz zu den zwei reellen Koeffizienten x,y in (1) haben wir in (2) einen komplexen Koeffizientenz. Beides repräsentiert die selbe komplexe Zahl z.


Wenn man z im Sinne von (1) darstellt, liegt ein 2-dim. Vektorraum über den reellen Zahlen (x,y) vor. Wenn man z dagegen gemäß (2) darstellt, liegt ein 1-dim. Vektorraum über den komplexen Zahlen (z) vor.


Im Falle der oben diskutierten Spins wäre dies im Sinne von (2) ein 2-dim. Vektorraum über den komplexen Zahlen, d.h. mit zwei komplexen Koeffizienten alpha



So wird das in der QM gehandhabt.

Du könntest jedoch auch vier reelle Koeffizienten einführen



und diese wie folgt gruppieren



Natürlich macht das niemand so; es ist unüblich und insbs. unpraktisch. Aber es zeigt, wie du den üblichen 2-dim. Vektorraum über den komplexen Zahlen mit den zwei komplexen Koeffizienten alpha auf einen 4-dim. Vektorraum über den reellen Zahlen mit den vier reellen Koeffizienten x,y abbilden könntest.

Und weil dies so ist, funktioniert keine vollständige und zugleich anschauliche Darstellung des Spins, weder physikalisch - siehe erster Beitrag zu den Wahrscheinlichkeiten - noch rein mathematisch - siehe letzter Beitrag zu den Vektorräumen.

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Anmeldungsdatum: 17.10.2020
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Beitrag terminus Verfasst am: 04. Dez 2020 09:45    Titel: Antworten mit Zitat

danke, genau das war "mein Problem":
einerseits hieß es, man könne alle R³ Spin-Wahrscheinlichkeiten in einem 2-dim VR darstellen, da es nur 2 DOF gibt, allerdings spannen ja bereits die orthonormalen (reellen) Grundvektoren |u> und |d> bereits einen 2D-VR auf (einen R²). Kommen jetzt aber noch Vektoren mit imaginären Komponenten hinzu, ist spätestens hier (mindestens) eine 3. Dim fällig.
Alle Vektoren für die R³ (3D) Spinzustände
|u>, |d>, |r>, |l>, |o>, |i>
repräsentieren aber andererseits doch nur relle Spin-Werte zwischen -1 und +1 (je nach Präparation und Erwartungswerten), die Basis-Vektoren einzeln dabei zwischen 0 und +1, und zwar für alle Raumdimensionen - dann sind es aber doch ebenfalls "nur" reelle Werte, die sie annehmen können.

Ist es dann nicht eigentlich eine Mogelpackung, zu behaupten, man käme mit "nur" 2 Dimensionen zur Darstellung aller R³ Spinzustände aus, und ist es dann nicht mehr als nur ein Taschenspielertrick, wenn man jetzt die versteckten 2. Dimensionen komplexer Zahlen zuhilfe nimmt, um dann "doch" "nur" einen 2D-Lösungsraum präsentieren zu können?

Mit der Vorstellungskraft ist es dann aber ntl vorbei, denn einen faktisch 4D-VR kann ich mir ja nun mal nicht vorstellen (wer kann das?), also wird es wohl keine Graphen geben, die |u>, |d>, |r>, |l>, |o>, |i> bildlich darstellen, oder? (ich denke da an Darstellungen wie von MO-Modellen als Punktewolken, ggf. sogar als 2D-Projektionen "auf Papier", z.B. wie für sp²+p oder sp³-Hybride beim Kohlenstoff, aber auch das 4D-RZK lässt sich ja als 2- oder 3D-Projektion bildlich darstellen...)

(Andererseits versagt aber auch schon meine Vorstellungskraft alleine schon für |u>, |d>, |r>, |l>, tbh)

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Beitrag TomS Verfasst am: 04. Dez 2020 10:27    Titel: Antworten mit Zitat

Ich fürchte, da geht noch einiges durcheinander.

A) Vergiss zunächst mal den reellen Vektorraum, denn in dieser Form wirst du ihm in der Quantenmechanik nie begegnen; ich wollte damit lediglich aufzeigen, warum eine anschauliche Vorstellung nicht möglich ist – aufgrund der zu verwendenden mathematischen Objekte wie der komplexen Zahlen bzw. der Dimension.

B) Dann musst du drei hier diskutierte Vektorräume unterscheiden:
i) der 3-dim. Ortsraum
ii) der - in diesem Fall - 2-dim. Spin-Raum
iii) sowie die 2.-dim. komplexe Ebene, die jedoch wegen (A) nicht relevant ist

C) Die sechs Spin-Zustände Spinzustände |u>, |d>, |r>, |l>, |o>, |i> entsprechen lediglich drei speziellen Basen {|u>, |d>}, {|r>, |l>}, {|o>, |i>}. im Prinzip kannst du durch Rotation beliebig viele gegeneinander verdrehte Basen erzeugen; diese sind physikalisch zunächst mal alle gleichberechtigt. Die physikalisch relevante Eigenschaft wird lediglich durch die einen Spin-Zustand repräsentiert, d.h. genau eine Richtung im hier 2-dim. Spin-Raum. Wie du selbst gezeigt hast, kannst du jede Spin-Richtung bezüglich einer beliebigen Basis darstellen bzw. diese Darstellungen ineinander umrechnen; welche Basis du wählst, ist lediglich Geschmackssache. Auch wenn ein Quantensystem den Spin|u> hat, könntest du die Basis |r>, |l> benutzen, es ist lediglich weniger praktisch.

D) Wir haben es weder mit einer Mogelpackung noch einem Taschenspielertrick zu tun. Die von Susskind verwendete Darstellung auf Basis eines 2-dim. komplexen Vektorraum ist ist mathematisch präzise definiert und schlichtweg praktisch. Im Falle höherer Spins wird übrigens auch die Dimension des Vektorraumes ansteigen. In der Natur findest du Spin-Werte s = 0, 1/2, 1, 3/2 ... Die Dimensionalität des Spin-Raumes berechnet sich zu



d.h. 1, 2, 3, 4, ... (fett der hier diskutierte Fall).

E) Dann musst du strikt unterscheiden zwischen dem mathematischen Modell für den Spin – dem hier diskutierten Spin-Raum – sowie den tatsächlich möglichen Messwerten für ein Spin-Komponente bezüglich einer beliebig gewählten Achse. Für die o.g. Spins s = 0, 1/2, 1, 3/2 ... lauten die möglichen Messwerte



im vorliegenden Fall also s_z = -1/2, +1/2. Der Spin-Raum ist demnach ein abstraktes Gebilde, dass nicht unmittelbar den beobachtbaren Gegebenheiten entspricht. Konkret: wir messen nie einen Spin-Zustand, sondern immer nur einen Spin s sowie eine Spin-Komponente wie z.B. s_z. Allerdings müssen wir den abstrakten Spin-Raum in unserem mathematischen Modell verwenden, da nur so die korrekte Berechnung möglicher Messwerte u.a. Größen möglich ist. Es ist nicht möglich, die Quantenmechanik direkt mittels der beobachtbaren Größen zu formulieren! Dies ist der wesentliche Unterschied zur klassischen Mechanik, der Grund für den Verlust der Anschaulichkeit und die Ursache, warum wir zwischen dem mathematischen Modell einerseits und den beobachtbaren Größen andererseits strikt unterscheiden müssen; die Physiker haben das nicht aus Spaß so kompliziert konstruiert.

Zu deinem Wunsch einer grafischen Darstellung wie zum Beispiel für die Orbitale: auch die Orbitale sind eine graphische Notation, die jedoch extreme Vereinfachungen beinhaltet und viele Aspekte nicht korrekt wiedergibt! Wie im Falle des Spins liegt ein abstrakter mathematischer Formalismus zu Grunde – die Wellenfunktionen – denen du später in dem Buch auch noch begegnen wirst; die Wellenfunktionen „leben“ ebenfalls in einem Vektorraum, der jedoch unendlich-dimensional ist. Nur mittels dieser Wellenfunktionen sind konkrete Berechnungen von Messwerten wie zum Beispiel Energieniveaus, Spektrallinien, Molekülbindungen und Bindungsenergien möglich; die Vorhersagekraft der Orbitale ist dagegen praktisch null (sie erklären ex post, was mittels Wellenfunktionen berechnet wird). Leider ist das Festhalten an anschaulichen Bildern im Falle der Quantenmechanik oft kontraproduktiv – auch deswegen wirst du ihnen in dem Büchlein nicht begegnen.

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Beitrag terminus Verfasst am: 04. Dez 2020 10:35    Titel: Antworten mit Zitat

die Vorhersagekraft der Orbitalmodelle ist Null?
Das sehe ich anders (CMIIW):
im Beispiel sp³-Hybrid sagen sie einen Tetraeder vorraus, was beim Kohlenstoff der Diamant-Struktur entspricht (analog Methan- oder Cyclohexan-Struktur), und im Falle der sp²+p Hybride eine hexagonale Kristallstruktur wie beim Graphit (inkl. der Verschieblichkeit der Schichten, analog bei Ethen oder Benzol), entsprechendes gilt für sp+2p Hybride in Dreifachbindungen, und auch komplexere Gebilde und Strukturen wie Fullerene etc. lassen sich damit vorhersagen. Selbst Proteinstrukturen lassen sich damit aus der AS-Sequenz vorraus berechnen.

3D-Modelle und 2D-Zeichnungen des 4D-RZK können ebenfalls die Verformung durch Massen sehr schön bildlich vedeutlichen.

Klar, liegt in jeder Skizze eine Vereinfachung, dennoch fände ich eine solche bildliche Vereinfachung auch für |u>, |d>, |r>, |l>, |o>, |i> sehr hilfreich für mich zum Verständnis.

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Beitrag TomS Verfasst am: 04. Dez 2020 11:35    Titel: Antworten mit Zitat

terminus hat Folgendes geschrieben:
die Vorhersagekraft der Orbitalmodelle ist Null?

Ja, das Orbitalmodell erklärt ex post, veranschaulicht und so weiter, es hat jedoch keine Vorhersagekraft, insbs. keine quantitative; noch nicht einmal die Formen der einfachsten Orbitale für das Wasserstoffatom werden vorhergesagt.

Zum Beispiel der Hybridorbitale: wie gesagt, diese basieren auf quantenmechanischen Berechnungen mittels Wellenfunktionen; die Graphiken veranschaulichen, was zuvor berechnet wurde; es wird konstatiert, dass eine bestimmte Konfiguration bindend oder antibindend ist, es wird nicht vorhergesagt, warum.

Zu den eigentlichen Berechnungen siehe erstmals hier

http://boscoh.com/pdf/pauling.pdf
THE NATURE OF THE CHEMICAL BOND. APPLICATION OF RESULTS OBTAINED FROM THE QUANTUM MECHANICS AND FROM A THEORY OF PARAMAGNETIC SUSCEPTIBILITY TO THE STRUCTURE OF MOLECULES
Linus. Pauling
J. Am. Chem. Soc. 1931, 53, 4, 1367–1400
Publication Date:April 1, 1931

sowie (exemplarisch) zur Molecular Orbital Theory

https://www.uni-saarland.de/fileadmin/user_upload/Professoren/fr81_ProfJung/Harrison05.pdf
Some Observations on Molecular Orbital Theory
James F. Harrison, Department of Chemistry, Michigan State University
Daniel B. Lawson, Department of Natural Science, University of Michigan–Dearborn

Hinter den einfach aussehenden Gleichungen stecken komplizierte Integrale; die Berechnung erfolgt mittels numerischer Methoden - siehe Einleitung; quantitative Vorhersagen findest du in den Tabellen.

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Zuletzt bearbeitet von TomS am 04. Dez 2020 12:16, insgesamt 2-mal bearbeitet
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Beitrag TomS Verfasst am: 04. Dez 2020 12:15    Titel: Antworten mit Zitat

terminus hat Folgendes geschrieben:
... dennoch fände ich eine solche bildliche Vereinfachung auch für |u>, |d>, |r>, |l>, |o>, |i> sehr hilfreich für mich zum Verständnis.

Schon klar; evtl. fällt mir was ein.

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Beitrag terminus Verfasst am: 09. Dez 2020 15:32    Titel: Antworten mit Zitat

zurück zu den Spinzuständen und den Freiheitsgraden von αu und αd u.a. in Gleichungen (3), (5), (6), (7).
Susskind, S.30 hat Folgendes geschrieben:

(a) Der allgemeine Spin wird durch 2 komplexe Zahlen αu und αd beschrieben. Dies scheint insgesamt 4 reelle Parameter zu ergeben, da jeder komplexe Parameter für 2 reelle steht. Aber ...der Vektor muss ...normiert sein. Die Normierungsbedingung gibt uns eine Gleichung mit den rellen Variablen,
=> (a1) und dadurch reduziert sich die Anzahl der Parameter auf 3.

(b) Die physikalischen Eigenschaften des Zustandsvektors hängen nicht vom Phasenfaktor ab.
=> (b1) Das bedeutet, dass einer der 3 verbliebenen Parameter redundant ist, und so bleiben nur noch 2 (Freiheitsgrade).


Die Statements (a) und (b) erschienen mir klar, aber die Folgerungen (a1), (b1) verstehe ich nicht: wieso verringern sich jeweils die Freiheitsgrade dadurch? Weder werden es zu (a) weniger relle Zahlen, noch war zu (b) oben irgendwo ein Phasenfaktor zusätzlich als Variable vorhanden.... (?)

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Beitrag TomS Verfasst am: 09. Dez 2020 21:38    Titel: Antworten mit Zitat

Die Reduktion von



mittels





funktioniert wie folgt:



In Worten:

Es werden nicht zwingend weniger Parameter, aber die Parameter müssen zusätzliche Bedingungen erfüllen. Jede Bedingung reduziert die Dimension um Eins.


Einfaches Beispiel: Die Forderung, dass ein Vektor in der 2-dim. reellen Zahlenebene R^2 ein Einheitsvektor ist, erzwingt, dass er einen Einheitskreis S^1 überstreicht. Die analogen Forderungen für einen Vektor im 3- bzw. 4-dim. Raum führen auf die 2-dim. bzw. 3-dim. Kugeloberflächen S^2 bzw. S^3 (Letzteres ist ein 3-dim. Bereich in 4 Dimensionen, der einen 4-dim. Ball einschließt; nicht mehr anschaulich vorstellbar, aber mathematisch identisch definiert).

In den speziellen Fällen R^n bzw. kannst du die Anzahl der Parameter tatsächlich explizit reduzieren: du startest mit zwei, drei, ... n kartesischen Koordinaten im 2-, 3-, ... n-dim. Raum R^2, R^3, ... R^n und endest mit ein, drei, ... n-1 Winkelkoordinaten auf dem Kreis S^1, Kugeloberfläche S^2, ... S^n.

Speziell für R^2 startest du mit zwei kartesischen Koordinaten (x,y) und endest mit einem Winkel phi, so dass x,y als Funktion von phi einen Kreis überstreicht.



Für R^4 nach S^3 funktioniert dies analog (nicht mehr vorstellbar), du startest mit vier kartesischen Koordinaten und endest mit drei Winkeln, so dass die kartesischen Koordinaten als Funktionen der drei Winkel bzw. Parameter eine S^3 überstreicht.

Dies entspricht Susskinds „die Normierungsbedingung gibt uns eine Gleichung mit den [vier] rellen Variablen, ... dadurch reduziert sich die Anzahl der Parameter [von vier] auf drei“.

Das entspricht (1).


(2) führt auf eine weitere Reduktion. Stell dir einen beliebigen Punkt auf einer 2-dim. Kugeloberfläche vor. Nun betrachtest du alle Punkte als äquivalent, die du durch Rotation um eine feste Achse ineinander überführen kannst; auf der Erdoberfläche wäre dies z.B. die Erdachse, so dass du alle Punkte auf einem Breitengrad immer auf den Punkt rotierst, in dem dieser Breitengrad den Nullmeridian schneidet: du setzt den Längengrad = die Phase phi auf Null. Du kannst also den beliebigen Punkt immer auf den Nullmeridian rotieren und reduzierst dadurch zwei Winkelkoordinaten auf eine. Damit reduzierst du die Kugeloberfläche auf den Nullmeridian, d.h. auf einen Kreis (das Beispiel ist nicht ganz korrekt).

Auch das funktioniert wieder allgemein für S^n. Speziell für S^2 startest du mit zwei Winkelkoordinaten für die kartesischen Koordinaten, setzt den Winkel phi zu Null und endest mit einem Winkel theta sowie einem Kreis in der xz-Ebene mit y=0.



Dies entspricht dem „Die physikalischen Eigenschaften des Zustandsvektors hängen nicht vom Phasenfaktor ab. Das bedeutet, dass einer der drei verbliebenen Parameter redundant ist, und so bleiben nur noch zwei [Freiheitsgrade bzw. Parameter oder Winkel].

Auf der Erdoberfläche wäre ein einfaches Beispiel der Sonnenstand am Mittag oder die Tages- und Nachtlänge; beides hängt (neben der Jahreszeit) nicht vom Längengrad ab, dieser ist also redundant.

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Zuletzt bearbeitet von TomS am 10. Dez 2020 09:47, insgesamt 2-mal bearbeitet
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Beitrag terminus Verfasst am: 10. Dez 2020 09:44    Titel: Antworten mit Zitat

dankeschön, leider noch viel zu kompliziert für mich zu verstehen. Lässt es sich nicht ohne die Formeln mit den Abbildungen und ohne die Kugeln erklären, nur mir dem Instrumentarium von Susskind, das er im Buch entwickelt hat, und dann in einfachen Worten?

zu (a) könnte ich eventuell noch verstehen, dass die Gleichung
(1) αu*⋅αu + αd*⋅αd = 1
eine Einschränkung bedeutet, aber so ganz anschaulich und logisch klar ist mir auch das noch nicht.

zu (b) ist allerdings alles noch völlig im Dunkeln....

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Beitrag TomS Verfasst am: 10. Dez 2020 09:51    Titel: Antworten mit Zitat

Wenn dir die Formeln zu kompliziert sind, dann bleib bei den anschaulichen Bildern:
- im R^3 brauche ich drei kartesische Koordinaten
- für eine Kugeloberfläche S^2 nur noch zwei Winkelkoordinaten
- und wenn der Längengrad egal ist, setze ich ihn auf Null und reduziere auf einem Kreis S^1 mit nur noch einer Winkelkoordinate.

Gilt für die Spins genauso, nur dass du immer eine Dimension mehr hast.

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Beitrag terminus Verfasst am: 10. Dez 2020 09:54    Titel: Antworten mit Zitat

dass ich im R³ nur 2 Winkel brauche zur Identifikation eines Punktes ist mir klar, das war das erste Erklärungsmodell von Susskind (edit: wenn die Vektorlänge immer 1 ist, ist es dann eindeutig, ok).

Mit geht es jetzt um das andere Erklärungsmodell, per Reduktion der Freiheitgrade für αu und αd aus den Formeln (1), (3), (5), (6), (7), so wie es im Zitat oben steht, und hier insb. Aussage (b)
Zitat:
(b) Die physikalischen Eigenschaften des Zustandsvektors hängen nicht vom Phasenfaktor ab.
=> (b1) Das bedeutet, dass einer der 3 verbliebenen Parameter redundant ist, und so bleiben nur noch 2 (Freiheitsgrade).

denn gerade ein "Phasenfaktor" taucht hier in (1), (3), (5), (6), (7) ja überhaupt nicht auf.

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Beitrag TomS Verfasst am: 10. Dez 2020 10:48    Titel: Antworten mit Zitat

Aber das ist exakt das selbe, nur in einer Dimension mehr: vier reelle Parameter in den alphas werden über (1) zu drei Winkeln, über (2) zu zwei Winkeln.
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Beitrag index_razor Verfasst am: 10. Dez 2020 12:13    Titel: Antworten mit Zitat

terminus hat Folgendes geschrieben:

Mit geht es jetzt um das andere Erklärungsmodell, per Reduktion der Freiheitgrade für αu und αd aus den Formeln (1), (3), (5), (6), (7), so wie es im Zitat oben steht, und hier insb. Aussage (b)
Zitat:
(b) Die physikalischen Eigenschaften des Zustandsvektors hängen nicht vom Phasenfaktor ab.
=> (b1) Das bedeutet, dass einer der 3 verbliebenen Parameter redundant ist, und so bleiben nur noch 2 (Freiheitsgrade).

denn gerade ein "Phasenfaktor" taucht hier in (1), (3), (5), (6), (7) ja überhaupt nicht auf.


Die Aussage bedeutet, daß und denselben physikalischen Zustand definieren, und zwar für jedes . Deswegen taucht ein Phasenfaktor natürlich in keiner Gleichung explizit auf. Warum auch?

Die Äquivalenz der beiden Vektoren und kann man aber dazu benutzen, eine weitere Bedingung an die verbleibenden 3 reellen Parameter zu stellen, z.B. daß reell ist bzw.



(Dafür muß man nur mit einem geeigneten Phasenfaktor multiplizieren.) Dann bleiben nur noch zwei unabhängige reelle Parameter übrig.
terminus



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Beitrag terminus Verfasst am: 10. Dez 2020 13:41    Titel: Antworten mit Zitat

sorry, das verstehe ich alles nicht - da bin ich dann sicher zu dumm :(

Susskind erklärt es ja auch nicht genauer...
Zitat:
(b) Die physikalischen Eigenschaften des Zustandsvektors hängen nicht vom Phasenfaktor ab.
=> (b1) Das bedeutet, dass einer der 3 verbliebenen Parameter redundant ist, und so bleiben nur noch 2 (Freiheitsgrade).

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