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terminus
Anmeldungsdatum: 17.10.2020
Beiträge: 555
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 terminus Verfasst am: 22. Nov 2020 15:12 Titel: Darstellung von Spin-Zuständen |
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Buch: Susskind, S. 27f
Es wurde ein Spin auf der x-Achse präpariert (zB +1), nun sollen daraus |u> und |d> (z-Achse) ausgerechnet werden.
Es gilt
(1) αu*⋅αu + αd*⋅αd = 1
dabei sind αu und αd die jeweiligen Vektorkomponenten eines Vektors |A>:
(2) αu = <u|A> , αd = <d|A>, |A> = αu⋅|u> + αd⋅|d>
Die Wahrscheinlichkeiten für up und down sind je 1/2,
als mögliche Lösung wird vorgeschlagen:
(3) |r> = (1/√2) |u> + (1/√2) |d>
Das verstehe ich (glaube ich), denn nach Einsetzen der Komponenten in (1) und Ausmultiplizieren erhalte ich
(4) αu*⋅αu + αd*⋅αd = 1/2<u|u> + 1/2<d|d> = 1/2 + 1/2 = 1.
Es folgen einige längere Ausführungen (deren Logik sich mir teilweise, aber offenbar nicht vollständig erschließt).
Anschließend wird behauptet:
Dadurch muss |l> im Wesentlichen diese Form annehmen:
(5) |l> = (1/√2) |u> - (1/√2) |d>
DAS verstehe ich nun nicht, ich hätte auch hier ein + Zeichen dazwischen gesetzt.
Dennoch ergibt sich für αd = -1/√2 ntl auch dasselbe wie in (4).
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edit, hab's kapiert:
|l> muss senkrecht auf |r> stehen, das tut aber nur (5) auf (3)
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terminus
Anmeldungsdatum: 17.10.2020
Beiträge: 555
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| terminus Verfasst am: 22. Nov 2020 18:56 Titel: |
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ich mach jetzt mal hier weiter, obwohl es ein Folge-Problem ist.
Entwickelt man die Darstellung auch für die y-Achse (in, out), bekommt man
(6) |i> = (1/√2) |u> + (i/√2) |d>
(7) |o> = (1/√2) |u> - (i/√2) |d>
wie kann man zeigen, dass die Vektoren eindeutig bestimmt sind?
Oder sind sie das gar nicht?
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 22. Nov 2020 19:43 Titel: |
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| terminus hat Folgendes geschrieben: | ich mach jetzt mal hier weiter, obwohl es ein Folge-Problem ist.
Entwickelt man die Darstellung auch für die y-Achse (in, out), bekommt man
(6) |i> = (1/√2) |u> + (i/√2) |d>
(7) |o> = (1/√2) |u> - (i/√2) |d>
wie kann man zeigen, dass die Vektoren eindeutig bestimmt sind?
Oder sind sie das gar nicht?
Und ist das überhaupt nortendig? |
Ja, das ist im wesentlichen (d.h. bis auf physikalisch irrelevante Unterschiede) eindeutig. Das folgt daraus, daß x,y und z-Achse durch eindeutige Drehungen im Raum auseinander hervorgehen und daß zu jeder Drehung im Raum im wesentlichen (selbe Bedeutung wie oben) eine unitäre Transformation der Zustandsvektoren im Hilbertraum gehört. Wenn du also mit einer bestimmten Basis für Spinzustände in einer Raumrichtung startest, dann ergeben sich die Basen der Spinzustände in jeder anderen Richtung durch eine unitäre Transformation. |
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terminus
Anmeldungsdatum: 17.10.2020
Beiträge: 555
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| terminus Verfasst am: 22. Nov 2020 19:46 Titel: |
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grob habe ich mir das auch so vorgestellt, aber wie kann man das mathematisch beweisen?
Widerspruchsbeweis?
Annehmen, dass es doch 2 verschiedene gäbe (welche?) und dann zeigen (wie?) dass sie doch zusammenfallen?
(edit, "Hilbertraum" wurde noch nicht definiert, "unitäre Transformation" auch noch nicht)
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 22. Nov 2020 20:42 Titel: |
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| terminus hat Folgendes geschrieben: | grob habe ich mir das auch so vorgestellt, aber wie kann man das mathematisch beweisen?
Widerspruchsbeweis?
Annehmen, dass es doch 2 verschiedene gäbe (welche?) und dann zeigen (wie?) dass sie doch zusammenfallen?
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Normalerweise definiert man was ein "Spinzustand" ist über die Art und Weise wie er durch räumliche Drehungen transformiert wird. Eine Transformation hat aber immer ein eindeutiges Ergebnis. Mehrdeutigkeiten kann es da also eigentlich nur geben, wenn der Ausgangszustand schon mehrdeutig war. Letzteres kann natürlich der Fall sein, wenn es neben dem Spin noch weitere innere Freiheitsgrade gibt, die sich bei Drehungen nicht ändern.
| Zitat: |
(edit, Hilbertraum wurde noch nicht definiert) |
Hm, das ist einfach der Vektorraum aller Kets. Wird nirgendwo erwähnt, daß dies ein Hilbertraum ist? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18064
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| TomS Verfasst am: 22. Nov 2020 21:29 Titel: |
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| terminus hat Folgendes geschrieben: | | "Hilbertraum" wurde noch nicht definiert, "unitäre Transformation" auch noch nicht |
Ein Hilbertraum ist die unendlich-dimensionale Verallgemeinerung des dir bekannten Konzeptes eines endlich-dimensionalen Vektorraumes, das für Vektoren die Definition deren Länge sowie ein Skalarprodukt und demzufolge Winkel erlaubt.
Wann immer in dem Buch Vektoren mittels Summen über Basisvektoren und Koeffizienten dargestellt werden, gibt es praktisch keine wesentlichen Unterschiede zu endlich-dimensionalen Vektorräumen.
Der Begriff des Hilbertraumes ist jedoch allgemeiner und erlaubt es außerdem, Funktionen als Vektoren aufzufassen. Die o.g. diskrete Basis und die Summe werden durch eine kontinuierliche Basis sowie ein Integral ersetzt. Dies spielt insbs. im Falle von Wellenfunktionen eine Rolle und wird später eingeführt; bis dahin siehe oben.
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terminus
Anmeldungsdatum: 17.10.2020
Beiträge: 555
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| terminus Verfasst am: 23. Nov 2020 11:06 Titel: |
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worauf ICH hinaus wollte:
Der Beweis der Eindeutigkeit wurde im Buch von Susskind als Aufgabe gestellt, ohne vorher den Hilbertraum einzuführen.
edit, Stand der Definitionen:
Vektorraum wurde definiert über:
Summe von Kets (+)
Addition + kommutativ
Addition + assoziativ
Nullvektor als neutrales Element für +
Inverses Element per + zu Vektor
Skalarprodukt mit komplexer Zahl
Distributivgesetz per Addition und Skalarprodukt
Zeilenvektoren und Spaltenvektoren
Innere Produkte von Bras und Kets
normiert, orthogonal, Orthogonalbasen, Orthonormalbasen
Es muss also möglich sein, die Aufgabe ohne Hilbertraum zu lösen, mit den Mitteln des Buches bis zu diesem Kapitel -
ich habe nur keine Idee, wie man das mathematisch machen kann.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18064
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| TomS Verfasst am: 23. Nov 2020 12:11 Titel: |
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| terminus hat Folgendes geschrieben: | Es muss also möglich sein, die Aufgabe ohne Hilbertraum zu lösen, mit den Mitteln des Buches bis zu diesem Kapitel -
ich habe nur keine Idee, wie man das mathematisch machen kann. |
Ja; deswegen:
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | ... wann immer in dem Buch Vektoren mittels Summen über Basisvektoren und Koeffizienten dargestellt werden, gibt es praktisch keine wesentlichen Unterschiede [eines Hilbertraumes] zu endlich-dimensionalen Vektorräumen. |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 23. Nov 2020 12:17 Titel: |
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| terminus hat Folgendes geschrieben: | worauf ICH hinaus wollte:
Der Beweis der Eindeutigkeit wurde im Buch von Susskind als Aufgabe gestellt, ohne vorher den Hilbertraum einzuführen.
edit, Stand der Definitionen:
Vektorraum wurde definiert über:
Summe von Kets (+)
Addition + kommutativ
Addition + assoziativ
Nullvektor als neutrales Element für +
Inverses Element per + zu Vektor
Skalarprodukt mit komplexer Zahl
Distributivgesetz per Addition und Skalarprodukt
Zeilenvektoren und Spaltenvektoren
Innere Produkte von Bras und Kets
normiert, orthogonal, Orthogonalbasen, Orthonormalbasen
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Das ist praktisch die Definition eines Hilbertraums: ein Vektorraum mit innerem Produkt. (Ein mathematisches Detail fehlt, spielt aber gerade keine Rolle.) Im Fall deiner Spin-1/2-Zustände ist dies also der Raum, der durch alle Vektoren  aufgespannt wird. Das ist im wesentlichen  mit innerem Produkt
Warum Susskind das nicht als Hilbertraum bezeichnet, wenn er ihn schon einführt, kann ich nicht nachvollziehen.
| Zitat: |
Es muss also möglich sein, die Aufgabe ohne Hilbertraum zu lösen, mit den Mitteln des Buches bis zu diesem Kapitel -
ich habe nur keine Idee, wie man das mathematisch machen kann. |
Ich habe das Buch nicht, kann also nicht wissen, mit welchen Voraussetzungen man arbeiten kann. Wie definiert Susskind denn jeweils Spineigenzustand in beliebige Richtung  ? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18064
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| TomS Verfasst am: 23. Nov 2020 12:22 Titel: |
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Welche Aufgabe meinst du?
Auf S. 27 wird der Beweis der Orthogonalität von |r> und |l> gefordert; das folgt direkt durch Bilden des Skalarproduktes.
Um zu zeigen, dass dies “im wesentlichen eindeutig ist”, müsstest du einen allgemeineren Ansatz für |l> verwenden, anschließend die Orthonormiertheit ausnutzen und daraus die mögliche Form von |l> einschränken.
Durch die letzten beiden Gleichungen erhältst du Bedingungen für die Koeffizienten  mit der verbleibenden Freiheit von S. 28 oben.
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Zuletzt bearbeitet von TomS am 23. Nov 2020 12:40, insgesamt 3-mal bearbeitet |
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terminus
Anmeldungsdatum: 17.10.2020
Beiträge: 555
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| terminus Verfasst am: 23. Nov 2020 12:38 Titel: |
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Spineigenzustand habe ich noch nirgends gelesen
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18064
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| TomS Verfasst am: 23. Nov 2020 12:39 Titel: |
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| terminus hat Folgendes geschrieben: | | Spineigenzustand habe ich noch nirgends gelesen |
Brauchst du auch nicht. Alles notwendige steht in meinem Beitrag.
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 23. Nov 2020 12:43 Titel: |
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| terminus hat Folgendes geschrieben: | | Spineigenzustand habe ich noch nirgends gelesen |
Damit meine ich  etc. Das sind also Zustände mit exaktem Spinwert in z-, x-Richtung usw.
Wenn du beweisen willst, daß diese Zustände irgendwie "eindeutig" sind, muß ja vorher definiert werden, welche Eigenschaften sie haben. |
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terminus
Anmeldungsdatum: 17.10.2020
Beiträge: 555
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| terminus Verfasst am: 23. Nov 2020 12:43 Titel: |
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Es geht um Aufgabe 2.2
Beweis der Orthogonalität von |r> und |l> nach Aufgabe 2.1 habe ich zeigen können, indem ich ich die rechten Seiten von (4) und (5) miteinander multipliziert habe, das ergab Null.
Das geht analog auch für (6) und (7).
Aber wie kann ich die Eindeutigkeit zeigen?
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terminus
Anmeldungsdatum: 17.10.2020
Beiträge: 555
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| terminus Verfasst am: 23. Nov 2020 12:45 Titel: |
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| index_razor hat Folgendes geschrieben: |
Wenn du beweisen willst, daß diese Zustände irgendwie "eindeutig" sind, muß ja vorher definiert werden, welche Eigenschaften sie haben. |
ich kann nur das finden, was im TOP steht https://www.physikerboard.de/ptopic,349685.html#349685
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 23. Nov 2020 12:45 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | terminus hat Folgendes geschrieben: | | Spineigenzustand habe ich noch nirgends gelesen |
Brauchst du auch nicht. Alles notwendige steht in meinem Beitrag. |
In welchem Sinne soll da was eindeutiges herauskommen? Da stehen nur die Kriterien für eine beliebige Orthonormalbasis. Davon gibt es doch ganz viele. |
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terminus
Anmeldungsdatum: 17.10.2020
Beiträge: 555
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| terminus Verfasst am: 23. Nov 2020 12:48 Titel: |
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| terminus hat Folgendes geschrieben: | | Spineigenzustand habe ich noch nirgends gelesen |
PS,
| Zitat: | |
es wird auch nirgends Spaltenvektor mal Spaltenvektor im C² definiert
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18064
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| TomS Verfasst am: 23. Nov 2020 12:54 Titel: |
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| terminus hat Folgendes geschrieben: | | Aber wie kann ich die Eindeutigkeit zeigen? |
Indem du liest was ich oben geschrieben habe:
| TomS hat Folgendes geschrieben: | Um zu zeigen, dass dies “im wesentlichen eindeutig ist”, müsstest du einen allgemeineren Ansatz für |l> verwenden, anschließend die Orthonormiertheit ausnutzen und daraus die mögliche Form von |l> einschränken.
Durch die letzten beiden Gleichungen erhältst du Bedingungen für die Koeffizienten mit der verbleibenden Freiheit von S. 28 oben. |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
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| index_razor Verfasst am: 23. Nov 2020 12:57 Titel: |
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| terminus hat Folgendes geschrieben: | | terminus hat Folgendes geschrieben: | | Spineigenzustand habe ich noch nirgends gelesen |
PS,
| Zitat: | |
es wird auch nirgends Spaltenvektor mal Spaltenvektor im C² definiert |
Nein, es wird die dazu äquivalente Definition
\vec{y})
verwendet. |
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terminus
Anmeldungsdatum: 17.10.2020
Beiträge: 555
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| terminus Verfasst am: 23. Nov 2020 13:04 Titel: |
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| index_razor hat Folgendes geschrieben: | | terminus hat Folgendes geschrieben: | | terminus hat Folgendes geschrieben: | | Spineigenzustand habe ich noch nirgends gelesen |
PS,
| Zitat: | |
es wird auch nirgends Spaltenvektor mal Spaltenvektor im C² definiert |
Nein, es wird die dazu äquivalente Definition
verwendet. |
das habe ich so allerdings auch noch nirgends gelesen.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18064
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| TomS Verfasst am: 23. Nov 2020 13:09 Titel: |
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| terminus hat Folgendes geschrieben: | | Das habe ich so allerdings auch noch nirgends gelesen. |
Das hochgestellte T* bedeutet Transponieren d.h. von Spalten- zu Zeilenvektor übergehen und anschließend komplex konjugieren.
Das ist aber im Kontext der Aufgabe irrelevant. Was du benötigst steht auf Seite 27 und in meinen Post, das Ergebnis dann auf Seite 28.
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 23. Nov 2020 13:13 Titel: |
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| terminus hat Folgendes geschrieben: |
das habe ich so allerdings auch noch nirgends gelesen. |
Ich dachte das hättest du mal selbst so definiert: Einen Bra (Zeilenvektor) erzeuge ich doch durch Transposition und komplexe Konjugation. Das ergibt  . Den kann ich dann mit dem Ket (Spaltenvektor)  multiplizieren.
Aber ich wollte nicht von der Aufgabe ablenken. Offenbar weiß ja TomS, worum es geht. Ich habe bisher jedenfalls nicht verstanden, wie man aus den angegebenen Bedingungen irgendeine Eindeutigkeit schließen können sollte. Es sieht für mich so aus als ob da bis jetzt nur steht, daß es sich bei  um zwei orthonormierte Vektoren handelt. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18064
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| TomS Verfasst am: 23. Nov 2020 13:17 Titel: |
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@index_razor - z.I.:
bei Susskind sind zwei Formeln für |r>, |l> explizit als Linearkombination von |u>, |d> angegeben; die Frage ist, ob bei Angabe dieses |r> das ||> eindeutig ist (nein), was man tun muss, um das herauszufinden (s.o.) und welche Freiheit übrig bleibt (Phase, S. 28).
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terminus
Anmeldungsdatum: 17.10.2020
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| terminus Verfasst am: 23. Nov 2020 13:22 Titel: |
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| index_razor hat Folgendes geschrieben: | | terminus hat Folgendes geschrieben: |
das habe ich so allerdings auch noch nirgends gelesen. |
Ich dachte das hättest du mal selbst so definiert: Einen Bra (Zeilenvektor) erzeuge ich doch durch Transposition und komplexe Konjugation. Das ergibt . Den kann ich dann mit dem Ket (Spaltenvektor) multiplizieren.
Aber ich wollte nicht von der Aufgabe ablenken. Offenbar weiß ja TomS, worum es geht. Ich habe bisher jedenfalls nicht verstanden, wie man aus den angegebenen Bedingungen irgendeine Eindeutigkeit schließen können sollte. Es sieht für mich so aus als ob da bis jetzt nur steht, daß es sich bei um zwei orthonormierte Vektoren handelt. |
ja, das mit dem Bra stimmt, hier wird die Multiplikation mit einem Ket definiert, das wird aber immer als Zeilenvektor mal Spaltenvektor geschrieben.
ich verstehe jetzt aber immer noch nicht wie der Beweis laufen soll, ich habe auch keine Erfahrung damit, denn ich habe weder Physik noch Mathematik studiert.
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Zuletzt bearbeitet von terminus am 23. Nov 2020 13:23, insgesamt einmal bearbeitet |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18064
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| TomS Verfasst am: 23. Nov 2020 13:22 Titel: |
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Ignorierst du meine Beiträge?
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terminus
Anmeldungsdatum: 17.10.2020
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| terminus Verfasst am: 23. Nov 2020 13:24 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Ignorierst du meine Beiträge? |
nein, sie sind mir völlig unverständlich
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
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| index_razor Verfasst am: 23. Nov 2020 13:25 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | @index_razor - z.I.:
bei Susskind sind zwei Formeln für |r>, |l> explizit als Linearkombination von |u>, |d> angegeben; die Frage ist, ob bei Angabe dieses |r> das ||> eindeutig ist (nein), was man tun muss, um das herauszufinden (s.o.) und welche Freiheit übrig bleibt (Phase, S. 28). |
Achso, ich dachte es geht um die Eindeutigkeit der Definition von selbst. Aber es geht nur um die Freiheiten, die man zusätzlich noch hat ohne die gegebenen Übergangswahrscheinlichkeiten zu ändern. Das klärt es natürlich, danke. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18064
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| TomS Verfasst am: 23. Nov 2020 13:33 Titel: |
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| terminus hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | Ignorierst du meine Beiträge? |
nein, sie sind mir völlig unverständlich |
Das ist seltsam, denn du hattest kürzlich noch behauptet, Kapitel 1 verstanden zu haben. Es geht um nichts anders.
Also nochmal:
Um zu zeigen, dass die Form von |l> “im wesentlichen eindeutig ist”, musst du einen allgemeineren Ansatz für |l> verwenden, anschließend die Orthonormiertheit verwenden und damit die mögliche Form von |l> einschränken.
Allgemeiner Ansatz:
Orthonormiertheit:
Natürlich musst du für |l> den von mir genannten allgemeinen Ansatz und für|r> den von Susskind definierten Vektor einsetzen und die beiden Gleichungen zur Orthonormiertheit für die unbekannten Koeffizienten lösen.
Welche Fragen hast du diesbzgl.?
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terminus
Anmeldungsdatum: 17.10.2020
Beiträge: 555
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| terminus Verfasst am: 23. Nov 2020 13:35 Titel: |
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| index_razor hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | @index_razor - z.I.:
bei Susskind sind zwei Formeln für |r>, |l> explizit als Linearkombination von |u>, |d> angegeben; die Frage ist, ob bei Angabe dieses |r> das ||> eindeutig ist (nein), was man tun muss, um das herauszufinden (s.o.) und welche Freiheit übrig bleibt (Phase, S. 28). |
Achso, ich dachte es geht um die Eindeutigkeit der Definition von selbst. Aber es geht nur um die Freiheiten, die man zusätzlich noch hat ohne die gegebenen Übergangswahrscheinlichkeiten zu ändern. Das klärt es natürlich, danke. |
nein, ich verstehe es als die Aufgabe, die Eindeutigkeit der Formeln für |l>, |r>, |i>, |o> zu zeigen, von Freiheiten steht in der Aufgabe nichts, soweit ich sehe.
(Dazu hätte ich für später aber auch noch eine Frage)
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18064
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| TomS Verfasst am: 23. Nov 2020 13:53 Titel: |
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Ah, du bist schon bei Aufgabe 2.2.
Egal, die Ergänz zu Aufgabe 2.1 und die Herleitung der Aussage auf S. 28 oben ist ein Warm-Up bzw. zu 2.2; ohne dieses Verständnis ergibt es wenig Sinn, 2.2 anzugehen.
Also konkret:
Gegeben sei |r> wie auf S. 27 sowie der von mir genannte Ansatz für |l>. Zeige, dass |l> durch die Orthonormiertheit nicht eindeutig definiert ist, sondern noch eine Mehrdeutigkeit enthält!
Durch die Lösung wird dir klar, was “im Wesentlichen” (S. 27 vor 2.6) und “Phasen-Mehrdeutigkeit” (S. 28 oben) tatsächlich bedeutet. Erst wenn du das verstanden hast, solltest du 2.2 angehen, wobei du diese Rechnungen wieder verwenden kannst.
| terminus hat Folgendes geschrieben: | | nein, ich verstehe es als die Aufgabe, die Eindeutigkeit der Formeln ... zu zeigen, von Freiheiten steht in der Aufgabe nichts, soweit ich sehe. |
Wenn etwas nicht eindeutig definiert ist, dann ist es mehrdeutig, d.h. man hat bei der Definition Freiheiten (die Vorgabe für ein Auto “nicht schwarz”, lässt mir die Freiheit für rot, gelb, grün, ...)
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
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| index_razor Verfasst am: 23. Nov 2020 14:14 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | terminus hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | Ignorierst du meine Beiträge? |
nein, sie sind mir völlig unverständlich |
Das ist seltsam, denn du hattest kürzlich noch behauptet, Kapitel 1 verstanden zu haben. Es geht um nichts anders.
Also nochmal:
Um zu zeigen, dass die Form von |l> “im wesentlichen eindeutig ist”, musst du einen allgemeineren Ansatz für |l> verwenden, anschließend die Orthonormiertheit verwenden und damit die mögliche Form von |l> einschränken.
Allgemeiner Ansatz:
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Ich finde es noch einfacher, wenn man bzgl. der gegebenen  entwickelt:
Und dann benutzt  und  . |
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terminus
Anmeldungsdatum: 17.10.2020
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| terminus Verfasst am: 23. Nov 2020 14:14 Titel: |
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TomS: erzähl mir nicht andauernd, dass ich nichts verstanden hätte. Wenn du was konstruktives beitragen willst, dann zeig einfach genau, wie es geht.
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terminus
Anmeldungsdatum: 17.10.2020
Beiträge: 555
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| terminus Verfasst am: 23. Nov 2020 14:30 Titel: |
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| index_razor hat Folgendes geschrieben: |
Ich finde es noch einfacher, wenn man bzgl. der gegebenen entwickelt:
Und dann benutzt und . |
also du meinst:
Vorr.:
|r> und |l> und |i> und |o> wie oben definiert.
Dann annehmen, es gäbe ein von |r> abweichendes |r'>,
das sich als Linearkombination von |r> und |l> darstellen ließe.
| Zitat: | und
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Warum dann diese Brakets <r|r'> und <l|r'>, warum Betragsquadrate, und warum folgt aus den Betragsquadraten der BraKets als 1 oder 0 die Eindeutigkeit?
Und warum reicht es, wenn man sich auf die Linearkombination per |r> und |l> beschränkt, könnten es nicht theoretisch auch andere Linearkombinationen mit |u>, |d>, |i> und |o> sein?
PS,
ich weiß momentan auch gar nicht, wo und wie jemals ein Betrag eines BraKets definiert worden wäre....
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αΓγΔδεζηΘθικλµνΞξΠπϱΣστΦφχΨψΩω∫∂ħ⋅⟨⟩√≤≥∞∈ |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 23. Nov 2020 15:21 Titel: |
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Meine Idee wäre so: |r> ist definiert als der Zustand, der bei einer Spinmessung in x-Richtung mit Sicherheit den Wert "rechts" anzeigt. |l> ist der Zustand, der mit Sicherheit "links" anzeigt. Welche anderen Zustände können diese Eigenschaft haben? Jeder Zustand hat die Darstellung
wobei  die Wahrscheinlichkeit für "rechts" und  die Wahrscheinlichkeit für links ist. Jetzt finde alle möglichen  , so daß die "rechts"-Wahrscheinlichkeit jeweils 1 oder 0 ist.
EDIT: Da die Lösung jetzt schon dasteht, so ginge es mit meinem Ansatz weiter: Aus "rechts"-Wahrscheinlichkeit =  folgt sofort  und  . Also ist  eine komplexe Zahl mit Betrag eins, also  , d.h.  . Analog folgt mit "rechts"-Wahrscheinlichkeit 1  .
P.S.: Du willst dich doch wohl nicht gerade bei TomS über einen Mangel an konstruktiver Hilfe beschweren? Vielleicht solltest du mal deine Einstellung überprüfen.
Zuletzt bearbeitet von index_razor am 23. Nov 2020 15:49, insgesamt einmal bearbeitet |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18064
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| TomS Verfasst am: 23. Nov 2020 15:38 Titel: |
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| terminus hat Folgendes geschrieben: | | TomS: erzähl mir nicht andauernd, dass ich nichts verstanden hätte. Wenn du was konstruktives beitragen willst, dann zeig einfach genau, wie es geht. |
Komm doch mal bitte von deinem hohen Ross runter. Meine Beiträge sind konstruktiv, da steht ein expliziter Ansatz und eine explizite Anleitung, was zu tun ist.
Also gut, here we go:
Susskind definiert
Um zu zeigen, dass die Form von |l> bei gegebenem |r> “im wesentlichen eindeutig ist”, musst du mit einen allgemeineren Ansatz für |l> starten, anschließend die Orthonormiertheit verwenden und damit die mögliche Form von |l> einschränken.
Dazu machst du für |l> den allgemeinen Ansatz
Die Orthonormiertheit (Kap. 1.9.5) für |l> zusammen mit dem gegeben |r> führt auf die zwei Bedingungen
)
)
Einsetzen in (1) liefert
 (\alpha_u |u\rangle + \alpha_d |d\rangle) = |\alpha_u|^2 + |\alpha_d|^2)
wobei das zweite Gleichheitszeichen mittels der Orthonormiertheit
folgt.
Einsetzen in (2) liefert
 (\alpha_u |u\rangle + \alpha_d |d\rangle) = \frac{1}{\sqrt{2}} (\alpha_u + \alpha_d))
(Begründung analog)
Aus den o.g. Bedingungen folgt demnach
)
 = 0 \qquad (2'))
Aus (2') folgt sofort
Einsetzen in (1') liefert
Die allgemeine komplexe Lösung dazu lautet
für eine beliebige reelle Phase phi.
D.h. die von Susskind angegeben Definition
 )
ist nicht eindeutig; stattdessen kann die allgemeinere Form
 )
verwendet werden, wobei die so definierte Basis weiterhin eine Orthonormalbasis ist.
In der QM gilt ganz allgemein (d.h. immer), dass zwei Zustandsvektoren physikalisch äquivalent sind, wenn sie sich lediglich um einen derartigen (konstanten, d.h. zeitunabhängigen) Phasenfaktor unterscheiden. Die Bedeutung von “im wesentlichen eindeutig” ist letztlich, dass man die Freiheit hat, eine derartige Phase einzuführen, die Definition des Zustandsvektors selbst also mathematisch nicht eindeutig ist, jedoch sämtliche daraus folgenden physikalischen Eigenschaften.
Die Aufgabe 2.2. erfordert keine darüber hinausgehenden Konzepte.
PS EDIT
| terminus hat Folgendes geschrieben: | | ich weiß momentan auch gar nicht, wo und wie jemals ein Betrag eines BraKets definiert worden wäre.... |
Der Betrag bzw. die Länge eines Vektors entspricht der Norm; ein Vektor heißt normiert, wenn er den Betrag Eins hat, wenn also ein Einheitsvektor vorliegt. Der Betrag entspricht gerade der Wurzel aus dem Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst (in Komponentendarstellung sofort einsichtig mittels Satz des Pythagoras).
Ein Braket hat keinen Betrag, lediglich ein Bra oder ein Ket für sich alleine; ein Braket = Bra * Ket entspricht ja gerade diesem Skalarprodukt, ist also das Quadrat der Norm.
(siehe 1.9.4, S 21f)
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Zuletzt bearbeitet von TomS am 23. Nov 2020 18:15, insgesamt 5-mal bearbeitet |
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Qubit
Anmeldungsdatum: 17.10.2019
Beiträge: 829
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| Qubit Verfasst am: 23. Nov 2020 15:54 Titel: |
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Wenn ich kurz mich mit einer Bemerkung einmischen darf:
es macht wenig Sinn, sich mit mathematischen Konzepten zu beschäftigen, wenn man die Physik dahinter gar nicht verstanden hat.
Mathematische Konzepte machen erst dann in der Physik Sinn, wenn man auch die physikalischen Konzepte dahinter versteht (leider ein oft auftretendes Phänomen auch bei sehr begabten Studenten)
Ist dir klar, was |u> und |d> bedeuten?
Das sind Eigenzustände für die z-Komponente des Spin"vektors" (in diesem speziellen Falle kann man vielleicht von einem Vektor sprechen, i.a. nicht, das macht es vielleicht pädagogisch interessant).
Diese Zustände misst du mit einer Apparatur in z-Richtung.
Drehst du nun die Apparatur in x-Richtung, dann muss du entsprechende Eigenzustände finden, das sind hier genau dein |r> und |l>. Diese werden forumuliert als Kombination der z-Eigenzustände |u> und |d> (das ist generell möglich, Eigenzustände als Kombination anderer Eigenzustände zu formulieren). Du siehst anhand der Koeffizienten, dass in der x-Richtung die z-Kpmponente 50% |u> und 50% |d> Wahrscheinlichkeit haben.
|r> und |l> sollen also ein orthonormales System von Eigenzustände für die x-Komponente des Spin"vektors" sein, das sollst zu zeigen.
Generell ist aber ein quantenmechanische Zustand genau genommen kein Vektor im Hilbertraum, sondern ein "Strahl". Es gibt also eine gewisse Freiheit bei der Festlegung der Basis, insofern - wie schon vom TomS ausgeführt - auch Phasenfaktoren frei sind.
Die Komponenten des Spin"vektors" sind hier übrigens genau die sogenannten Pauli-Matrizen, die man auch als dyadische Produkt (als Matrix) der Eigenzustände der z-Komponente ausdrücken kann:
S_x ~ |u><d| + |d><u|
|r> und |l> sind damit (normierte) Eigenzustände von S_x. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18064
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| TomS Verfasst am: 23. Nov 2020 16:13 Titel: |
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| Qubit hat Folgendes geschrieben: | Wenn ich kurz mich mit einer Bemerkung einmischen darf:
es macht wenig Sinn, sich mit mathematischen Konzepten zu beschäftigen, wenn man die Physik dahinter gar nicht verstanden hat.
Mathematische Konzepte machen erst dann in der Physik Sinn, wenn man auch die physikalischen Konzepte dahinter versteht (leider ein oft auftretendes Phänomen auch bei sehr begabten Studenten) |
Du hast zwar recht, aber die Vorgehenswiese basiert eben auf dem Buch von Susskind; zu Beginn legt er mathematische Grundlagen. Pauli-Matrizen, Rays / Äquivaklenzklassen, Eigenzustände, Messung etc. kommen später.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Zuletzt bearbeitet von TomS am 23. Nov 2020 16:33, insgesamt einmal bearbeitet |
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Qubit
Anmeldungsdatum: 17.10.2019
Beiträge: 829
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| Qubit Verfasst am: 23. Nov 2020 16:33 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Du hast zwar recht, aber die Vorgehenswiese basiert eben auf dem Buch von Susskind; zu Beginn legt er mathematische Grundlagen. Pauli-Matrizen, Rays / Äquivaklenzklassen, Eigenzustände etc. kommen später. |
Okay, Susskind ist vorallem durch seine guten Lectures in Stanford bekannt (aber in Englisch)..
https://theoreticalminimum.com/
Die Bücher sind als "Skripte" daraus mit Ko-Autoren gwachsen. Wenn ich mich recht erinnere dann waren in seinen Vorlesungen auch viel "ältere Semester" als Quereinsteiger, die die moderne Physik verstehen wollen. Daraus wurde dann das "theoretical minimum", was als Grundlage dienen soll. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18064
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| TomS Verfasst am: 23. Nov 2020 16:36 Titel: |
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| Qubit hat Folgendes geschrieben: | | Daraus wurde dann das "theoretical minimum", was als Grundlage dienen soll. |
So ist das. Der Charme an dem vorliegenden Buch ist, dass man mit geringen Vorkenntnissen an Mathematik einsteigen kann; nachteilig ist, dass die Physik etwas später kommt und dass es teilweise etwas abstrakter zugeht.
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Qubit
Anmeldungsdatum: 17.10.2019
Beiträge: 829
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| Qubit Verfasst am: 23. Nov 2020 16:58 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Qubit hat Folgendes geschrieben: | | Daraus wurde dann das "theoretical minimum", was als Grundlage dienen soll. |
So ist das. Der Charme an dem vorliegenden Buch ist, dass man mit geringen Vorkenntnissen an Mathematik einsteigen kann; nachteilig ist, dass die Physik etwas später kommt und dass es teilweise etwas abstrakter zugeht. |
Ja, ist ein Mittelweg.
Wer an den den Lectures in quantum mechanics interessiert ist..
https://youtu.be/iJfw6lDlTuA |
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