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Beta
Anmeldungsdatum: 26.05.2007
Beiträge: 9
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 Beta Verfasst am: 08. Nov 2008 16:25 Titel: Wellen - komplexe Darstellung |
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Hi,
ich versuche gerade etwas über Wellen zu lernen.
Eine Welle beschreibt man ja durch=A \cdot \cos(kx-wt)) . Also sowohl zeit, als auch ortsabhängig. Die komplexe Darstellung dieser Welle lautet dann:
=A \cdot e^{i(kx-\omega t)})
Kann ich mir diesen Ausdruck also als einen Zeiger in der komplexen Ebene vorstellen, der mit der Winkelgeschwindigkeit  rotiert und die Projektion auf die y oder x achse stellt dann meine messbare physikalische Größe dar? Aber wieso benutzt man diese Darstellung? Könnt ihr mir ein Beispiel geben, wo man den Nutzen sieht?
Diesen Term kann man ja noch umschreiben zu:
=A \cdot e^{ikx} \cdot e^{-i \omega t}) bzw im Raum wird dieser Ausdruck zu:
=A \cdot e^{i\vec{k}\vec{r}} \cdot e^{-i \omega t})
Oft wird jetzt in den Büchern eine ebene Welle einfach mit
=A \cdot e^{i\vec{k}\vec{r}} ) beschrieben. Aber wieso wird hier der zeitliche Anteil weggelassen?
Ist A noch die selbe Amplitude wie aus der cosinus Darstellung? Ich habe nämlich auch schon gelesen, dass A eine komplexe Amplitude sei.
Vielen Dank schonmal für die Hilfe! |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 08. Nov 2008 17:13 Titel: Re: Wellen - komplexe Darstellung |
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| Beta hat Folgendes geschrieben: | Die komplexe Darstellung dieser Welle lautet dann:
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Genaugenommen meint man mit dieser Schreibweise für Wellen nichts anderes als
=A \cdot e^{i(kx-\omega t)}:= A \cdot {\rm Re}(e^{i(kx-\omega t)}))
also den Realteil dieser komplexen Zahl. Das ist dann also nicht der zweidimensionale Zeiger, von dem du sprichst, sondern nur seine Projektion auf die reelle Achse.
Klärt das schon deine Frage?
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| Beta hat Folgendes geschrieben: |
Oft wird jetzt in den Büchern eine ebene Welle einfach mit
beschrieben. Aber wieso wird hier der zeitliche Anteil weggelassen?
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Das ist so tatsächlich keine Welle, sondern nur eine Momentaufnahme einer Welle zu einem bestimmten, festen Zeitpunkt t. |
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Beta
Anmeldungsdatum: 26.05.2007
Beiträge: 9
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| Beta Verfasst am: 08. Nov 2008 17:34 Titel: |
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Ok, danke. Das hilft schonmal etwas. Hätte hier noch eine Frage:
Wenn ich jetzt beispielsweise zwei wellen habe:
=\cos(kx- \omega t)) und =\cos(kx- \omega t + \phi))
und diese addieren mag. bei dieser darstellung müsste ich hier ja die additionstheoreme benutzen.
mit der komplexen schreibweise erhalte ich:
 \cdot (1+e^{i \phi}))
Ist hier der Vorteil, dass man sehen kann dass
=1+\cos(\phi) + i\sin(\phi)=0) gilt, wenn  gilt, ohne additionstheoreme zu benutzen? |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 08. Nov 2008 20:42 Titel: |
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Einverstanden 
Mit der Exponentialschreibweise rechnet sich also vieles leichter, wenn man sie mal verstanden hat |
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zitroneneis
Gast
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| zitroneneis Verfasst am: 18. Okt 2010 10:06 Titel: Re: Wellen - komplexe Darstellung |
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| Zitat: | Die komplexe Darstellung dieser Welle lautet dann:
Genaugenommen meint man mit dieser Schreibweise für Wellen nichts anderes als
also den Realteil dieser komplexen Zahl. Das ist dann also nicht der zweidimensionale Zeiger, von dem du sprichst, sondern nur seine Projektion auf die reelle Achse. |
In einigen Quellen hab ich gelesen, dass nur der Realteil die physikalische Welle beschreibt, allerdings keine weitere Erläuterung dazu gefunden. Kann mir jemand erklären wieso man den Imaginärteil vernachlässigen kann? |
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zitroneneis
Gast
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| zitroneneis Verfasst am: 18. Okt 2010 11:08 Titel: |
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oder anders ausgedrückt:
ich verstehe nicht den Übergang von der trigonometrischen Beschreibung der Welle zur komplexen Schreibweise.
Wenn ich in
den Kosinus ersetze durch:
=\frac{1}{2} \cdot [e^{i(kx-\omega t)} + e^{-i(kx-\omega t)}])
ersetze, ergibt sich:
=\frac{1}{2} \cdot A \cdot e^{i(kx-\omega t)} + \frac{1}{2} \cdot A \cdot e^{-i(kx-\omega t)} ) .
Nun wird in der Literatur aber nur mit
=A \cdot e^{i(kx-\omega t)}:= A \cdot {\rm Re}(e^{i(kx-\omega t)}))
gerechnet.
Warum?? |
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Nerto
Anmeldungsdatum: 29.10.2009
Beiträge: 34
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| Nerto Verfasst am: 18. Okt 2010 13:20 Titel: |
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Im Prinzip willst du deine Messung mathematische beschreiben und wenn du die Ampluite einer z.b Seilswingung misst wird man ja immer ein realle Zahl raus kommen.
Betrachten ist ja kommt für alle x und t eine realle Zahle raus.
Wenn du den Kosinus jetzt in Komplexe überführst, bekommst du mehr Ergebnisse als vorher. Aber die Ergebnisse die für das Experiment relrelevant sind nachwie vor Reale Zahlen also interssiert dich nur der realteil der Funktion
= Re(\frac{1}{2} \cdot A \cdot e^{i(kx-\omega t)} + \frac{1}{2} \cdot A \cdot e^{-i(kx-\omega t)} ) = Re(\frac{1}{2} \cdot A \cdot e^{i(kx-\omega t)}) + Re(\frac{1}{2} \cdot A \cdot e^{-i(kx-\omega t)}) =\frac{1}{2} \cdot A \cdot Re(\cdot e^{i(kx-\omega t)}) +\frac{1}{2} \cdot A \cdot Re(\cdot e^{-i(kx-\omega t)})) [/latex].
Da  und  gilt.
}) +\frac{1}{2} \cdot A \cdot Re(\cdot e^{-i(kx-\omega t)}) = A \cdot {\rm Re}(e^{i(kx-\omega t)})) |
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zitroneneis
Gast
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| zitroneneis Verfasst am: 18. Okt 2010 13:49 Titel: |
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Das leuchtet ein. Vielen Dank Netro! |
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zitroneneis
Gast
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| zitroneneis Verfasst am: 18. Okt 2010 13:51 Titel: |
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Das leuchtet ein. Vielen Dank Nerto! |
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Henri
Anmeldungsdatum: 08.02.2014
Beiträge: 82
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| Henri Verfasst am: 01. März 2015 13:14 Titel: |
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Ich grabe mal das Thema aus, da ich zur Wellendarstellung eine kurze Frage habe. Und zwar findet man ja, unabhängig von der Darstellungsweise (mit komplexen exp oder mit cos), sowohl das Argument (wt-kz) als auch andersherum (kz-wt). Dass es im Realteil egal ist, leuchtet mir noch ein, da ja gilt:
 = cos(-(wt-kz)) = cos(kz-wt)) , aber es ist doch
} \neq e^{i(wt-kz)}) . Wie kann man also beides rechtfertigen?
Lg |
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llk
Gast
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| llk Verfasst am: 04. Apr 2019 09:03 Titel: komplexe Wellen |
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Hallo! Ich hätte ebenfalls eine Farge zu diesem Thema.
Dass man wie oben angeführt die Schreibweise:
 = A*\cos(kx-wt) = Re[e^{-i*(kx-wt)}])
Ist soweit völlig klar. Meine Frage bezieht sich jetzt auf Ansätze für verschiedene Potentialbereiche von Wellengleichungen.
Konkret geht es um das Tunneln eines Teilchens durch eine Potentialbarriere. Ich habe nun 3 Bereiche wobei im zweiten das Potential V auftritt.
Für die Bereiche setzte ich nun folgende Wellenansätze an:
Die Ansätze beziehen sich jeweils auf hin und Rücklaufende Welle.
Es wird nun Argumentiert, dass die imaginäre Einheit im Bereich II wo das Potential auftritt nicht vorhanden ist "da das Teilchen in der Barriere nícht schwingen kann".
Ist damit gemeint, dass das Teilchen "gerade" durch die Barriere tunnelt?
Meine zweite Frage bezieht auf die Hin- und Rücklaufende Welle
+isin(kx)) Hinlaufend
-isin(kx)) Rücklaufend
Wie hat man sich das konkret vorzustellen? - Da ja nur das Vorzeichen des imaginären Sinus umgedreht wird. Einleuchtender wäre es für mich wenn das Vorzeichen der Laufvariable verändert wäre nachdem umschreiben nach Euler.
Vielen Dank und Liebe Grüße
llk |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 06. Apr 2019 02:15 Titel: |
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Mir scheint es sinnvoller, ein neues Thema zu beginnen mit definierten Bedingungen, Fragen / Überlegungen zur Lösung. |
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