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Elektromagnetische Wellen in anisotropen Medien
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ohneplan123
Gast





Beitrag ohneplan123 Verfasst am: 03. Feb 2015 20:08    Titel: Elektromagnetische Wellen in anisotropen Medien Antworten mit Zitat

Ich beschäftige mich derzeit mit der elektromagnetischen Welle und bin auf Probleme durch folgende Aufgabe gestoßen:

Es werde ein nichtmagnetisches Medium ohne freie Ladungen betrachtet. Das Medium sei anisotrop, sodass die Dielektrizitätskonstante durch einen reell symmetrischen Dielektrizitätstensor zu ersetzen ist, der nach geeigneter Wahl des Koordinatensystems Diagonalgestalt annimmt,



mit reellen Eigenwerten. Zur Vereinfachung nehmen wir an


Der Zusammenhang

ist damit weiterhin linear, aber E und D sind i.A. nicht parallel zueinander. Hingegen gilt einfach
.

a)

Wir suchen Lösungen der Maxwellgleichungen:



in Form ebener Wellen (Fouriertransformation der Maxwellgleichungen)



Wie lautet eine (dimensionslose) Matrix M, mit welcher die Wellengleichung für E die Form



annimmt?

b)

Berechnen Sie die Phasengeschwindigkeiten, sowie die zugehörigen elektrischen Polarisationsvektoren E_0 für folgende Fälle:

(i) die Welle breitet sich in der Hauptachsenrichtung mit der abweichenden Dieliktrizitätskonstante


(ii) snkrecht dazu aus


Meine Lösung

a)

Es gilt:







stimmt das soweit?

b)

Phasengeschwindigkeiten:

Hier würde ich so vorgehen, dass ich die Rotation auf eine der Rotationsgleichungen aus den obigen Maxwellgleichungen anwende, sodass ich auf die Wellengleichung komme. Vergleich mit der Standard Wellengleichung für B oder E liefert Phasengeschwindigkeit.

Ich komme hier allgemein auf:



Das liefert für die Fälle:

(i)

(ii)

Ist das koreekt so?

Polarisationsvektoren:

Hier dachte ich einfach daran die Lösungen der Wellengleichung für B und E in die Maxwellgleichungen einzusetzen, was mir dann zusammen mit der Dispersionsrelation und der darin enthaltenen Phasengeschwindigkeit den Zusammenhang zwischen B_0 und E_0 gibt. Allerdings berechne ich so ja E_0 eher indirekt.

Ist das hier die richtige Vorgehensweise? Wie bestimme ich anderen Falls die Polarisationsvektoren?

Für Hilfe wäre ich sehr dankbar.
jh8979
Moderator


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Beitrag jh8979 Verfasst am: 03. Feb 2015 20:13    Titel: Re: Elektromagnetische Wellen in Anisotropen Medien Antworten mit Zitat

ohneplan123 hat Folgendes geschrieben:

Es gilt:



Das ist falsch. Wieso sollte das gelten?

Du musst aus den Maxwellgleichungen die Wellengleichung für E (oder E0) herleiten. Das geht ganz analog zum Vakuumfall, nur wegen des nichttrivialen Dielektrizitaetstensors wird die Gleichung am Ende etwas schwieriger (insbesondere ist es hier eine Matrixgleichung).
ohneplan123
Gast





Beitrag ohneplan123 Verfasst am: 03. Feb 2015 20:34    Titel: Re: Elektromagnetische Wellen in Anisotropen Medien Antworten mit Zitat

jh8979 hat Folgendes geschrieben:
ohneplan123 hat Folgendes geschrieben:

Es gilt:



Das ist falsch. Wieso sollte das gelten?

Du musst aus den Maxwellgleichungen die Wellengleichung für E (oder E0) herleiten. Das geht ganz analog zum Vakuumfall, nur wegen des nichttrivialen Dielektrizitaetstensors wird die Gleichung am Ende etwas schwieriger (insbesondere ist es hier eine Matrixgleichung).



Ich dachte, dass mir das, das Feld in Materie angibt, aber ok.


Also Wellengleichung ergibt sich aus:






Damit habe ich die Wellengleichung, aus der ich später auch die Phasengeschwindigkeit ablesen kann. Soweit richtig?

Und wie komme ich jetzt auf mein M? Muss ich meine Ebene Welle für E einsetzen und kann M dann ablesen?
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
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Beitrag jh8979 Verfasst am: 03. Feb 2015 20:38    Titel: Re: Elektromagnetische Wellen in Anisotropen Medien Antworten mit Zitat

Ja, so geht es im Prinzip. Allerdings ist dieser Teil hier nicht richtig:
Zitat:



Das gilt im Vakuum, aber nicht in anisotropen Medien (warum nicht?).
ohneplan123
Gast





Beitrag ohneplan123 Verfasst am: 03. Feb 2015 20:57    Titel: Re: Elektromagnetische Wellen in Anisotropen Medien Antworten mit Zitat

jh8979 hat Folgendes geschrieben:
Ja, so geht es im Prinzip. Allerdings ist dieser Teil hier nicht richtig:
Zitat:



Das gilt im Vakuum, aber nicht in anisotropen Medien (warum nicht?).


wegen der richtungsabhängigkeit der Dielektrizitätskonstante?

Demzufolge verschwindet die Divergenz von E wohl nicht? Allerdings find ich das seltsam, da ja die Divergenz von D weiterhin verschwindet.

Wie muss die Gleichung richtig aufgelöst werden?
jh8979
Moderator


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Beitrag jh8979 Verfasst am: 03. Feb 2015 21:03    Titel: Re: Elektromagnetische Wellen in Anisotropen Medien Antworten mit Zitat

ohneplan123 hat Folgendes geschrieben:

wegen der richtungsabhängigkeit der Dielektrizitätskonstante?

Demzufolge verschwindet die Divergenz von E wohl nicht? Allerdings find ich das seltsam, da ja die Divergenz von D weiterhin verschwindet.

Richtig.

Du musst einfach das doppelte Kreuzprodukt ganz allgemein "auflösen" (vllt fällt dir das leichter, wenn du zuerst die Wellenform einsetzt und dann k da stehen hast und keinen Differentialoperator...).

PS: Klammern setzen nicht vergessen...
ohneplan123
Gast





Beitrag ohneplan123 Verfasst am: 03. Feb 2015 21:17    Titel: Re: Elektromagnetische Wellen in Anisotropen Medien Antworten mit Zitat

jh8979 hat Folgendes geschrieben:
ohneplan123 hat Folgendes geschrieben:

wegen der richtungsabhängigkeit der Dielektrizitätskonstante?

Demzufolge verschwindet die Divergenz von E wohl nicht? Allerdings find ich das seltsam, da ja die Divergenz von D weiterhin verschwindet.

Richtig.

Du musst einfach das doppelte Kreuzprodukt ganz allgemein "auflösen" (vllt fällt dir das leichter, wenn du zuerst die Wellenform einsetzt und dann k da stehen hast und keinen Differentialoperator...).

PS: Klammern setzen nicht vergessen...


Demzufolge:



richtig? Wie löse ich den Teil vorm Minus RICHTIG auf? es ist ja nicht einfach zweimal die Ableitung, sondern eine Matrix nehme ich an, bzw. ein Vektor. Hab hier Probleme

Aber nochmal, wieso gilt



???

Liegt das an dem Dielektrizitätstensor?
jh8979
Moderator


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Beitrag jh8979 Verfasst am: 03. Feb 2015 21:25    Titel: Re: Elektromagnetische Wellen in Anisotropen Medien Antworten mit Zitat

ohneplan123 hat Folgendes geschrieben:



richtig? Wie löse ich den Teil vorm Minus RICHTIG auf? es ist ja nicht einfach zweimal die Ableitung, sondern eine Matrix nehme ich an, bzw. ein Vektor. Hab hier Probleme

Der bleibt so. Der lässt sich nicht weiter vereinfachen.
Zitat:

Aber nochmal, wieso gilt

???
Liegt das an dem Dielektrizitätstensor?

Ja. Das erste ist einfach eine der Maxwell-Gleichungen. Das zweite folgt schlicht nicht daraus wenn das Medium anisotrop ist.
ohneplan123
Gast





Beitrag ohneplan123 Verfasst am: 03. Feb 2015 21:30    Titel: Re: Elektromagnetische Wellen in Anisotropen Medien Antworten mit Zitat

jh8979 hat Folgendes geschrieben:
ohneplan123 hat Folgendes geschrieben:



richtig? Wie löse ich den Teil vorm Minus RICHTIG auf? es ist ja nicht einfach zweimal die Ableitung, sondern eine Matrix nehme ich an, bzw. ein Vektor. Hab hier Probleme

Der bleibt so. Der lässt sich nicht weiter vereinfachen.


Und wie fahre ich nun fort? Wellengleichung heißt ja dann so:

jh8979
Moderator


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Beitrag jh8979 Verfasst am: 03. Feb 2015 21:45    Titel: Antworten mit Zitat

Ebene Welle einsetzen und dann Dispersionsrelation ausrechnen (d.h. nicht-triviale Lösungen der Gleichung, also det(M)=0). Daraus findest Du dann die Phasengeschwindigkeit w/k.
ohneplan123
Gast





Beitrag ohneplan123 Verfasst am: 04. Feb 2015 11:11    Titel: Antworten mit Zitat

jh8979 hat Folgendes geschrieben:
Ebene Welle einsetzen und dann Dispersionsrelation ausrechnen (d.h. nicht-triviale Lösungen der Gleichung, also det(M)=0). Daraus findest Du dann die Phasengeschwindigkeit w/k.








Wie löse ich den letzten Term ordentlich? hab das Problem, dass ich auf das selbe wie beim ersten Term komme, was nicht stimmen kann. Wie muss es richtig heißen?
jh8979
Moderator


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Beitrag jh8979 Verfasst am: 04. Feb 2015 13:37    Titel: Antworten mit Zitat

Schreib das ganze mal mit Indizes hin, dann solltest Du den Unterschied sehen.
ohneplan123
Gast





Beitrag ohneplan123 Verfasst am: 04. Feb 2015 16:00    Titel: Antworten mit Zitat

Ich komme jetzt auf:








Alles zusammen:





So, jetzt bekomme ich aber immernoch kein M einfach so heraus, da ich E jetzt ja nicht mehr durch teilen wegbekomme.
jh8979
Moderator


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Beitrag jh8979 Verfasst am: 04. Feb 2015 16:04    Titel: Antworten mit Zitat

Du könntest ja E0 einfach mal ausklammern und dann M ablesen...
ohneplan123
Gast





Beitrag ohneplan123 Verfasst am: 04. Feb 2015 16:28    Titel: Antworten mit Zitat

jh8979 hat Folgendes geschrieben:
Du könntest ja E0 einfach mal ausklammern und dann M ablesen...


Aber da ist doch das Problem mit dem k oder nicht?



so?


Für die Phasengeschwindigkeit brauch ich ja die Dispersion. Du meintes ich soll dafür die Determinante von M berechnen und diese 0 setzen. Erstens warum? Zweitens, wie berechne ich die Determinante? Nochmal, der Term mit den k-Vektoren macht das ganze irgendwie schwierig, da diese ja nicht einfach miteinander multipliziert werden können.
jh8979
Moderator


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Beitrag jh8979 Verfasst am: 04. Feb 2015 16:42    Titel: Antworten mit Zitat

1. Die Gleichung lautet M.E0=0. Du möchtest aber nichttriviale Lösungen finden, da ansonsten nur E0=0 eine Lösung ist. Dafür ist es notwendig, dass M nicht invertierter ist, d.h. detM=0.

2. M ist eine 3x3 Matrix. Die kannst Du hinschreiben und dann die Determinante ausrechnen.
ohneplan123
Gast





Beitrag ohneplan123 Verfasst am: 04. Feb 2015 17:02    Titel: Antworten mit Zitat

jh8979 hat Folgendes geschrieben:
1. Die Gleichung lautet M.E0=0. Du möchtest aber nichttriviale Lösungen finden, da ansonsten nur E0=0 eine Lösung ist. Dafür ist es notwendig, dass M nicht invertierter ist, d.h. detM=0.

2. M ist eine 3x3 Matrix. Die kannst Du hinschreiben und dann die Determinante ausrechnen.


ok, aber wie bekomme ich das skalar k^2 in die Matrix rein?

ich komme doch auf sowas:



Wie fasse ch alles zusammen inklusive k^2?
jh8979
Moderator


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Beitrag jh8979 Verfasst am: 04. Feb 2015 17:05    Titel: Antworten mit Zitat

ohneplan123 hat Folgendes geschrieben:

ok, aber wie bekomme ich das skalar k^2 in die Matrix rein?
...
Wie fasse ch alles zusammen inklusive k^2?

Schreib Die die Herleitung des ganzen mal ordentlich mit Indizes auf, dann siehst Du auch wie der k^2-Term dazupasst. Danach musst Du nur noch drei Matrizen mit Skalaren multiplizieren und addieren... das sollte nicht so schwer sein...
ohneplan123
Gast





Beitrag ohneplan123 Verfasst am: 04. Feb 2015 17:15    Titel: Antworten mit Zitat

jh8979 hat Folgendes geschrieben:
ohneplan123 hat Folgendes geschrieben:

ok, aber wie bekomme ich das skalar k^2 in die Matrix rein?
...
Wie fasse ch alles zusammen inklusive k^2?

Schreib Die die Herleitung des ganzen mal ordentlich mit Indizes auf, dann siehst Du auch wie der k^2-Term dazupasst. Danach musst Du nur noch drei Matrizen mit Skalaren multiplizieren und addieren... das sollte nicht so schwer sein...


da steht für den k^2 term ein stinknormales skalarprodukt, deswegen wird ja auch einfach k^2 draus. und auch mit Indizes komme ich da auf nichts anderes grübelnd

Ich bin extrem verwirrt, was den Glauben an meine Algebra-Kenntnisse anbelangt Hilfe
jh8979
Moderator


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Beitrag jh8979 Verfasst am: 04. Feb 2015 17:31    Titel: Antworten mit Zitat

Schreib die ganze Gleichung mit Indizes und klammer E0 aus. Dann siehst Du was passiert...
ohneplan123
Gast





Beitrag ohneplan123 Verfasst am: 04. Feb 2015 18:15    Titel: Antworten mit Zitat

jh8979 hat Folgendes geschrieben:
Schreib die ganze Gleichung mit Indizes und klammer E0 aus. Dann siehst Du was passiert...


Ist der term von oben erstmal so richtig für m?
jh8979
Moderator


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Beiträge: 8233

Beitrag jh8979 Verfasst am: 04. Feb 2015 18:25    Titel: Antworten mit Zitat

Kommt drauf an, was Du mit den Indizes machst... sieht zumindest schon ganz gut aus.
ohneplan123
Gast





Beitrag ohneplan123 Verfasst am: 05. Feb 2015 12:36    Titel: Antworten mit Zitat

jh8979 hat Folgendes geschrieben:
Kommt drauf an, was Du mit den Indizes machst... sieht zumindest schon ganz gut aus.


Also nochmal den k^2-term mit Indizes:





damit folgt:



So Damit ist das immernoch keine Matrix sondern ein Skalar multipliziert mit dem Vektor E. Weiß auch nicht, wie ich hier auf eine Matrix kommen soll. Ich habe keine Ahnung und würde dich bitten, mir vorzumachen wie du es meinst, vielleicht macht es dann endlich klcik Schläfer
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
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Beitrag jh8979 Verfasst am: 05. Feb 2015 12:44    Titel: Antworten mit Zitat

ohneplan123
Gast





Beitrag ohneplan123 Verfasst am: 05. Feb 2015 12:59    Titel: Antworten mit Zitat

jh8979 hat Folgendes geschrieben:


sorry, aber damit komme ich ehrlich gesagt auch nicht weiter. Ich versteh einfach nicht, dass E ja das elektrische Vektorfeld der elektromagnetischen Welle sein soll. Ergo ein Vektor und keine Matrix.

Oh man... grübelnd
jh8979
Moderator


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Beiträge: 8233

Beitrag jh8979 Verfasst am: 05. Feb 2015 13:02    Titel: Antworten mit Zitat

jh8979 hat Folgendes geschrieben:
Schreib die ganze Gleichung mit Indizes und klammer E0 aus. Dann siehst Du was passiert...

z.B.


PS: Um mal das Level dieser Aufgabe einzuordnen: Ich habe diese Aufgabe schon als Klausuraufgabe gesehen...
ohneplan123
Gast





Beitrag ohneplan123 Verfasst am: 05. Feb 2015 13:13    Titel: Antworten mit Zitat

[quote="jh8979"]
jh8979 hat Folgendes geschrieben:

PS: Um mal das Level dieser Aufgabe einzuordnen: Ich habe diese Aufgabe schon als Klausuraufgabe gesehen...


Ja, ich bereite mich ja auch auf eine Klausur vor, die ohne jegliche Hilfsmittel geschrieben wird. Da ist so eine Aufgabe durchaus realistisch. Deswegen möchte ich es ja verstehen!

Gut, gut, bis jetzt bin ich die Kurzschreibweise mit Indizes gern umgangen, aber vielleicht wird es mal Zeit, dass es etwas gebräuchlicher für mich zu machen, zu mal es ja definitiv abkürzt!
jh8979
Moderator


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Beiträge: 8233

Beitrag jh8979 Verfasst am: 05. Feb 2015 13:17    Titel: Antworten mit Zitat

ohneplan123 hat Folgendes geschrieben:

Gut, gut, bis jetzt bin ich die Kurzschreibweise mit Indizes gern umgangen, aber vielleicht wird es mal Zeit, dass es etwas gebräuchlicher für mich zu machen, zu mal es ja definitiv abkürzt!

Ja das solltest Du. Die Schreibweise mit Indizes ist sehr mächtig und mit ein wenig Übung auch gar nicht schwer.
ohneplan123
Gast





Beitrag ohneplan123 Verfasst am: 05. Feb 2015 13:39    Titel: Antworten mit Zitat

Ok ein Versuch:







Ist das erstmal richtig so?
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8233

Beitrag jh8979 Verfasst am: 05. Feb 2015 13:51    Titel: Antworten mit Zitat

Nein, Du solltest nicht wieder j als Summationsindex nehmen, da j schon Deinen freien Index bezeichnet. Ansonsten ist es nicht falsch, aber nicht sehr hilfreich, da es der erste Term ist der Dir Probleme bereitet nicht der zweite...
ohneplan123
Gast





Beitrag ohneplan123 Verfasst am: 05. Feb 2015 14:00    Titel: Antworten mit Zitat

jh8979 hat Folgendes geschrieben:
Nein, Du solltest nicht wieder j als Summationsindex nehmen, da j schon Deinen freien Index bezeichnet. Ansonsten ist es nicht falsch, aber nicht sehr hilfreich, da es der erste Term ist der Dir Probleme bereitet nicht der zweite...


Wieso ist j als Summationsindex nicht ok? Es geht doch nur darum zu unterscheiden, welche Komponenten wie miteinander multipliziert werden.



na ich könnte ja noch schreiben



dann steht ganz vorn ja




so?

Ansonsten brauch ich wohl nochmal eine kleine Erklärung. Wie gesagt, die Indexschreibweise ist für mich etwas wo ich sehr ungeübt bin und ich hoffe ich hab das jetzt erstmal halbwegs verstanden.

Der Trick, den ich jetzt schon sehe ist natürlich normale Skalarprodukte etc. durch Matrixmultiplikationen auszudrücken und somit Matrizen und Vektoren in einer Gleichung verarbeiten zu können - Macht Sinn.
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8233

Beitrag jh8979 Verfasst am: 05. Feb 2015 15:17    Titel: Antworten mit Zitat

ohneplan123 hat Folgendes geschrieben:
jh8979 hat Folgendes geschrieben:
Nein, Du solltest nicht wieder j als Summationsindex nehmen, da j schon Deinen freien Index bezeichnet. Ansonsten ist es nicht falsch, aber nicht sehr hilfreich, da es der erste Term ist der Dir Probleme bereitet nicht der zweite...


Wieso ist j als Summationsindex nicht ok? Es geht doch nur darum zu unterscheiden, welche Komponenten wie miteinander multipliziert werden.

Richtig, aber das kannst Du nicht mit j machen, da j in dem Term schon als Index vorkommt.
Zitat:

na ich könnte ja noch schreiben

dann steht ganz vorn ja

so?

Ja könntest Du, bringt aber nicht soviel, da es darum geht die Komponenten von E auszuklammern:
jh8979 hat Folgendes geschrieben:
jh8979 hat Folgendes geschrieben:
Schreib die ganze Gleichung mit Indizes und klammer E0 aus. Dann siehst Du was passiert...

z.B.


mach das doch einfach mal, nicht ein kleines Stück, nicht nur ein Term, sondern mit der ganzen Gleichung....
ohneplan123
Gast





Beitrag ohneplan123 Verfasst am: 05. Feb 2015 15:32    Titel: Antworten mit Zitat

jh8979 hat Folgendes geschrieben:
ohneplan123 hat Folgendes geschrieben:
jh8979 hat Folgendes geschrieben:
Nein, Du solltest nicht wieder j als Summationsindex nehmen, da j schon Deinen freien Index bezeichnet. Ansonsten ist es nicht falsch, aber nicht sehr hilfreich, da es der erste Term ist der Dir Probleme bereitet nicht der zweite...


Wieso ist j als Summationsindex nicht ok? Es geht doch nur darum zu unterscheiden, welche Komponenten wie miteinander multipliziert werden.

Richtig, aber das kannst Du nicht mit j machen, da j in dem Term schon als Index vorkommt.
Zitat:

na ich könnte ja noch schreiben

dann steht ganz vorn ja

so?

Ja könntest Du, bringt aber nicht soviel, da es darum geht die Komponenten von E auszuklammern:
jh8979 hat Folgendes geschrieben:
jh8979 hat Folgendes geschrieben:
Schreib die ganze Gleichung mit Indizes und klammer E0 aus. Dann siehst Du was passiert...

z.B.


mach das doch einfach mal, nicht ein kleines Stück, nicht nur ein Term, sondern mit der ganzen Gleichung....


Jetzt muss ich nochmal fragen, das



war nur irgendein Beispiel für eine Matrix und hat jetzt in deiner Gleichung nicht irgendne besondere Bedeutung?
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8233

Beitrag jh8979 Verfasst am: 05. Feb 2015 15:38    Titel: Antworten mit Zitat

ohneplan123 hat Folgendes geschrieben:

Jetzt muss ich nochmal fragen, das

war nur irgendein Beispiel für eine Matrix und hat jetzt in deiner Gleichung nicht irgendne besondere Bedeutung?

Richtig, einfach ein Beispiel.
ohneplan123
Gast





Beitrag ohneplan123 Verfasst am: 05. Feb 2015 15:59    Titel: Antworten mit Zitat

so?







jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8233

Beitrag jh8979 Verfasst am: 05. Feb 2015 16:10    Titel: Antworten mit Zitat

Bis auf, dass du im ersten Term nicht j als Index für das k nehmen solltest (weil das schon Dein anderer Summationsindex ist), ist das richtig.
ohneplan123
Gast





Beitrag ohneplan123 Verfasst am: 05. Feb 2015 16:23    Titel: Antworten mit Zitat

Ok, also:



Damit gilt:





richtig?

so und jetzt?
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8233

Beitrag jh8979 Verfasst am: 05. Feb 2015 16:25    Titel: Antworten mit Zitat

Nein, die Matrixform des ersten Terms ist nicht richtig. Wenn Du das korrigierst hast: Siehe oben -> det M = 0 -> Dispersionsrelation ...
ohneplan123
Gast





Beitrag ohneplan123 Verfasst am: 05. Feb 2015 16:26    Titel: Antworten mit Zitat

jh8979 hat Folgendes geschrieben:
Bis auf, dass du im ersten Term nicht j als Index für das k nehmen solltest (weil das schon Dein anderer Summationsindex ist), ist das richtig.


Kannst du mir nochmal klar machen, was daran das Problem ist? Ich sehe irgendwie nicht den Unterschied, ob ich da j oder einen anderen Buchstaben nehme, außer natürlich i, den ich nicht nehmen kann, weil da E_i dahinter steht. grübelnd
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8233

Beitrag jh8979 Verfasst am: 05. Feb 2015 16:30    Titel: Antworten mit Zitat

ohneplan123 hat Folgendes geschrieben:

Kannst du mir nochmal klar machen, was daran das Problem ist? Ich sehe irgendwie nicht den Unterschied, ob ich da j oder einen anderen Buchstaben nehme, außer natürlich i, den ich nicht nehmen kann, weil da E_i dahinter steht. grübelnd

Da steht ein E_j hinter kein E_i. Und i und j sind dann deine Matrixindizes, darum hast Du ja auch richtigerweise den Index anders gewaehlt (hier l). Es gilt

und somit

oder als Matrix

...
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