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TomS
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 TomS Verfasst am: 27. März 2023 14:34 Titel: FAQ - elektromagnetische Multipolstrahlung |
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Anbei eine Zusammenfassung einiger Punkte zu elektromagnetischer Multipolstrahlung.
1. Keine Monopolstrahlung
Wir betrachten zunächst einen einzelnen Monopol, d.h.eine zeitlich veränderliche, sphärisch symmetrische Ladungsverteilung. Es gilt das Gaußsche Gesetz
Die sphärische Symmetrie von rho erzwingt ein rein radiales E-Feld.
Integration über ein kugelförmiges Volumen V mit Radius R, das die Ladungsverteilung vollständig umschließt, liefert rechts bzw. links:
wobei im vorletzten Schritt gemäß Gaußschem Integralsatz über die Oberfläche des Volumens V integriert wird. Damit gilt für beliebiges R
Aufgrund der Ladungserhaltung
gilt notwendigerweise
d.h. es liegt ein rein statistisches Coulomb-Feld vor.
Aus den weiteren Maxwellschen Gleichungen folgt außerdem
Umgekehrt folgt aus der Annahme eines zeitlich veränderlichen, sphärisch symmetrischen Coulombfeldes, also eines „pulsierenden Monopols“
 = \frac{Q(t)}{r^2} )
was gemäß der o.g. Rechnung zur Verletzung der Ladungserhaltung
führt.
Bei einem Monopol existiert keine ausgezeichnete Richtung, d.h. es gilt
Die entsprechende Maxwellsche Gleichung, das erweiterte Maxwell-Ampèresche Durchflutungsgesetz reduziert sich damit auf
Bei einem zeitlich veränderlichen E-Feld
und aufgrund der aus Symmetriegründen verschwindenden Rotation des B-Feldes folgt für die Stromdichte
- was jedoch im Vakuum nicht der Fall sein kann.
Die Idee eines „pulsierender Monopols“ mit zeitlich veränderlichem E-Feld führt also auf Widersprüche, während eine sphärisch symmetrisch pulsierende Ladungsverteilung einer konsistenten Lösung mit statischem Coulombfeld erlaubt. |
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TomS
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| TomS Verfasst am: 27. März 2023 15:24 Titel: |
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2. Allgemeiner Ansatz
Für einen allgemeinen Ansatz betrachten wir zeitabhängige Ladungs- und Stromdichten mittels Fouriertransformation
 = \int d\omega \, j^\mu(x, \omega) \, e^{-i\omega t})
Im Folgenden betrachten wir zumeist nur eine einzige Komponente bzw. Frequenz, d.h.
 = j^\mu(x, \omega) \, e^{-i\omega t})
wobei das Argument omega im weiteren Verlauf weggelassen wird.
Aus der Stromerhaltung bzw. Kontinuitätsgleichung
folgt für die zeitunabhängigen Funktionen rho und j zur Definition von Ladungs- und Stromdichte
Mit der Wahl der Lorentz-Eichung
erhält man aus den Maxwellschen Gleichungen die entkoppelten Wellengleichungen
Die Lösung folgt mittels der retardierten Greenschen Funktion
 = -\frac{1}{4\pi} \frac{\delta(t_- - s)}{|x-y|} ; \qquad t_- = t - |x-y|)
 = \int ds \int d^3y \, G_-(x, t; y, s) \, J^\mu(y, s))
Ausführen der s-Integration liefert
 = \frac{1}{4\pi} \int d^3y \frac{J^\mu(y, t_-)}{|x-y|})
d.h. das Vektorpotential A am Ort x zur Zeit t folgt direkt aus den Strömen J an den Orten J, wobei die retardierte Greensche Funktion die Signallaufzeit (für c = 1) von y nach x berücksichtigt.
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TomS
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| TomS Verfasst am: 27. März 2023 15:49 Titel: |
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3. Dipolnäherung im Fernfeld
Unter Verwendung der oben eingeführten speziellen Zeitabhängigkeit, der Fernfeldnäherung, d.h. für große Abstände von der Quelle im Vergleich zur Abmessung der Quelle, folgt für die räumlichen Komponenten des Vektorpotentials in niedrigster Ordnung
 = a(x) \, e^{-i\omega t})
 \simeq \frac{e^{ikr}}{4\pi} \int_V j)
Für die 0-Komponente gilt
 = -\frac{i}{\omega} \, \nabla a(x))
Um die Lösung mittels der Ladungsdichte zu berechnen verwendet man die Identität
 - x^i (\nabla j) = \nabla (x^i \, j) - x^i (i\omega \rho))
Bei Integration über das Volumen V, das Strom und Ladung vollständig enthält, fällt der Oberflächenterm weg und man erhält
wobei das Integral bzw. p das statische Dipolmoment bezeichnet.
Zusammenfassend liefert dies für die Dipolnäherung eine auslaufende Kugelwelle
 = \frac{\omega p}{4\pi i} \frac{e^{i(kr - \omega t)}}{r} )
zu 1. - keine Monopolstrahlung?
Betrachtet man die Überlagerung zweier oszillierender Punktladungen
 = q_i \, \delta(x-a_i) \, e^{-i\omega t})
mit Gesamtladung
und Dipolmoment
)
so könnte der Eindruck entstehen, dass - im Widerspruch zur o.g. Aussage - dieses Dipolfeld aus der Überlagerung zweier elektrischer Monopole resultiert. Dies trifft jedoch nicht zu, da die Herleitung zwei wesentliche Voraussetzungen von (1) verletzt: zum einen enthält die Anordnung aus Konsistenzgründen (implizit) Ströme, und zum zweiten weist das Problem keine sphärische Symmetrie auf.
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Zuletzt bearbeitet von TomS am 28. März 2023 08:00, insgesamt 4-mal bearbeitet |
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TomS
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| TomS Verfasst am: 27. März 2023 16:07 Titel: |
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4. Allgemeine Multipolentwicklung
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