FAQ - Geometrie in gekrümmten Raumzeiten

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21442

Ich möchte hier ein paar immer wiederkehrende Fragen zur Geometrie in gekrümmten Raumzeiten versammeln. Das meiste steht schon irgendwo verstreut im Forum, wer Hinweise hat, darf mir das gerne in den entsprechenden Threads oder per PN mitteilen.

Vorab ein paar Konventionen:

griechische Buchstaben mu, nu … bezeichnet Raumzeit-Indizes 0 … 3
lateinische Buchstaben i, k … bezeichnen räumliche Indizes 1 … 3
lateinische Buchstaben a, b … bezeichnen Indizes auf Tangentialvektorräumen
über doppelt auftretende Indizes wird summiert

Vektoren bezeichne ich mit festgedruckten Buchstaben x, y …
die Koordinaten-Tupel sind streng genommen keine Vektoren, werden in der Literatur jedoch oft als solche bezeichnet

normalerweise verwende ich für die Metrik die Vorzeichen-Konvention (+---)

ich setze immer G = c = 1; für den Schwarzschild-Radius gilt damit rs = 2M

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21442

Starten wir mit der Einführung von Koordinatensystemen auf gekrümmten Mannigfaltigkeiten.

Betrachten wir Raumzeit-Koordinaten x, y von Punkten x, y auf der Mannigfaltigkeit M.

(fette Symbole funktionieren hier in LaTeX nicht richtig)

Betrachten wir eine Kurve in einer Koordinate mu, alle anderen fest, also

und definieren die Basisvektoren

Dann gilt für die bilineare Abbildung dieser Vektoren in jedem Punkt x

wobei die Mathematiker gerne ersteres schreiben, die Physiker zumeist letzteres bevorzugen.

Für eine allgemeine Kurve, parametrisiert durch einen Parameter tau, gilt

Für das Quadrat der Bogenlänge folgt dann

Eliminierung des Kurvenparameters liefert die bekannte Darstellung

die die Physiker gerne als verwenden.

Definieren wir die duale Basis

so erhalten wir

In diesem Sinne sind die Basisvektoren i.A. nicht orthonormiert; wir erhalten gerade die Komponenten der Metrik als Ergebnis dieses Skalarproduktes.

Zwischen den beiden Basen besteht der Zusammenhang

In diesem Sinne sind Basis und duale Basis "relativ zueinander" orthonormiert.

Nun betrachten wir Vektoren bzw. Vektorfelder v

Ihre Komponenten bzgl. einer Basis erhält man gerade mittels Projektion auf dieselbe

Für die oben eingeführte bilineare Abbildung für allgemeine Vektoren v, w erhält man

Zuletzt noch eine Anmerkung: In der speziellen Relativitätstheorie gilt die globale Poincare-Invarianz, insbs. kann man Punkte der Raumzeit mittels Poincare-Transformationen zueinander in Beziehung setzen, d.h. die Koordinaten (t,x) eines Punktes P bzgl. eines Punktes O, sowie die Transformation zu neuen Koordinaten (t', x') bzgl. eines anderen Punktes O' – also Translationen – sowie Rotationen und Boost. Diese globale Symmetrie gilt in der allgemeinen Relativitätstheorie nicht, dann man statt eines einzigen Vektorraumes – des Minkowski-Raumes – eine gekrümmte Pseudo-Riemannsche Mannigfaltigkeit vorliegen hat, in der die Vektorräume, deren Basen sowie die Vektoren je Punkt der Mannigfaltigkeit definiert werden müssen. Zwischen Vektoren in unterschiedlichen Punkten, d.h. in unterschiedlichen Vektorräumen, besteht zunächst keine offensichtliche Verbindung – kommt aber noch. Was jedoch gegeben ist, ist eine lokale Lorentz-Invarianz, d.h. die Möglichkeit die oben eingeführten Basisvektoren je Punkt der Raumzeit unterschiedlich zu transformieren – das nur als Ausblick.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21442

Im folgenden möchte ich kurz die Zerlegung einer 4-dim. Raumzeit-Mannigfaltigkeit M mit Metrik g in eine so genannte Foliation von 3-dim. raumartiger Untermannigfaltigkeit Sigma mit Metrik h darstellen, sowie den Bezug zur Fragestellung, inwiefern eine Zeitkoordinaten mittels der Eigenzeit hypothetischer Beobachter eingeführt werden kann.

Dieser Ansatz ist auch der Startpunkt des ADM-Formalismus, den ich hier jedoch nicht diskutiere.

Im Folgenden verwende ich die Konvention (-+++), da dies in der Literatur zum ADM-Formalismus sehr verbreitet ist.

Man betrachtet also

Dabei gilt für die Zeitkoordinate t je Untermannigfaltigkeit

sodass ein Sigma einer "Niveaufläche" zu fester Zeit entspricht. T ist dabei eine streng monotone skalare Zeitfunktion auf M.

Die zeitartige Richtung wird definiert mittels des Gradienten einer streng monotonen Zeitfunktion T gemäß

Die sogenannte Lapse-Funktion N ist dabei eine strikt positive Funktion, die eine Normierung liefert.

In jedem Punkt auf jedem Sigma ist n orthogonal zu Sigma.

Für einen zeitartigen Einheitsvektor n muss gelten

n kann als Vierergeschwindigkeit eines Beobachterfeldes in jedem Punkt in jedem Sigma aufgefasst werden. Der Übergang zwischen zwei infinitesimal benachbarten Sigmas

entspricht einem Koordinatenzeitintervall dt sowie einem Eigenzeitintervall

Während die Koordinatenzeit zwischen zwei Sigmas immer und überall gleich schnell vergeht, ist N jedoch eine Funktion.

Im folgenden verwenden wir also die Koordinaten

Auf jedem Sigma definiert man in jedem Punkt drei raumartige Basisvektoren e mit

Man führt einen zeitartigen Vektor mit Komponenten

ein.

Damit erhält man für die Differentiale

sowie für das Linienelement der Metrik

h entspricht demnach der auf Sigma induzierten räumlichen Metrik.

Die Lapse-Funktion N gibt an, wie weit eine neue raumartige Hyperfläche bei t + dt zeitlich von der alten bei t entfernt ist. Die Shift-Funktionen N^i spezifieren, wie die neue Hyperfläche ggü. der alten räumlich deformiert wird.

In der Literatur findet man häufig Formulierungen, die dahingehend interpretiert werden könnten, diese Funktionen seien alleine der Einführung eines Beobachters geschuldet, der dem Vektor t folgt und seien gewissermaßen beliebig. Das ist nicht zutreffend! Zwar gibt es tatsächlich eine Eichfreiheit bei der Wahl dieser Funktionen, jedoch liefern sie durchaus relevante Eigenschaften der Theorie. Später mehr.

Die ADM-Konstruktion funktioniert nicht unter allen Umständen:

Erstens muss die Zerlegung

topologisch überhaupt möglich sein; ist die dies nicht, so existiert keine streng monotone Zeitfunktion T auf M. Dies ist der Fall, wenn die Raumzeit nicht stabil kausal ist, d.h. insbesondere, wenn geschlossene zeitartige Kurven vorliegen (Innenraum der Kerr-Lösung, Gödel-Lösung). Dennoch ist die Konstruktion für gewisse Bereiche von M möglich.

Zweitens kann nicht jedes Beobachterfeld u als Feld n dienen, wenn nämlich

nicht als Gradient darstellbar ist. Das ist dann der Fall, wenn die Integrabilitätsbedingung des Verschwindens der Rotation

nicht erfüllt ist.

Dabei kann man noch zeigen, dass in dieser Differenz die kovariante durch die partielle Ableitung ersetzt werden darf, da andere Terme wegfallen; für jedes Vektorfeld v gilt

Im folgenden einige Beispiele.

Minkowski-Raumzeit:

Schwarzschild-Raumzeit in Schwarzschild-Koordinaten:

N beschreibt hier das Verhältnis von den Eigen- zu den Koordinatenzeiten der bei r stationären Beobachter.

Schwarzschild-Raumzeit in Gullstrand–Painlevé-Koordinaten:

Die Koordinatenzeiten entsprechen den Eigenzeiten der (aus dem unendlichen) frei fallenden Beobachter, daher verwende ich auch direkt tau.