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TomS
Moderator
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 TomS Verfasst am: 21. Apr 2023 14:04 Titel: Mechanik und euklidische Geometrie I |
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In einem anderen Thread kam die Frage auf, ob eine einkomponentige Größe zwingend ein Skalar ist. Dies ist nicht der Fall, da man unter einem Galilei-Skalar eine Größe versteht, die unter Galilei-Transformation - Translation, Rotation und Boost - ihren Wert nicht ändert.
(Analog für Lorentz-Transformationen sowie andere Symmetriegruppen)
Gegenbeispiel sind z.B. die kinetische Energie (eine Komponente, jedoch abhängig von der Relativgeschwindigkeit) sowie der Drehimpuls in zwei Dimensionen d.h. für Bewegungen ausschließlich in der xy-Ebene (nur eine Komponente, entspräche der zu-Richtung, nicht invariant unter Galilei-Transformationen).
Bsp. Galilei-Boost für Geschwindigkeit v, Masse m und kinetische Energie E in einer Dimension:
^2)
v ist ein Galilei-Vektor, m ein Galilei-Skalar; v sowie natürlich E haben nur eine Komponente, transformieren jedoch nicht-trivial unter Boosts und sind daher keine Skalare.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Zuletzt bearbeitet von TomS am 26. Apr 2023 17:03, insgesamt 3-mal bearbeitet |
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Sonnenwind
Anmeldungsdatum: 25.04.2022
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| Sonnenwind Verfasst am: 22. Apr 2023 16:12 Titel: |
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In 2D ist ein Drehmoment nur eine Zahl, weil ich nur links- oder rechtsrum drehen kann. In 3D habe ich eine Drehachse aus dem Kreuzprodukt von Kraftvektor und Radiusvektor.
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Das Photon: Eine Geschichte voller Missverständnisse. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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| TomS Verfasst am: 22. Apr 2023 17:15 Titel: |
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| Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | | In 2D ist ein Drehmoment nur eine Zahl, weil ich nur links- oder rechtsrum drehen kann. In 3D habe ich eine Drehachse aus dem Kreuzprodukt von Kraftvektor und Radiusvektor. |
Ja.
Es geht um folgendes: Die Aussage, weil eine Größe nur eine Komponente hat, handele es sich um einen Skalar, ist i.A. falsch. Entscheidend ist das Transformationsverhalten.
Stell dir vor, eine kreisförmige Scheibe in der xy-Ebene rotieren um ihre Symmetrieachse im Ursprung, d.h. um die z-Achse. Das Problem ist letztlich zweidimensional, wir benötigen nur eine Komponente des Drehimpulses.
1. Du befindest dich auf der x-Achse und bewegst dich auf die Scheibe zu. Nach dem Relativitätsprinzip kann man auch dich als ruhend und die Scheibe als bewegt ansehen. D.h. sie hat einen Impuls p und bzgl. deines Bezugsystems mit dir im Ursprung einen Bahndrehimpuls
da r(t) und p parallel sind.
2. Du befindest dich neben der x-Achse und bewegst dich parallel zur x-Achse an der Scheibe vorbei. D.h. die Scheibe hat einen Impuls p und bzgl. deines Bezugsystems mit dir im Ursprung einen Bahndrehimpuls
da r(t) und p nicht mehr parallel sind.
Kannst du übrigens selbst mal nachrechnen.
D.h. ohne irgendwelche direkten Änderungen an der Scheibe - sondern alleine durch eine Galilei-Transformation des Bezugsystems - hat die Scheibe einen Impuls und einen Bahndrehimpuls L erhalten.
Vergiss die dritte Dimension, der Drehimpuls hat nur eine Komponente, die sich jedoch unter Galilei-Transformationen nicht-trivial verändert. Der Drehimpuls ist also kein Skalar.
Mach das selbe mit der Masse und der Temperatur der Scheibe … die sind invariant, also Skalare bzgl. Galilei-Transformationen.
Und zuletzt noch mit einer rotierenden Scheibe mit Eigendrehimpuls S sowie dem o.g. Bahndrehimpuls L …
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Zuletzt bearbeitet von TomS am 26. Apr 2023 16:14, insgesamt 2-mal bearbeitet |
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Sonnenwind
Anmeldungsdatum: 25.04.2022
Beiträge: 677
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| Sonnenwind Verfasst am: 22. Apr 2023 18:22 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | ... ohne irgendwelche direkten Änderungen an der Scheibe - sondern alleine durch eine Galilei-Transformation des Bezugsystems - hat die Scheibe einen Impuls und einen Bahndrehimpuls L erhalten.
Vergiss die dritte Dimension, der Drehimpuls hat nur eine Komponente, die sich jedoch unter Galilei-Transformationen nicht-trivial verändert. Der Drehimpuls ist also kein Skalar. |
Es geht hier aber um Drehmoment und nicht um Drehimpuls.
Wenn ich neben einem Auto herfahre, dessen Räder ein gewisses Drehmoment erfahren, so ist es egal mit welcher Geschwindigkeit ich neben diesem Auto fahre, das Drehmoment entspricht der Torsionsspannung in der Achse und die hängt offensichtlich nicht von meinem Bewegungszustand ab.
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Das Photon: Eine Geschichte voller Missverständnisse. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18015
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| TomS Verfasst am: 22. Apr 2023 18:40 Titel: |
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| Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | | Es geht hier aber um Drehmoment und nicht um Drehimpuls. |
Es gilt aber
d.h. das Drehmoment M hat exakt das selbe Transformationsverhalten unter räumlichen Galilei-Transformationen wie der Drehimpuls L.
Der Zusammenhang zwischen
und
folgt mittels
wegen
| Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | | Wenn ich neben einem Auto herfahre, dessen Räder ein gewisses Drehmoment erfahren, so ist es egal mit welcher Geschwindigkeit ich neben diesem Auto fahre, das Drehmoment entspricht der Torsionsspannung in der Achse und die hängt offensichtlich nicht von meinem Bewegungszustand ab. |
Nur weil du es implizit immer auf die Achse beziehst. Du vermeidest die Betrachtung der Transformation.
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Zuletzt bearbeitet von TomS am 26. Apr 2023 16:26, insgesamt 2-mal bearbeitet |
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Sonnenwind
Anmeldungsdatum: 25.04.2022
Beiträge: 677
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| Sonnenwind Verfasst am: 22. Apr 2023 18:55 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | | Es geht hier aber um Drehmoment und nicht um Drehimpuls. |
Es gilt aber
d.h. das Drehmoment M hat exakt das selbe Transformationsverhalten unter räumlichen Galilei-Transformationen wie der Drehimpuls L. |
Verstehe ich nicht. Was heißt das anschaulich bei meinem Autobeispiel? Die Drehbelastung der Achse ist doch unabhängig vom Bewegungszustand des Beobachters.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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| TomS Verfasst am: 22. Apr 2023 19:02 Titel: |
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| Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | | Es geht hier aber um Drehmoment und nicht um Drehimpuls. |
Es gilt aber
d.h. das Drehmoment M hat exakt das selbe Transformationsverhalten unter räumlichen Galilei-Transformationen wie der Drehimpuls L. |
Verstehe ich nicht. Was heißt das anschaulich bei meinem Autobeispiel? Die Drehbelastung der Achse ist doch unabhängig vom Bewegungszustand des Beobachters. |
Stimmt. Das schließt sich nicht aus.
Die Beschädigung zweier Autos i = 1, 2 bei einem Frontalzusammenstoß ist auch unabhängig davon, in welchem Bezugsystem du die kinetischen Energien betrachtest.
Im Schwerpunktsystem und bei gleicher Masse:
In einem mit u relativ zum Schwerpunkt bewegten Bezugsystem:
^2)
Es gibt auch Invarianten unter Transformationen; das sind tatsächlich Skalare. Energie, Impuls, Kraft, Drehimpuls und -moment sind keine Skalare.
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Sonnenwind
Anmeldungsdatum: 25.04.2022
Beiträge: 677
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| Sonnenwind Verfasst am: 22. Apr 2023 20:03 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Nein, die Winkelgeschwindigkeit ist kein Skalar. |
Doch ist sie. Weil sich nämlich die Motorachse gegen das Gefäß mit Öl dreht. Ob sich das ganze Labor mit der Erde dreht, das spielt hier keine Rolle.
Wenn Du Recht hättest, dann könnte man gar nicht definitiv bestimmen, ob der Motor einer Ente oder eines Ferraris mehr Drehmoment liefert. Das ist absurd.
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jh8979
Moderator
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| jh8979 Verfasst am: 22. Apr 2023 20:15 Titel: |
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| Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | Nein, die Winkelgeschwindigkeit ist kein Skalar. |
Doch ist sie. |
Eine Winkelgeschwindigkeit eines Punktes gibt die Änderung eines Winkels an. Dieser Winkel eines Punktes ist offensichtlich abhängig davon, wie ich meinen Ursprung wähle. Daher ist diese kein Skalar bezüglich Galileo-Transformationen, da sich dort der Ursprung ändert. |
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Sonnenwind
Anmeldungsdatum: 25.04.2022
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| Sonnenwind Verfasst am: 22. Apr 2023 20:27 Titel: |
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| jh8979 hat Folgendes geschrieben: | | Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | Nein, die Winkelgeschwindigkeit ist kein Skalar. |
Doch ist sie. |
Eine Winkelgeschwindigkeit eines Punktes gibt die Änderung eines Winkels an. Dieser Winkel eines Punktes ist offensichtlich abhängig davon, wie ich meinen Ursprung wähle. Daher ist diese kein Skalar bezüglich Galileo-Transformationen, da sich dort der Ursprung ändert. |
Was bitte hat das mit der Drehzahl der Motorachse bzw. der daraus errechneten Winkelgeschwindigkeit zu tun? Ändert ein herumlaufender Laborant irgendetwas an der Drehzahl des Motors? Darf er die Messgeräte nicht im Vorbeigehen ablesen?
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jh8979
Moderator
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| jh8979 Verfasst am: 22. Apr 2023 20:44 Titel: |
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Niemand bezweifelt, dass es einen schlauen/einfachen/intuitiven Weg Dinge zu berechnen gibt. Das ist ja gerade der Punkt, dass man Systeme wählen kann, in denen nicht-invariante Größen besonders einfach/intuitiv sind. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18015
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| TomS Verfasst am: 22. Apr 2023 21:35 Titel: |
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| Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | | Ändert ein herumlaufender Laborant irgendetwas an der Drehzahl des Motors? |
Er ändert nichts an der Drehzahl des Motors, das ist bei geeigneter Definition ein Galilei-Skalar.
| Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | | Darf er die Messgeräte nicht im Vorbeigehen ablesen? |
Doch, darf er, denn die Anzeige ist ebenfalls ein Galilei-Skalar.
Aber der Drehimpuls ist kein Skalar.
Warum schaust du dir nicht das einfache Beispiel der kinetischen Energie an?
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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| TomS Verfasst am: 22. Apr 2023 22:52 Titel: |
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Ich zeige mal exemplarisch anhand des eindimensionalen, vollständig inelastischen Stoßes, wie man von nicht invarianten zu invarianten Größen gelangt, die in allen Bezugssystemen den selben Wert annehmen.
Wir betrachten zwei Teilchen i=1,2 identischer Masse m sowie den Gesamtkörper der Masse 2m nach dem Stoß. Für Impulse und Energien gilt.
v_3)
})
Ein Galilei-Boost in ein bewegtes Bezugssystem ändert die Geschwindigkeiten gemäß
Die Geschwindigkeiten sowie in der Folge die Impulse und Energien sind keine invarianten Größen unter Galileitransformation, d.h. keine Skalare.
Eine invariante Größe - d.h. ein Galilei-Skalar - ist die Relativgeschwindigkeit
(nur in einer Dimension!)
Die Erhaltungssätze für Impuls und Energie im Falle des vollständig inelastischen Stoß lauten
U bezeichnet dabei die Zunahme an innerer Energie; die kinetische Energie nach dem Stoß ist dementsprechend geringer.
Es gilt
Drückt man Energien durch Impulse aus, verwendet die Impulserhaltung und löst auf, so erhält man
Die Zunahme der inneren Energie U ist demnach ebenfalls ein Galilei-Skalar.
Dies war zu erwarten, da sie ein für alle Beobachter invariantes Maß der Verformung und Erwärmung im Zuge des Stoßes darstellt.
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
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| jh8979 Verfasst am: 22. Apr 2023 23:52 Titel: |
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siehe oben. Du verstehst anscheinend nicht, dass du implizit ein Bezugssystem wählst... Denn der Drehpunkt muss nicht der Urspung des gewählten Bezugssystems sein. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18015
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| TomS Verfasst am: 23. Apr 2023 00:27 Titel: |
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| Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | | Unterhalb der Relativitätstheorie geht es wohl nicht? |
Doch.
https://de.m.wikipedia.org/wiki/Spannungstensor
„Ein Spannungstensor ist ein Tensor zweiter Stufe, der den Spannungszustand in einem bestimmten Punkt innerhalb der Materie beschreibt.“
| Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | | Soll das heißen, innerhalb der Newtonschen Mechanik hätte ich Recht? |
Nein.
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Sonnenwind
Anmeldungsdatum: 25.04.2022
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| Sonnenwind Verfasst am: 23. Apr 2023 00:52 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Und genauso muss man unterscheiden zwischen dem i) nicht-invarianten Drehmoment-Vektor und ii) dem invarianten Messwert für das Drehmoment. Auch wenn der invariante Messwert ein Skalar ist, ist der Vektor, aus dem man den Messwert berechnet, kein Skalar. |
Ich verstehe immernoch genau gar nichts. Ein Messwert ist ja logischerweise immer invariant. Und die Komponenten des Drehmoments, die Kraft und der Hebelarm sind auch invariant, folglich auch das Kreuzprodukt.
Vielleicht hilft ein Rechenbeispiel. Bei (0m,0m,0m) sei der Drehpunkt, bei (2m,0m,0m) sei das Ende des Hebelarms, bei dem eine Kraft (0N,30N,0N) wirkt, was ein Drehmoment von (0Nm,0Nm,60Nm) ergibt.
Was sollte sich da im bewegten System ändern, außer, dass sich alles verschiebt, aber Hebelarm und Kraft und Drehmoment gleich bleibt?
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Sonnenwind
Anmeldungsdatum: 25.04.2022
Beiträge: 677
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| Sonnenwind Verfasst am: 23. Apr 2023 01:05 Titel: |
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| jh8979 hat Folgendes geschrieben: | | Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | | Ein Messwert ist ja logischerweise immer invariant. |
Nö. Wir Tom schon erklärt hat ist z.B. die Energie als Meßwert nicht invariant. |
Nachdem sie gemessen wurde ist sie invariant, was eine komische Formulierung ist, ist ja trivial.
Dass die Energie beim Aufprall wegen des Doppler-Effekts unterschiedlich ist, das ist auch logisch.
Kraft und Hebelarm sind aber invariant. Und was wahr ist, das wird auch durch mehrfaches Wiederholen nicht falsch.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18015
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| TomS Verfasst am: 23. Apr 2023 07:54 Titel: |
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| Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | | Ich verstehe immernoch genau gar nichts. |
Weil du nicht willst.
| Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | | Ein Messwert ist ja logischerweise immer invariant. |
Stimmt.
| Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | | Und die Komponenten des Drehmoments, die Kraft und der Hebelarm sind auch invariant, folglich auch das Kreuzprodukt. |
Stimmt offensichtlich nicht … wie die Rechnung hier und die einschlägige Literatur zeigen.
Ist weder logisch notwendig, noch steht es im Widerspruch zu invarianten Messgrößen, wie ich an zwei Beispielen explizit gezeigt habe.
Wie soll man dir etwas erklären, wenn du dich weigerst, die Erklärungen zur Kenntnis zu nehmen?
| Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | | Was sollte sich da im bewegten System ändern …? |
Was hindert dich daran, ausgehend vom Drehimpuls und einem Galilei-Boost
die Galilei-Transformation des Drehimpulses und des -moments selbst zu berechnen?
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Zuletzt bearbeitet von TomS am 23. Apr 2023 09:18, insgesamt 4-mal bearbeitet |
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Sonnenwind
Anmeldungsdatum: 25.04.2022
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| Sonnenwind Verfasst am: 23. Apr 2023 11:26 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | M ist das Drehoment - so, wie man es in der Physik definiert. |
Und warum dann der unnötige und verwirrende Umweg über den Drehimpuls?
Mein Radmuttern-Beispiel zeigt, dass es auch rein statisch geht.
M = Hebelarm x Kraft .
Die Kraft ist sowieso invariant und der Hebelarm als Ortdifferenz auch.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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| TomS Verfasst am: 23. Apr 2023 11:47 Titel: |
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| Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | M ist das Drehoment - so, wie man es in der Physik definiert. |
Und warum dann der unnötige und verwirrende Umweg über den Drehimpuls? |
Warum verwirrt dich eine offizielle und allgemeingültige Definition?
| Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | | Mein Radmuttern-Beispiel zeigt, dass es auch rein statisch geht. |
Das Ergebnis ist aber nicht allgemein sondern nur eingeschränkt gültig, nämlich nicht in beliebigen Bezugsystemen.
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Zuletzt bearbeitet von TomS am 26. Apr 2023 16:43, insgesamt einmal bearbeitet |
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Sonnenwind
Anmeldungsdatum: 25.04.2022
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| Sonnenwind Verfasst am: 24. Apr 2023 08:35 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Wo kamen wir gleich her? Ach ja, Größen mit genau einer Komponente sind bzgl. Galilei-Transformationen i.A. keine Skalare. Beispiele sind Drehimpuls und -moment für ein zwei-dim. System. |
Der Hebelarm ergibt sich aus der Differenz der Ortvektoren der Krafteinleiung und des Drehpunktes.
Ich brauche hoffentlich nicht vorzuführen, dass eine Ortsdifferenz bezüglich der Galilei-Transformation invariant ist.
 x 
In 2D kommt beim "Kreuzprodukt" eben nur eine Zahl heraus:
 x(2D)
Da sowohl der Hebelarm h als auch die Kraft F invariant sind, ist es auch das Drehmoment M.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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| TomS Verfasst am: 24. Apr 2023 09:08 Titel: |
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| Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | | Ich brauche hoffentlich nicht vorzuführen, dass eine Ortsdifferenz bezüglich der Galilei-Transformation invariant ist. |
Der Betrag ja, der Vektor nicht.
| Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | | Da sowohl der Hebelarm h als auch die Kraft F invariant sind ... |
Die Vektoren sind natürlich nicht invariant.
Ich wiederhole es gerne nochmal:
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Zitat: | | Was heißt das anschaulich bei meinem Autobeispiel? Die Drehbelastung der Achse ist doch unabhängig vom Bewegungszustand des Beobachters. |
Stimmt. Das schließt sich nicht aus. |
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | ... verstehst du wohl nicht, was eine derartige Transformation bedeutet. Da passiert nichts reales. Man wechselt lediglich das Bezugsystem, und dadurch erhalten nicht-skalare Größen andere Werte bzgl. eines anderen Bezugsystems. |
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
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Demzufolge ist sind Drehimpuls- und Drehmomentvektor nicht invariant, die Messwerte eines Beobachters bzgl. seines Ruhesystems natürlich invariant.
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Man muss unterscheiden zwischen i) dem nicht-invarianten Energie-Impuls-Vierervektor und dessen Null-Komponente und ii) der invarianten Energie, die ein bestimmter Beobachter misst. Und genauso muss man unterscheiden zwischen dem i) nicht-invarianten Drehmoment-Vektor und ii) dem invarianten Messwert für das Drehmoment. Auch wenn der invariante Messwert ein Skalar ist, ist der Vektor, aus dem man den Messwert berechnet, kein Skalar. |
Wenn du einfach akzeptieren würdest, dass es - aufgrund der Definition mathematisch offensichtlich trivial -
i) nicht-invariante d.h. bezugsystemabhängige Größen gibt - in unseren Beispielen E, L und M - daraus jedoch
ii) invariante d.h. bezugsystemunabhängige Messgrößen folgen - in meinem Beispiel der Messwert für die innere Energie im Zuge der Kollision, die gemessene Energie des Photons und in deinem Beispiel z.B. die Temperaturerhöhung des Öls im Lager der Achse -
- dann wären wir hier schon deutlich weiter.
Solange du jedoch diese Unterscheidung zwischen (i) und (ii) ignorierst und in deinen Argumenten invariante und nicht-invariante Größen miteinander kombinierst, baust du dir selbst immer wieder den selben - scheinbaren - logischen Widerspruch.
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Sonnenwind
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| Sonnenwind Verfasst am: 24. Apr 2023 09:30 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | | Ich brauche hoffentlich nicht vorzuführen, dass eine Ortsdifferenz bezüglich der Galilei-Transformation invariant ist. |
Der Betrag ja, der Vektor nicht.
| Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | | Da sowohl der Hebelarm h als auch die Kraft F invariant sind ... |
Die Vektoren sind natürlich nicht invariant. |
Das kommt darauf an, ob man räumliche Drehungen mitnimmt oder nicht. Bei reiner Translation bleibt der Differenzvektor natürlich gleich. Bei Rotation wird auf ein neues Koordinatensystem umgerechnet, also x,y,z auf x',y',z'.
Bei 2D bekommt der Hebelarmvektor und der Kraftvektor neue Komponenten (bei Drehung des Koordinatensystems). Der Winkel zwischen beiden bleibt jedoch gleich und damit auch die Maßzahl des Drehmoments.
Bei 2D ist also die Maßzahl des Drehmoments invariant, es gibt ja nur diese eine Komponente.
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TomS
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Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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| TomS Verfasst am: 24. Apr 2023 09:43 Titel: |
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| Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | | Zitat: | | Die Vektoren sind natürlich nicht invariant. |
Das kommt darauf an, ob man räumliche Drehungen mitnimmt oder nicht. Bei reiner Translation bleibt der Differenzvektor natürlich gleich. Bei Rotation wird auf ein neues Koordinatensystem umgerechnet, also x,y,z auf x',y',z'. |
Natürlich kommt es darauf an. Aber ich habe nicht umsonst oben von Boosts geschrieben, und die vertauschen weder untereinander noch mit der Rotation.
| Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | | Bei 2D ist also die Maßzahl des Drehmoments invariant, es gibt ja nur diese eine Komponente. |
Falsch.
Es ging hier um die grundsätzliche Frage, ob eine Größe ein Skalar bzgl. Galilei-Transformation (in zwei Dimensionen) ist; das war der Ausgangspunkt. Und dabei ist es falsch, nur eine bestimmte Komponente und nur eine bestimmte Transformation zu betrachten.
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Zuletzt bearbeitet von TomS am 26. Apr 2023 16:44, insgesamt 2-mal bearbeitet |
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Sonnenwind
Anmeldungsdatum: 25.04.2022
Beiträge: 677
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| Sonnenwind Verfasst am: 24. Apr 2023 10:20 Titel: |
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Diesen Fehler mache ich ja gar nicht. Bei der kinetischen Energie ist mir klar, dass die von der Beobachtergeschwindigkeit abhängt.
Beim Drehmoment in 2D nicht. Da kannst Du mir kein konkretes Beispiel nennen. Scheinbar hast Du eine Abneigung gegen Zahlenbeispiele.
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TomS
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Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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| TomS Verfasst am: 24. Apr 2023 15:02 Titel: |
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| Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | | Ich glaube, das ist Euer Problem. |
Ich habe kein Problem.
| Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | | Wenn die Welt zweidimensional wäre, dann wäre das Drehmoment aber ein Skalar ... |
Diese Aussage bleibt aber für das, was Physiker als Drehmoment definieren
falsch.
Evtl. kannst du ja akzeptieren, dass diese Definition der Physiker allgemeiner ist als das, was du dir unter einem Drehmoment vorstellst.
Deine Definition reduziert sich letztlich auf das, was man in einem ausgezeichneten Bezugsystem messen würde, im Sinne von (ii). Geeignet definiert, wäre diese ein-komponentige Größe tatsächlich ein Skalar (siehe die Messung der Photonenergie). Dennoch existieren - nach der allgemeineren Definition der Physiker und Mathematiker - allgemeinere Objekte im Sinne von (i), die zwar auch nur eine Komponente haben, jedoch dennoch keine Skalare sind, d.h. nicht-trivial transformieren.
Du musst diese Objekte ja nicht verstehen, wenn du nicht möchtest. Aber du könntest versuchen, uns zu glauben, dass sie existieren und dass wir sie verstehen.
| Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | | Nochmal: Wo genau ist der Widerspruch zwischen Physik und Technik? |
Es existiert kein Widerspruch, solange wir uns einig sind, dass wir beide über (ii) reden. Es entsteht dann ein Widerspruch, wenn du meinst, deine Aussagen zu (ii) direkt auf (i) übertragen zu können.
Also nochmal:
| TomS hat Folgendes geschrieben: | Wenn du akzeptieren würdest, dass es
i) nicht-invariante d.h. bezugsystemabhängige Größen gibt - in unseren Beispielen E, L und M - daraus jedoch
ii) invariante d.h. bezugsystemunabhängige Messgrößen folgen - in meinem Beispiel der Messwert für die innere Energie im Zuge der Kollision, die gemessene Energie des Photons und in deinem Beispiel z.B. die Temperaturerhöhung des Öls im Lager der Achse -
dann wären wir hier schon deutlich weiter.
Solange du jedoch diese Unterscheidung zwischen (i) und (ii) ignorierst und in deinen Argumenten invariante und nicht-invariante Größen miteinander kombinierst, baust du dir selbst immer wieder den selben - scheinbaren - logischen Widerspruch. |
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Zuletzt bearbeitet von TomS am 26. Apr 2023 16:56, insgesamt einmal bearbeitet |
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Sonnenwind
Anmeldungsdatum: 25.04.2022
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| Sonnenwind Verfasst am: 24. Apr 2023 16:26 Titel: |
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| DrStupid hat Folgendes geschrieben: | | Chuck Norris dreht eine Radmutter am Vorderrad seines Pickups fest, indem er den Schlüssel so ansetzt, dass er den Griff nach oben zieht. Während sich die Mutter noch dreht, würdest Du den Bezugspunkt auf ihre Rotationsachse setzen. Nachdem die Mutter fest sitzt, erhöht Chuck Norris die Kraft aber immer weiter, bis er den Pickup vorne anhebt. Jetzt musst Du den Bezugspunkt konsequenzerweise in die Auflagefläche der Hinterräder legen, weil das der Punkt ist, um den sich das Fahrzeug dreht. |
Schönes Beispiel. Ich habe meine Aussagen insofern präzessiert, dass ich auf die Kräftepaare hingewiesen habe. Technisch würde man sagen, die Drehachse ist erst in der Mutternachse, danach unter den Hinterrädern. Man kann aber unter Berücksichtigung aller Kräfte den Bezugspunkt tatsächlich irgendwohin legen und kommt dann immer auf dasselbe Drehmoment.
Also sagen Physiker und Techniker letztlich dasselbe aus.
Hier ein Beispiel mit einem Kräftepaar:
 = \vec{r_1} \times \vec{F} - \vec{r_2} \times \vec{F})
Verschieben des Bezugspunktes um -d:
 \times \vec{F} - (\vec{r_2} + \vec{d}) \times \vec{F})
und es folgt wieder:
Das Drehmoment hat sich nicht verändert.
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Das Photon: Eine Geschichte voller Missverständnisse. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18015
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| TomS Verfasst am: 24. Apr 2023 17:41 Titel: |
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Magst du deine Aussage selbst überprüfen, d.h. durchrechnen, und den Fehler finden?
Tipp:
- betrachte eine beschleunigte Bewegung
- benutze die o.g. Definition für L und M *)
- und untersuche verschiedene Galilei-Transformationen
*) d.h. vergiss’ die Kraft, deren Transformationsverhalten noch unklar ist.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Sonnenwind
Anmeldungsdatum: 25.04.2022
Beiträge: 677
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| Sonnenwind Verfasst am: 24. Apr 2023 17:53 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Magst du deine Aussage selbst überprüfen, d.h. durchrechnen, und den Fehler finden?
Tipp:
- betrachte eine beschleunigte Bewegung
- benutze die o.g. Definition für L und M *)
- und untersuche verschiedene Galilei-Transformationen
*) d.h. vergiss’ die Kraft, deren Transformationsverhalten noch unklar ist. |
Jetzt wird es aber dynamisch. Sind wir uns einig, dass ich im statischen Fall ohne Drehtransformation recht habe?
Zur Dynamik:
Angenommen ich befinde mich bei t=0 im Ursprung eines Koordinatensystems und bewege mich mit 1m/s in Richtung x. Bei x = -10m bewegt sich ein Gewicht mit 1m/s in y-Richtung. Dann nimmt doch der Drehimpuls des Gewichts relativ zu meiner Position zu, weil ich mich vom Gewicht entferne und das Gewicht gleichbleibenden Impuls hat.
Es existiert aber nirgends ein Drehmoment, wie kann dann sein?
An dieser Formel ist doch gewaltig was faul.
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Das Photon: Eine Geschichte voller Missverständnisse. |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 24. Apr 2023 19:09 Titel: |
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| Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | | [...] Also sagen Physiker und Techniker letztlich dasselbe aus. |
Nur in einigen von dir ausgewählten Spezialfällen. |
Nein, immer in 2D und in 3D, wenn man Koordinatendrehungen weglässt. Oder immer für den Betrag des Drehmoments.
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Ja, das stimmt, wenn du das Drehmoment bzgl. eines fixen Punkts definierst, wie in Gl. (11) aus dem Artikel, den TomS oben verlinkt hatte. Die n-dimensionale Verallgemeinerung dieser Gleichung lautet
\wedge \vec{F}_i.)
Unter simultanen Galileitransformationen aller (!)  ,  und  hängt die Änderung von  nur von der Drehung  ab, nämlich
\wedge R\cdot\vec{F}_i.)
In zwei Dimensionen vereinfacht sich das zu
\sum_i (P_i -Q) \wedge \vec{F}_i = M_Q,)
da für Drehungen  . Es kommt natürlich darauf an, ob man und zusammen transformiert oder nur allein. Wenn man das nicht festlegt, kann man ewig aneinander vorbeireden. Und sobald jemand behauptet das eine Transformationsgesetz sei "richtiger" als das andere, ist die Diskussion ohnehin vorbei.
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It is just this lack of connection to a concern with truth -- this indifference to how things really are -- that I regard as of the essence of bullshit. -- Harry G. Frankfurt |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18015
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| TomS Verfasst am: 24. Apr 2023 23:51 Titel: |
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| index_razor hat Folgendes geschrieben: | | Ja, das stimmt, wenn du das Drehmoment bzgl. eines fixen Punkts definierst, wie in Gl. (11) aus dem Artikel, den TomS oben verlinkt hatte. |
Diese Definition hatte ich aber hier nie verwendet.
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 25. Apr 2023 07:44 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | index_razor hat Folgendes geschrieben: | | Ja, das stimmt, wenn du das Drehmoment bzgl. eines fixen Punkts definierst, wie in Gl. (11) aus dem Artikel, den TomS oben verlinkt hatte. |
Diese Definition hatte ich aber hier nie verwendet. |
Du hattest lediglich  durch den Ortsvektor  von nach ersetzt, was mathematisch vollkommen äquivalent ist.
Der wahre Unterschied ist, daß du nicht und gleichzeitig derselben Galileitransformation unterzogen hast. Deswegen war nicht invariant unter Boosts und Translationen. Das ist beides legitim, und es ist albern sich darüber die Köpfe einzuschlagen wer recht hat. Man muß einfach festlegen welche Größen man welcher Transformation unterzieht und welche man fixiert.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18015
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| TomS Verfasst am: 25. Apr 2023 07:52 Titel: |
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| Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | | Jetzt wird es aber dynamisch. |
Natürlich.
Ich habe nie etwas anders behauptet, ich habe das Drehmoment immer als Drehimpulsänderung definiert (analog zur Kraft als Impulsänderung), und wir reden von Galilei-Transformationen, d.h. man kann Bewegungen bzw. nicht-verschwindende Geschwindigkeit nicht ausschließlich.
Die Ausgangsfrage war, ob ein-komponentige Größen immer Galilei-Skalare sind (nein, sind die nicht). Daher muss ich doch allgemeine Galilei-Transformationen untersuchen.
| Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | | Sind wir uns einig, dass ich im statischen Fall ohne Drehtransformation recht habe? |
Mit welcher Aussage genau? Kannst du die bitte nochmal präzisieren?
Vermutlich nicht, solange du nicht zwischen (i) und (ii) unterscheidest. Siehe auch die nachfolgende Rechnung.
| Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | | An dieser Formel ist doch gewaltig was faul. |
Was denn genau?
Und p, L folgen oft direkt aus einer Lagrangedichte, haben damit eindeutiges Transformationsverhalten, und insofern eine Symmetrie unter gewissen Transformationen vorliegt, resultieren auch unmittelbar entsprechende Erhaltungssätze für p und L.
Vermutlich ist aber gerade das eine Ursache der Verwirrung. Ich hatte von vorne herein immer diese Definition genannt, weil sie für die Fragestellung - das Transformationsverhalten physikalischer Größen - die einfachste ist.
1) Beispiel:
Freies Teilchen:
Wo genau ist dein Problem?
2) Nächster Schritt wäre dann, die Transformationen
Translation
Rotation
Boost
auf L und M anzuwenden. Am Beispiel eines Boosts:
t] \times (v - u) = m \, r_0 \times (v-u) = \text{const.})
Hier ist speziell
woraus jedoch nicht folgt, dass M im Sinne von (i) ein Skalar ist, da diese Gleichheit lediglich für diesen Spezialfall gilt.
3) In der Folge kann man eine nicht-kräftefreie Bewegung untersuchen, z.B. den Fall im Gravitationsfeld:
und wiederum die o.g. Transformationen d.h. Translationen, Rotationen und Boosts anwenden.
Dabei betrachtet man das Gravitationsfeld und somit den Beschleunigungsvektor g parallel zur y-Achse sowie eine weitere Dimension in Richtung x-Achse, also wieder ein effektive 2-dim. Problem in der xy-Ebene. Die z-Komponente des Drehimpulses in einer 3-dim. Betrachtung entspräche der einzigen Komponente des Drehimpulses im Falle der äquivalenten 2-dim. Betrachtung.
Man erhält - bitte nachrechnen:
t] \times g)
Mit v in der xy-Ebene und g in y-Richtung haben Drehimpuls und Drehmoment ausschließlich eine z-Komponente.
Bei äquivalenter Betrachtung als 2-dim. Problem liegt also insbs. eine einkomponentige Größe vor, die nicht-trivial unter Boosts in der xy-Ebene transformiert und demnach kein Skalar ist. Bezeichnet man diese einkomponentige Größe wieder mit M, und setzt man r_0 der Übersichtlichkeit halber Null, so gilt
_i g_k \cdot t)
wobei die Summe über i, k = 1 .. 2 zu nehmen ist, und
Bei 2-dim. Betrachtungsweise hat M also nur eine Komponente, transformiert jedoch nicht-trivial unter Galilei-Transformationen und ist demnach kein Skalar.
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Zuletzt bearbeitet von TomS am 25. Apr 2023 12:21, insgesamt 20-mal bearbeitet |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18015
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| TomS Verfasst am: 25. Apr 2023 17:12 Titel: |
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| Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | Was Du beschreibst ist, dass Du einen Stein wirfst und dann aus der Verbindungslinie von Dir und dem Stein zusammen mit der Schwerkraft ein Drehmoment ausrechnest.
Dann läufst Du weg und veränderst damit natürlich den Hebelarm und damit das Drehmoment. |
Sozusagen, ja.
| Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | | Du musst nämlich Freund und Stein gemeinsam transformieren, also Startpunkt und Endpunkt des Hebelarms. |
Das wäre in etwa das, was ich unter (ii) verstehe.
Was aber natürlich falsch ist im Sinne von (i), weil du damit eben gerade keine Transformation ausführst.
Es geht gerade nicht darum, alles invariant zu lassen, sondern es geht darum, physikalische Größen wie Orte, Geschwindigkeiten und Beschleunigungen ... Impuls und Kräfte, Drehimpulse und Drehmomente ... Energien ... in ein anderes Bezugsystem zu transformieren.
i) Dabei ändern sich die Werte aller dieser Größen, weil wir sie eben bezogen auf ein anderes Bezugsystem betrachten. Ja, wenn ein Körper bzgl. meines Bezugspunktes einen gewissen Drehimpuls hat, dann ändert sich dieser Drehimpuls, wenn ich den Bezugspunkt ändere, also wenn ich beispielsweise weglaufe. Natürlich ist das so. Der Drehimpuls ändert sich nicht, weil mit dem Körper irgendetwas passiert, sondern ausschließlich deswegen, weil ich das Bezugsystem wechsle.
ii) Dabei ändern sich die Werte der Größen nicht, die wir weiterhin bezogen auf das alte Bezugsystem betrachten. Natürlich kann ich auch die alten Größen noch betrachten.
D.h. Orte, Geschwindigkeiten und Beschleunigungen ... Impuls und Kräfte, Drehimpulse und Drehmomente ... Energien eines Körpers ändern sich bzgl. meines Bezugspunktes, wenn ich diesen Bezugspunkt wechsle. Und sie ändern sich nicht, wenn ich ihn nicht wechsle.
Also nochmal ein ganz einfacher Versuch in einer Dimension.
i) Die kinetische Energie eines Körpers der Masse m mit Ortskoordinate x(t) bezogen auf ein Koordinatensystem S ist bekanntermaßen
Betrachten wir ein relativ dazu mit Geschwindigkeit u bewegtes Koordinatensystem S', d.h. führen wir einen Galilei-Boost durch, so gilt bzgl. dieses neuen Koordinatensystems
^2 \neq E)
ii) Die kinetische Energie dieses Körpers bezogen auf einen anderen Beobachter mit Geschwindigkeit v im oben eingeführten Koordinatensystem S ist
^2)
Betrachten wir wieder das relativ dazu mit Geschwindigkeit u bewegte Koordinatensystem S und den Galilei-Boost, so gilt bzgl. dieses neuen Koordinatensystems
 - (v-u) \right)^2 = \frac{m}{2} \left( \dot{x} - v \right)^2 = \mathcal{E}_v)
Wir haben zwei verschiedenen Größen definiert, nämlich die unter 1-dim. Galilei-Trf.
i) nicht-invariante Größe E, sowie die
ii) invariante d.h. skalare Größe E_v.
Ersteres ist die übliche Definition der Energie bezogen auf S. Analog natürlich für Impuls, Drehimpulse etc. Letzteres ist die Definition der Energie bezogen auf einen anderen Beobachter in diesem System S; diese Größe ist tatsächlich ein Skalar bzgl. dieser 1-dim. Galilei-Transformationen; diese Größe könnte z.B. ein Messwert sein, im Falle eines inelastischen Stoßes z.B. gemessen mittels Erhöhung der inneren Energie und entsprechender Erwärmung.
Also nochmal: wir müssen unterscheiden zwischen
i) Größen, die sich bei Transformation des Bezugsystems ändern - das gilt für die üblichen Definitionen von Orten, Geschwindigkeiten und Beschleunigungen ... Impulsen und Kräften, Drehimpulsen und Drehmomenten ... Energien und
ii) Größen, die invariant sind unter Transformation des Bezugsystems.
Deine Auffassung von Drehimpuls und Drehmoment sieht irgendwie nur (ii) vor, aber das ist nicht das, was Physiker i.A. betrachten. Deine Auffassung ist wohl ausreichend für eine Werkstatt, aber eben nicht für Effekte wie der Corioliskraft und der Thomas-Präzession oder von Konzepten wie dem Noether-Theorem und entsprechenden Erhaltungssätzen.
PS.: Die Transformation des Drehimulses unter Boosts wird explizit betrachtet in
https://cimec.org.ar/foswiki/pub/Main/Cimec/MecanicaRacional/84178116-Vol-1-Landau-Lifshitz-Mechanics-3Rd-Edition-197P.pdf
Landau / Lifshitz: Mechanics
3rd ed., chap. II § 9.
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Zuletzt bearbeitet von TomS am 25. Apr 2023 17:33, insgesamt 2-mal bearbeitet |
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