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wandbasilisk
Anmeldungsdatum: 26.09.2011
Beiträge: 18
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 wandbasilisk Verfasst am: 15. Dez 2011 22:36 Titel: spin-spin wechselwirkung in matrix darstellung |
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Meine Frage:
hey leute,
ich habe folgende aufgabe bei der ich nicht so recht weiterkomme:
Die wechselwirkung zwischen zwei Rb atomen, jeweils spin s1=s2=1/2, kann man wie folgt darstellen:
= V_{0}(R)+V_{1}(R) \vec{S}_{1} \cdot \vec{S}_{2} )
schreibe die matrix representation von V in der basis |m1m2>.
berechne die eigenwerte und eigenvektoren von V.
Meine Ideen:
ich habe mal versucht  zu berechnen und habe dazu folgendes gemacht:
^2=S1^2+S2^2+2S1S2 \)
daraus folgt: = hquer^2 1(1+1)-1/2(1+1/2)-1/2*(1+1/2)=1/4 hquer^2 )
so und nun komme ich nicht mehr weiter.
wie schreibe ich V nun in der basis von |m1m2>?
ich danke euch für eure hilfe.
lg |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18078
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| TomS Verfasst am: 15. Dez 2011 23:01 Titel: |
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Ich glaube, ich weiß was du vorhast.
S² kann aber nicht durch eine Zahl ersetzt werden, denn du kannst ja die beiden Einzelspins antiparallel zu einem Singulett (s=0) und einem Triplett (s=1) koppeln; ich bin mir auch nicht sicher, ob du überhaupt über den Gesamtspin gehen musst, oder ob du nicht besser einfach die Eins in der Basis |m1,m2> einschiebst.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Zuletzt bearbeitet von TomS am 16. Dez 2011 01:18, insgesamt einmal bearbeitet |
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Telefonmann
Anmeldungsdatum: 05.10.2011
Beiträge: 196
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| Telefonmann Verfasst am: 16. Dez 2011 00:07 Titel: |
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Hallo wandbasilisk,
schaue Dir dazu die folgenden zwei Operatoren näher an:
mit i = 1,2. Diese Operatoren haben besonders einfache Matrixelemente.
Ferner gilt:
+S_{1z}S_{2z})
Nachzulesen bei Cohen-Tannoudji, Band 2, S. 192. |
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wandbasilisk
Anmeldungsdatum: 26.09.2011
Beiträge: 18
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| wandbasilisk Verfasst am: 16. Dez 2011 01:25 Titel: |
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danke für die hinweise.
ich hab für  und  folgende matrixdarstellung gefunden.
das ist jetzt aber nur für ein teilchen mit spin 1/2.
um  zu erhalten, kann ich doch einfach diese beiden matrixen multiplizieren, oder? die summe aus und  würde dann ja eine diagonalmatrix mit hquer^2 als eintrag geben.
mich verwirrt zudem was denn nun eigentlich mit der basis |m1,m2> gemeint ist. welche dimension einer matrix sollte denn am schluss rauskommen? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18078
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| TomS Verfasst am: 16. Dez 2011 02:12 Titel: |
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| wandbasilisk hat Folgendes geschrieben: | | um zu erhalten, kann ich doch einfach diese beiden matrixen multiplizieren, oder? |
Nein! Jede Matrix bleibt bzgl. "ihres" Spins stehen, es handelt sich um ein Tensorprodukt zweier Räume und zweier Operatoren
 (|m_1\rangle \otimes |m_2\rangle ) = (S_1 |m_1\rangle) \otimes (S_2 |m_2\rangle))
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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wandbasilisk
Anmeldungsdatum: 26.09.2011
Beiträge: 18
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| wandbasilisk Verfasst am: 16. Dez 2011 03:16 Titel: |
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ich hab nun folgendes gemacht:
die  und  matrixen sehen ja für m1 und m2 gleich aus.
KP stehe für kronecker product:
 = 1/2 * (KP( )+ KP(  ) ) + KP ( ) ergibt:
hab ich das so richtig verstanden? |
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Telefonmann
Anmeldungsdatum: 05.10.2011
Beiträge: 196
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| Telefonmann Verfasst am: 16. Dez 2011 06:46 Titel: |
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| wandbasilisk hat Folgendes geschrieben: | | hab ich das so richtig verstanden? |
Von mir aus ja.
BTW: hquer kann man in latex so:  darstellen.
Gruß |
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wandbasilisk
Anmeldungsdatum: 26.09.2011
Beiträge: 18
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| wandbasilisk Verfasst am: 16. Dez 2011 16:03 Titel: |
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ist dann die komplette darstellung von V in matrix form die folgende:
V = +(\hbar^2/4) V1(R) & V0(R) & V0(R) & V0(R) \\ V0(R) & V0(R)-(\hbar^2/4) V1(R) & V0(R)+ (\hbar^2/2) V1(R) & V0(R) \\ V0(R) & V0(R)+ ( \hbar^2/2) V1(R) & V0(R)-(\hbar^2/4) V1(R) & V0(R)\\ V0(R) & V0(R) & V0(R) & V0(R)+(\hbar^2/4 )V1(R)\end{pmatrix} )
kann das so stimmen?
mir ist noch nicht ganz klar, woher die formel für S1S2 eigentlich herkommt 
vielen dank euch schonmal |
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Telefonmann
Anmeldungsdatum: 05.10.2011
Beiträge: 196
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| Telefonmann Verfasst am: 16. Dez 2011 19:17 Titel: |
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| wandbasilisk hat Folgendes geschrieben: | | kann das so stimmen? |
Hallo wandbasilisk,
ich habe da noch einen kleinen Fehler gefunden. V_0(R) sollte wohl besser mit der Einheitsmatrix multipliziert werden. Das gibt dann:
 \cdot \mathbf{1} + V_1(R) \hbar^2/4 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} )
| Zitat: | | mir ist noch nicht ganz klar, woher die formel für S1S2 eigentlich herkommt |
Mir persönlich reicht es, dass man durch Einsetzen ziemlich leicht zeigen kann, dass die Gleichung aus dem Cohen-Tannoudji stimmt. Rechne es selber nach, wenn Du unsicher bist. Du kannst auch gerne Fragen zu dieser Rechnung stellen.
Gruß |
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wandbasilisk
Anmeldungsdatum: 26.09.2011
Beiträge: 18
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| wandbasilisk Verfasst am: 16. Dez 2011 20:33 Titel: |
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ok vielen dank.
ich hab mir die vektoren S1 und S2 mal hingeschrieben und das skalarprodukt gebildet und komme nun auf diese relation.
ich hab mir nun zusätzlich die eigenwerte und eigenvektoren ausgerechnet und habe folgendes erhalten:
eigenwerte:
 \hbar^2 V1[R],
<br />
V0[R] + (1/4) \hbar^2 V1[R],
<br />
V0[R] + (1/4) \hbar^2 V1[R],
<br />
V0[R] + (1/4) \hbar^2 V1[R])
eigenvektoren: {{0, -1, 1, 0}, {0, 0, 0, 1}, {0, 1, 1,0}, {1, 0, 0, 0}}
nun meine frage:
es ist auffällig, dass ein eigenwert dreifach entartet ist.
wie kann ich dies nun in verbindung mit singulett und triplett zustand bringen?
ich hab mir folgendes gedacht:
der nicht entartete eigenwert gehört zum singulett zustand mit S=0, und der dreifach entartete eigenwert gehört zum triplett zustand mit S=1.
stimmt das?
ist an den eigenvektoren auch noch etwas charakteristisch? mir ist nur aufgefallen, dass sie ein orthonormales basissystem bilden (ich könnt sie ja noch normieren).
lg |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18078
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| TomS Verfasst am: 16. Dez 2011 22:14 Titel: |
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| wandbasilisk hat Folgendes geschrieben: | es ist auffällig, dass ein eigenwert dreifach entartet ist.
wie kann ich dies nun in verbindung mit singulett und triplett zustand bringen?
ich hab mir folgendes gedacht:
der nicht entartete eigenwert gehört zum singulett zustand mit S=0, und der dreifach entartete eigenwert gehört zum triplett zustand mit S=1.
stimmt das? |
Ja
| Zitat: | | ist an den eigenvektoren auch noch etwas charakteristisch? mir ist nur aufgefallen, dass sie ein orthonormales basissystem bilden (ich könnt sie ja noch normieren). |
Nun, man koppelt zwei irreduzible S = 1/2 Darstellungen der SU(2) mit der Dimension dim = 2S+1 = 2 zu einer Darstellung mit dim = 4; diee ist reduzibel und zerfällt in zwei irreduzible Darstellungen, eine S = 0 Darstellung mit dim = 2S+1 = 1 und eine S = 1 Darstellung mit dim = 2S+1 = 3
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wandbasilisk
Anmeldungsdatum: 26.09.2011
Beiträge: 18
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| wandbasilisk Verfasst am: 16. Dez 2011 22:38 Titel: |
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ok ich werd mich ein wenig in dieses thema einlesen.
vielen dank euch für eure hilfe |
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Telefonmann
Anmeldungsdatum: 05.10.2011
Beiträge: 196
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| Telefonmann Verfasst am: 17. Dez 2011 07:58 Titel: |
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| wandbasilisk hat Folgendes geschrieben: | | ok ich werd mich ein wenig in dieses thema einlesen. |
Die Matrixdarstellung der Operatoren  und  in der |m1m2>-Basis findet man ebenfalls im Band 2 von Cohen-Tannoudji. Zusammen mit den Eigenvektoren und Eigenwerten dieser Matrizen (die man ebenfalls dort nachlesen kann) kann man damit auch das Singulett und Triplett eindeutig identifizieren. |
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