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Gast5
Anmeldungsdatum: 07.11.2020
Beiträge: 1
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 Gast5 Verfasst am: 07. Nov 2020 01:39 Titel: Keplersches Gesetz herleiten |
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Meine Frage:
Hallo!
Ich versuche schon seit ein paar Stunden die Relation
}
<br />
)
herzuleiten. Die Rechnung ist sehr kurz (nur ein paar Zeilen) und rein klassisch, aber ich finde meinen Fehler einfach nicht. Es ist bestimmt super trivial und ich werde mich dafür schämen^^
Meine Ideen:
Ich starte mit der Vorgabe, dass der Drehimpuls erhalten ist, dh am Aphelion und am Perihelion muss er gleich sein:
Mit den Definitionen  ) und  ) , wobei  die große Halbachse ist, wird vorherige Gleichung des Drehimpulses nach quadrieren zu
 V_aV_p.
<br />
)
Jetzt benutzt man nur, dass immer Gravitationskraft = Zentrifugalkraft gelten muss, dh
 also mit den Geschwindigkeiten am Aphelion und am Perihelion:
Damit ist der Drehimpuls:
 \frac{GM}{\sqrt{r_a r_p}}
<br />
)
und mit der Definition für Ellipsen, dass
 a = \sqrt{r_a r_p},
<br />
)
(siehe z.B. Wikipedia https://en.wikipedia.org/wiki/Semi-major_and_semi-minor_axes#Ellipse), wird die Formel für den Drehimpuls letztlich:
 \frac{GM}{\sqrt{r_a r_p}} = m^2 a^2 (1-e^2) \frac{GM}{a\sqrt{1-e^2}}.
<br />
)
Nach Wurzelziehen und Kürzen der Faktoren folgt dann sofort:
}},
<br />
)
was offensichtlich eine Wurzel zu viel enthält.
Ich wäre extrem dankbar, wenn jemand den Fehler, der auf die "überschüssige Wurzel" führt, entdecken könnte, da ich schon sehr lange daran sitze.
Vielen Dank! |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5870
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| Myon Verfasst am: 07. Nov 2020 12:17 Titel: Re: Keplersches Gesetz herleiten |
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| Gast5 hat Folgendes geschrieben: | Jetzt benutzt man nur, dass immer Gravitationskraft = Zentrifugalkraft gelten muss, dh
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Am Perihel und am Aphel gilt  , insofern gilt an diesen Punkten für die (Zentripetal-)Beschleunigung  .
Die Gleichung  gilt aber nur für eine Kreisbahn. Beim Perihel und einer Bahn mit  muss zum Beispiel gelten
- eben weil sonst die Geschwindigkeit an diesem Punkt gerade ausreichend wäre für eine Kreisbahn. |
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Nils Hoppenstedt
Anmeldungsdatum: 08.01.2020
Beiträge: 2019
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| Nils Hoppenstedt Verfasst am: 07. Nov 2020 12:47 Titel: Re: Keplersches Gesetz herleiten |
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| Myon hat Folgendes geschrieben: | Beim Perihel und einer Bahn mit muss zum Beispiel gelten
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Richtig. Das r in az = v²/r ist der Radius des momentanen Krümmungskreises und nicht der Abstand zum Brennpunkt der Ellipse.
Am Perihel und am Aphel gilt stattdessen:
Beim Multiplizieren dieser beiden Geschwindigkeiten heben sich also die hinteren Wurzelausdrücke auf und man kommt auf den gesuchten Ausdruck für L.
Viele Grüße,
Nils |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5870
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| Myon Verfasst am: 07. Nov 2020 13:24 Titel: |
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@Nils H. Stimmt, danke. Was ich oben noch geschrieben habe, , ist im übrigen nicht richtig, denn  gilt am Perihel und Aphel ja nicht.
Auf die Geschwindigkeiten vp und va kommt man umgekehrt auch, wenn man vom Ausdruck für L im ersten Beitrag ausgeht. Ein anderer, einfacher Weg für die Geschwindigkeiten gibt es aber wahrscheinlich nicht? D.h., um den Ausdruck für L herzuleiten, muss wohl schon die Differentialgleichung für die Bahnkurve,  , gelöst werden? |
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Gast57
Gast
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| Gast57 Verfasst am: 07. Nov 2020 13:39 Titel: Danke |
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Vielen Dank für die Antworten!
@Nils: Wie genau kommst Du auf die beiden Ausdrücke für die Geschwindigkeit? Das wäre noch sehr nett, ansonsten vielen, herzlichen Dank  |
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Nils Hoppenstedt
Anmeldungsdatum: 08.01.2020
Beiträge: 2019
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| Nils Hoppenstedt Verfasst am: 07. Nov 2020 13:43 Titel: |
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Hallo Myon,
| Myon hat Folgendes geschrieben: | @Nils H. Stimmt, danke. Was ich oben noch geschrieben habe, , ist im übrigen nicht richtig, denn gilt am Perihel und Aphel ja nicht.
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gilt schon am Perihel und am Aphel, denn an diesen Punkten steht der Kraftvektor senkrecht zum Geschwindigkeitsvektor. Die Gravitationskraft entspricht hier also der Zentripetalkraft.
| Myon hat Folgendes geschrieben: |
Auf die Geschwindigkeiten vp und va kommt man umgekehrt auch, wenn man vom Ausdruck für L im ersten Beitrag ausgeht. Ein anderer, einfacher Weg für die Geschwindigkeiten gibt es aber wahrscheinlich nicht? |
Ein einfacher Weg wäre z.B. über den Energie- und Drehimpulserhaltungssatz:
https://www.sternfreunde-muenster.de/pdf/peraph497.pdf
Viele Grüße,
Nils |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5870
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| Myon Verfasst am: 10. Nov 2020 21:53 Titel: |
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| Nils Hoppenstedt hat Folgendes geschrieben: | | https://www.sternfreunde-muenster.de/pdf/peraph497.pdf |
Nachträglich besten Dank für den Link! Damit lassen sich all die Zusammenhänge zwischen den Halbachsen, der Exzentrizität, Parameter der Bahn, Drehimpuls und Energie rel. einfach herleiten. Kannte ich so nicht. Und mit der Bemerkung zur Zentripetalbeschleunigung hast Du natürlich auch recht. |
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