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Kirchhoffsches Gesetz ohne thermodynamisches Gleichgewicht
 
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TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 12858

Beitrag TomS Verfasst am: 12. Aug 2020 21:25    Titel: Kirchhoffsches Gesetz ohne thermodynamisches Gleichgewicht Antworten mit Zitat

Ich habe ein paar Fragen für den Fall, dass man Beziehungen ähnlich denen des Kirchhoffschen Strahlungsgesetz jedoch nicht für thermodynamisches Gleichgewicht angeben möchte.

Das Kirchhoffsches Strahlungsgesetz wird unter der Bedingung des thermodynamischen Gleichgewichts bewiesen bzw. (implizit) für Systeme im thermodynamischen Gleichgewicht angewandt.

Ich interessiere mich im folgenden für nicht-Gleichgewichts-Prozesse, bei denen kein thermodynamischen Gleichgewicht vorliegt, jedoch ein stationärer Zustand.

Ich verwende die Größen der spektralen Strahlungsdichte I, sowie den spektralen Absorptions- bzw. Emissionsgrad alpha bzw. epsilon; diese Größen hängen von der Frequenz nu sowie der Temperatur T ab. Die Indizes i,a,e,0 stehen für die einfallende, absorbierte und emittierte spektrale Strahlungsdichten sowie für den Fall des Planckschen Strahlungsspektrums. Ich verzichte auf geometrische bzw. gerichtete Größen, d.h. ich nehme vollständige Isotropie an.

1. Kirchhoffsches Strahlungsgesetz

Der spektrale Emissionsgrad ist definiert als



Der spektrale Absorptionsgrad ist definiert als



In der letzten Gleichung wird implizit das thermodynamische Gleichgewicht verwendet, denn die einfallende sowie die absorbierte spektrale Strahlungsdichte hängen beide von der selben Temperatur T ab.

Im Falle ideal undurchsichtiger Körper mit spektralem Transmissionsgrad Null gilt für den spektralen Reflexionsgrad



Für das Kirchhoffsche Strahlungsgesetz findet man verschiedene Formulierungen, insbs.





2. Nicht-Gleichgewichtsprozesse in einem stationären Zustand

Man betrachte einen Körper der Temperatur T, der einer thermischen Strahlung der Temperatur T_i ausgesetzt ist, d.h.



Ich nehme an, dass für Absorption bzw. Emission die Beziehungen





gelten, die sich aus Berücksichtigung der unterschiedlichen Temperaturen ergeben.

Der Zustand des Körpers ist stationär, wenn sich dessen innere Energie und damit Temperatur nicht ändern, d.h. wenn



gilt.

Ist die Überlegung bis hierher plausibel?

Gibt es weitere Beziehungen für die verallgemeinerten Koeffizienten oder kann man diese auf die Koeffizienten im Falle des thermodynamischen Gleichgewichts und damit des Kirchhoffschen Strahlungsgesetzes zurückführen?

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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
DrStupid



Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 2882

Beitrag DrStupid Verfasst am: 13. Aug 2020 09:26    Titel: Re: Kirchhoffsches Gesetz ohne thermodynamisches Gleichgewic Antworten mit Zitat

TomS hat Folgendes geschrieben:
Ist die Überlegung bis hierher plausibel?


Ja.

TomS hat Folgendes geschrieben:
Gibt es weitere Beziehungen für die verallgemeinerten Koeffizienten oder kann man diese auf die Koeffizienten im Falle des thermodynamischen Gleichgewichts und damit des Kirchhoffschen Strahlungsgesetzes zurückführen?


Soweit ich es verstehe, gilt das Kirchhoffsche Strahlungsgesetz streng für spezifische Frequenzen und Richtungen. Müssten dann bei Isotropie nicht auch



gelten? Das würde zu



führen.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 12858

Beitrag TomS Verfasst am: 13. Aug 2020 11:02    Titel: Antworten mit Zitat

Deine letzte Überlegung setzt die Gültigkeit des Kirchhoffschen Strahlungsgesetzes voraus, das wiederum für das thermodynamische Gleichgewicht und damit insbs.



bewiesen wird.

Also ja,



Aber genau diese Voraussetzungen gelten ja nicht.

Natürlich möchte ich auf eine derartige Beziehung hinaus, aber ich darf sie nicht einfach voraussetzen.

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DrStupid



Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 2882

Beitrag DrStupid Verfasst am: 13. Aug 2020 19:41    Titel: Antworten mit Zitat

TomS hat Folgendes geschrieben:
Deine letzte Überlegung setzt die Gültigkeit des Kirchhoffschen Strahlungsgesetzes voraus, das wiederum für das thermodynamische Gleichgewicht und damit insbs.



bewiesen wird.


Warum gehst Du davon aus, dass das ein Problem ist? Dass Absorptions- und Emissionsgrad von T abhängen leuchtet mir ein, aber warum von ?
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 12858

Beitrag TomS Verfasst am: 13. Aug 2020 22:06    Titel: Antworten mit Zitat

Ich kann es zumindest nicht ausschließen, da der Beweis des Kirchhoffschen Strahlungsgesetzes thermodynamisches Gleichgewicht voraussetzt und daher ein



überhaupt nicht betrachtet wird.

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Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 2882

Beitrag DrStupid Verfasst am: 13. Aug 2020 23:56    Titel: Antworten mit Zitat

TomS hat Folgendes geschrieben:
Ich kann es zumindest nicht ausschließen


Das würde eine Intensitätsabhängigkeit des Absorptsionskoeffizienten voraussetzen. Wird sowas beobachtet?
Klimafrosch



Anmeldungsdatum: 12.10.2020
Beiträge: 26

Beitrag Klimafrosch Verfasst am: 13. Okt 2020 16:21    Titel: Antworten mit Zitat

Albedo und Emissionsgrad sind mit Sicherheit temperaturabhängig.

Z.B. für das Marsgestein gilt: sphärische Albedo 0,250, also Absorption 0,750. Emissionsgrad bei -55°C ca. 0,95 bis 0,98.
DrStupid



Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 2882

Beitrag DrStupid Verfasst am: 13. Okt 2020 17:35    Titel: Antworten mit Zitat

Klimafrosch hat Folgendes geschrieben:
Z.B. für das Marsgestein gilt: sphärische Albedo 0,250, also Absorption 0,750. Emissionsgrad bei -55°C ca. 0,95 bis 0,98.


Im selben Frequenzbereich?
Klimafrosch



Anmeldungsdatum: 12.10.2020
Beiträge: 26

Beitrag Klimafrosch Verfasst am: 13. Okt 2020 23:47    Titel: Antworten mit Zitat

Die Albedo bezieht sich auf das Sonnenlicht, die Emission auf die Temperatur der Marsoberfläche, beide Male über den gesamten Frequenzbereich, nur eben bei unterschiedlichen Temperaturen der Schwarzstrahler.

Nehmen wir einmal an man hat zwei Körper; Körper A wird ständig geheizt und Körper B ständig gekühlt. Der Strahlungsaustausch wird auf einen bestimmten Frequenzbereich beschränkt. Dann wird der wärmere Körper stets den kälteren Körper erwärmen, weil sich die Planckschen Strahlungsspektren für verschiedene Temperaturen niemals schneiden.

Also wird für den kälteren Körper stets gelten

Absorptionskoeffizient * Intensität des Lichts des wärmeren Körpers
ist größer als
Emissionskoeffizient * Intensität des des Lichts des kälteren Körpers
jeweils bezogen auf den Frequenzbereich des Strahlungsaustausches.

Und weil die Planckschen Strahlungsspektren für niedrige Temperaturen relativ ungekrümmt sind, und für hohe Temperaturen ein ausgeprägtes Maximum haben und stark gekrümmt sind, gilt ohne thermisches Gleichgewicht stets
Absorptionskoeffizient ungleich Emissionskoeffizient.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 12858

Beitrag TomS Verfasst am: 14. Okt 2020 06:39    Titel: Antworten mit Zitat

Ich halte deine Argumentation für interessant, sehe jedoch nicht, in wie weit sie hier anwendbar ist.

Im o.g. Fall könnte man bei bei ideal isotroper Strahlung argumentieren, dass der bestrahlte Körper - in deinem Beispiel der Mars - für sich betrachtet bei konstanter Temperatur im thermodynamischen Gleichgewicht ist, da ein stationärer Zustand vorlieg, in dem alle makroskopischen Flüsse von Materie und Energie innerhalb des Körpers verschwinden. Das System „Sonne - Mars“ ist jedoch sicher nicht im thermodynamischen Gleichgewicht, da die makroskopischen Flüsse zwischen beiden nicht verschwinden.

Der Mars wird jedoch - ideal isotrope Strahlung vorausgesetzt - weder geheizt noch gekühlt und habe konstante Temperatur.

Ich interessiere mich für das Kirchhoffsche Strahlungsgesetz und den spektralen Absorptions- bzw. Emissionsgrad alpha bzw. epsilon; diese Größen hängen von der Frequenz nu sowie der Temperatur T ab,- s.o. Ich sehe noch nicht, wie ich da mit deiner Argumentation weiterkomme.

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Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 2882

Beitrag DrStupid Verfasst am: 14. Okt 2020 08:26    Titel: Antworten mit Zitat

Klimafrosch hat Folgendes geschrieben:
Die Albedo bezieht sich auf das Sonnenlicht, die Emission auf die Temperatur der Marsoberfläche, beide Male über den gesamten Frequenzbereich, nur eben bei unterschiedlichen Temperaturen der Schwarzstrahler.


Dann hilft uns das hier nicht weiter. Verschiedene Absorptions- bzw. Emissionskoeffizienten bei verschiedenen Frequenzen sind der Normalfall. Die Frage ist, ob Absorptions - und Emissionskoeffizient bei derselben Wellenlänge unterschiedlich sein können.

Klimafrosch hat Folgendes geschrieben:
Also wird für den kälteren Körper stets gelten

Absorptionskoeffizient * Intensität des Lichts des wärmeren Körpers
ist größer als
Emissionskoeffizient * Intensität des des Lichts des kälteren Körpers
jeweils bezogen auf den Frequenzbereich des Strahlungsaustausches.


Das ist mit dem Kirchhoffschen Strahlungsgesetz nicht anders zu erwarten. Weil danach Absorptions- und Emissionskoeffizient in einem hinreichend schmalen Frequenzbereich gleich sind, kürzen sie sich aus der Ungleichung raus und übrig bleibt

Intensität des Lichts des wärmeren Körpers ist größer als Intensität des Lichts des kälteren Körpers

Klimafrosch hat Folgendes geschrieben:
Und weil die Planckschen Strahlungsspektren für niedrige Temperaturen relativ ungekrümmt sind, und für hohe Temperaturen ein ausgeprägtes Maximum haben und stark gekrümmt sind, gilt ohne thermisches Gleichgewicht stets
Absorptionskoeffizient ungleich Emissionskoeffizient.


Diese Argumentation kann ich nicht nachvollziehen.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 12858

Beitrag TomS Verfasst am: 14. Okt 2020 09:11    Titel: Re: Kirchhoffsches Gesetz ohne thermodynamisches Gleichgewic Antworten mit Zitat

TomS hat Folgendes geschrieben:
Ich verwende die Größen der spektralen Strahlungsdichte I, sowie den spektralen Absorptions- bzw. Emissionsgrad alpha bzw. epsilon; diese Größen hängen von der Frequenz nu sowie der Temperatur T ab. Die Indizes i,a,e,0 stehen für die einfallende, absorbierte und emittierte spektrale Strahlungsdichten sowie für den Fall des Planckschen Strahlungsspektrums. Ich verzichte auf geometrische bzw. gerichtete Größen, d.h. ich nehme vollständige Isotropie an.

Für Nicht-Gleichgewichtsprozesse in einem stationären Zustand betrachte man einen Körper der Temperatur T, der einer thermischen Strahlung der Temperatur T_i ausgesetzt ist, d.h.



Ich nehme an, dass für Absorption bzw. Emission die Beziehungen





gelten, die sich aus Berücksichtigung der unterschiedlichen Temperaturen ergeben.

Der Zustand des Körpers ist stationär, wenn sich dessen innere Energie und damit Temperatur nicht ändern, d.h. wenn



gilt.

Weiter gilt





wobei g einen geometrischen Faktor bezeichnet und - unter der Annahme, dass für den grauen Körper selbst thermodynamisches Gleichgewicht vorliegt



gesetzt wird.

Damit folgt



Wenn die spektralen Absorptions- und Emissionsgrade bekannt wären, könnte man aus dieser Gleichung die Gleichgewichtstemperatur T bei gegebenen T_i bestimmen.

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DrStupid



Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 2882

Beitrag DrStupid Verfasst am: 14. Okt 2020 11:08    Titel: Re: Kirchhoffsches Gesetz ohne thermodynamisches Gleichgewic Antworten mit Zitat

Leider hilft uns das nicht bei der Frage, ob und wenn ja unter welchen Bedingungen und in welchem Ausmaß und von abhängen. Wie ich oben schon sagte, wäre das gleichbedeutend mit einer Intensitätsabhängigkeit. Es wäre noch nicht einmal auszuschließen, dass die Absorption und Emission bei einer Wellenlänge von der Intensität des Strahlungsfeldes bei anderen Wellenlängen abhängt. Das hätte erhebliche praktische Auswirkungen (z.B. auf spektroskopische Methoden).
Klimafrosch



Anmeldungsdatum: 12.10.2020
Beiträge: 26

Beitrag Klimafrosch Verfasst am: 14. Okt 2020 11:33    Titel: Antworten mit Zitat

DrStupid schrieb: Die Frage ist, ob Absorptions - und Emissionskoeffizient bei derselben Wellenlänge unterschiedlich sein können.

Wie gesagt gilt beim Mars Absorptionskoeffizient gleich 0,75, Emissionskoeffizient gleich 0,97, gemittelt jeweils über den Frequenzbereich von null bis unendlich. Also muss es zumindest einen Frequenzbereich geben, in dem der Emissionskoeffizient größer ist als der Absorptionskoeffizient.

Da sich die Kurven der Frequenzverteilung nicht schneiden gilt sogar für den kälteren Körper über den gesamten Frequenzbereich von null bis unendlich:

Emissionskoeffizinet größer gleich Absorptionskoeffizient

Das Gleichheitszeichen gilt nur für das thermische Gleichgewicht.

Dies ist übrigens in Übereinstimmung mit den Aussagen von Prigogine, dass die Entropieerzeugung eines Systems in der Nähe des thermodynamischen Gleichgewichts minimal wird (im Gleichgewicht ist die Entropie maximal).
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 12858

Beitrag TomS Verfasst am: 14. Okt 2020 12:18    Titel: Re: Kirchhoffsches Gesetz ohne thermodynamisches Gleichgewic Antworten mit Zitat

DrStupid hat Folgendes geschrieben:
Leider hilft uns das nicht bei der Frage, ob und wenn ja unter welchen Bedingungen und in welchem Ausmaß und von abhängen.

Das war auch nicht meine Erwartungshaltung ;-)

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TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 12858

Beitrag TomS Verfasst am: 14. Okt 2020 12:21    Titel: Antworten mit Zitat

Klimafrosch hat Folgendes geschrieben:
Wie gesagt gilt beim Mars Absorptionskoeffizient gleich 0,75, Emissionskoeffizient gleich 0,97, gemittelt jeweils über den Frequenzbereich von null bis unendlich. Also muss es zumindest einen Frequenzbereich geben, in dem der Emissionskoeffizient größer ist als der Absorptionskoeffizient.

Da sich die Kurven der Frequenzverteilung nicht schneiden gilt sogar für den kälteren Körper über den gesamten Frequenzbereich von null bis unendlich:

Emissionskoeffizinet größer gleich Absorptionskoeffizient

Das Gleichheitszeichen gilt nur für das thermische Gleichgewicht.

Ich sehe, worauf du hinauswillst, ich würde das jedoch gerne anhand der von mir genannten Gleichung verstehen.

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Beitrag DrStupid Verfasst am: 14. Okt 2020 12:38    Titel: Antworten mit Zitat

Klimafrosch hat Folgendes geschrieben:
Wie gesagt gilt beim Mars Absorptionskoeffizient gleich 0,75, Emissionskoeffizient gleich 0,97, gemittelt jeweils über den Frequenzbereich von null bis unendlich. Also muss es zumindest einen Frequenzbereich geben, in dem der Emissionskoeffizient größer ist als der Absorptionskoeffizient.


Nein, muss es nicht. Du schreibst oben

Klimafrosch hat Folgendes geschrieben:
Die Albedo bezieht sich auf das Sonnenlicht, die Emission auf die Temperatur der Marsoberfläche, beide Male über den gesamten Frequenzbereich, nur eben bei unterschiedlichen Temperaturen der Schwarzstrahler.


Daraus schließe ich, dass es sich um gewogene arithmetische Mittelwerte mit den Intensitäten des Sonnenlichtes bzw. eines schwarzen Strahlers bei -55 °C als Wichtungsfaktoren handelt:



Zumindest wüsste ich nicht, was es sonst bedeuten soll, dass sich die Mittelwerte auf Sonnenlicht bzw. eine bestimmte Temperatur des Bodens beziehen.

Dass man auf diese Weise mit unterschiedlichen Intensitätsverteilungen für Absorption und Emission unterschiedliche mittlere Absorptions- und Emissionskoeffizienten bzw. erhält, ist wenig überraschend und bedeutet keineswegs, dass die spektralen Absorptions- und Emissionskoeffizienten bzw. unterschiedlich sein müssen.

Das gilt insbesondere dann, wenn sich die verschiedenen Intensitätsverteilungen kaum überlappen. Die Intensität des Sonnenlichtes ist im Bereich des Scharzkörperspektrums bei -55 °C nahezu Null und umgekehrt. Das bedeutet, dass der von Dir genannte mittlere Absorptionskoeffizient praktisch nur von den spektralen Absorptionskoeffizienten im Bereich des Sonnenlichtes abhängt und der mittlere Emissionskoeffizient fast nur von den spektralen Emissionskoeffizienten im Bereich des Schwarzkörperspektrums der Marsoberfläche. Die gelten also für zwei vollkommen unterschiedliche Wellenlängenbereiche.

Klimafrosch hat Folgendes geschrieben:

Da sich die Kurven der Frequenzverteilung nicht schneiden gilt sogar für den kälteren Körper über den gesamten Frequenzbereich von null bis unendlich:

Emissionskoeffizinet größer gleich Absorptionskoeffizient


Dieser Argumentation kann ich nach wie vor nicht folgen. Erklären doch mal im Detail, wie Du darauf kommst.


Zuletzt bearbeitet von DrStupid am 14. Okt 2020 13:21, insgesamt einmal bearbeitet
DrStupid



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Beitrag DrStupid Verfasst am: 14. Okt 2020 12:52    Titel: Antworten mit Zitat

TomS hat Folgendes geschrieben:
Ich sehe, worauf du hinauswillst, ich würde das jedoch gerne anhand der von mir genannten Gleichung verstehen.


Aber wie soll das gehen? Zusätzliche Abhängigkeiten in die Gleichung einzubauen trägt doch nur zum Verständnis bei, wenn man diese auch irgendwie quantifizieren kann - z.B. mit einschränkenden Bedingungen oder mit experimentellen Beobachtungen. Ich hätte momentan keine Idee, wie das zu bewerkstelligen wäre.

Davon abgesehen würde das Ergebnis nur für den Spezialfall gelten, dass die absorbierte Strahlung thermisch ist. Das ist aber eher die Ausnahme. Schon bei zwei Strahlungsquellen unterschiedlicher Temperatur gäbe es kein definiertes Ti mehr und wenn man den Körper mit monochromatischem Licht bestrahlt, dann wird diese Größe komplett sinnlos.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 12858

Beitrag TomS Verfasst am: 14. Okt 2020 13:09    Titel: Antworten mit Zitat

DrStupid hat Folgendes geschrieben:
Davon abgesehen würde das Ergebnis nur für den Spezialfall gelten, dass die absorbierte Strahlung thermisch ist. Das ist aber eher die Ausnahme.

Nun, zunächst würden wir sicherstellen, dass wir vom gleichen Problem sprechen; die Ideen von Klimafrosch waren dagegen etwas anders gelagert.

Darüberhinaus ist der von mir diskutierte Spezialfall eine naheliegende und eigtl. einfache Verallgemeinerung des Kirchhoffschen Falles für thermodynamisches Gleichgewicht. Ich setze weiterhin definierte, konstante Temperatur eines Körpers voraus, der jedoch mit einem zweiten nicht im thermodynamischen Gleichgewicht ist, jedoch zusammen mit diesem in einem stationären Zustand.

Genauso könntest du argumentieren, dass der Spezialfall von Planck bzw. Kirchhof nur in Ausnahmefällen zutrifft ;-)

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