Integraldarstellung der Divergenz

Schüler · Anmeldungsdatum: 05.05.2006 Beiträge: 175

hi
ich komme bei der herleitung aus einem buch zur integraldarstellung der divergenz nicht ganz mit
zu zeigen ist

das erste integral soll übrigens ein kurven integral sein. ich weiß leider nicht wie man ein kurvenintegral mit dem formeleditor darstellen soll
[as_string: Das mit dem Kreis macht man mit \oint]
der beweis fängt wie folgt an

die doppelintegrale und differentiale versteh ich, aber ich verstehe nicht ganz warum dort steht
x0+1/2*delta(x),y,z
x,y0+1/2*delta(y),z
x,y,z0+1/2*delta(z)
diesen teil versteh ich nicht ganz
die fortsetzug des beweises versteh ich noch weniger
weil ich nicht weiß wie man das partitelle differentiaitonszeichen eingibt schreibe ich stattdessen im folgenden ein großes D

wie man darauf kommt versteh ich überhaupt nicht
den rest des beweises versteh ich.
ich hoffe mir kann jemand helfen

[as_string: Ich hab mal in Deinem Latex etwas rumgebastelt. Hoffentlich ist noch alles so, wie von Dir beabsichtigt...]

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Der Schritt

(Das Zeichen für partielle Ableitung heißt \partial in Latex)

bedeutet folgendes:

Betrachtet werden die beiden Werte von

an den Rändern eines Intervalles, das die Breite

und den Mittelpunkt

hat.

Die Differenz dieser beiden Werte der Funktion

ist näherungsweise gleich der Steigung der Funktion im Mittelpunkt dieses Intervalles mal der Breite dieses Intervalles. (Das ist die lineare Näherung durch ein Steigungsdreieck.)

Das

, das dahinter steht, soll heißen: "plus Terme höherer Ordnungen", das heißt hier konkret, plus Terme, in denen das

in der dritten oder einer noch höheren Potenz drinsteht. Wenn das

sehr klein ist, dann sind Terme umso kleiner und vernachlässigbarer, je größer die Potenz von

wird. (Die Abhängigkeit der Funktion

von

wird hier also angenähert durch eine Reihenentwicklung, die vor den Termen der dritten Ordnung abgebrochen wird.)

Ich finde übrigens folgende Schreibweise exakter und weniger verwirrend: Statt

würde ich

schreiben, und statt

würde ich

schreiben. Damit sieht die Umformung also so aus: