Verständnisproblem Integral Trägheitsmoment

JSchneider · Anmeldungsdatum: 19.10.2018 Beiträge: 36

Guten morgen,

ich habe hier einen kleinen Hänger beim Verständnis, bzw. hatte es verstanden und wieder vergessen. :/

Ich habe z.B. eine rechteckige Platte mit den Abmessungen a = 20 cm und b = 30 cm. Wie lege ich im Integral (wäre hier ja ein Flächenintegral) fest ob sich das Ding um die a- oder b-Seite dreht? grübelnd

Was sagt allgemein dass es sich generell um die Schwerpunktsachse dreht? Liegt das an der Definition?

Es geht mir nur um das Verständnis, die Berechnungen kann ich. Einem kleinen Beispiel wäre ich aber natürlich nicht abgeneigt, wenn sich jemand die Zeit nehmen kann.

Mathefix · Anmeldungsdatum: 05.08.2015 Beiträge: 5866 Wohnort: jwd

Nimm als Beispiel einen Balken mit rechteckigem Querschnitt, der durch ein Biegemoment belastet wird.
Abhängig davon, ob der Balken hochkant oder quer liegt, ist die Bezugsachse für das Flächenträgheitsmoment des Querschnitts zu wählen.

Bezugachse verläuft durch den Flächenschwerpunkt s.

b > a

Biegespannung

s = Abstand Flächenschwerpunkt zur Rand.

Balken hochkant: Bezugsachse y

Balken quer: Bezugsachse z

Verläuft die Bezugsachse nicht durch den Flächenschwerpunkt ist der Satz von Steiner anzuwenden:

e = Abstand Bezugsachse vom Flächenschwerpunkt

Ist damit Deine Frage beantwortet?

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5870

@Mathefix: JSchneider spricht davon, dass sich die Platte drehen soll um eine Achse. Es geht ihm also nicht um das Flächen-, sondern um das Massenträgheitsmoment.

@JSchneider: So ganz verstehe ich die Frage nicht. Ein Trägheitsmoment bezieht sich immer auf eine bestimmte Drehachse (Trägheitstensor: auf einen bestimmten Bezugspunkt). Dass sich ein Körper allgemein um eine Achse durch den Schwerpunkt drehen müsste, ist nicht der Fall.
Bewegt sich ein Körper frei, so dreht er sich gleichmässig um eine Achse durch den Schwerpunkt, während sich der Schwerpunkt gleichförmig fortbewegt (das folgt aus dem Schwerpunktsatz, der besagt, dass sich der Schwerpunkt eines Körpers so bewegt, als ob die Summe aller am Körper angreifenden Kräfte auf den Schwerpunkt wirken würden).

Mathefix · Anmeldungsdatum: 05.08.2015 Beiträge: 5866 Wohnort: jwd

JSchneider · Anmeldungsdatum: 19.10.2018 Beiträge: 36

Ich fasse es vielleicht nochmal etwas konkreter zusammen:

Lt. Definition ist das Trägheitsmoment:

Nun sollte ich in einer Aufgabe folgendes tun:

Leiten Sie das Trägheitsmoment I einer homogenen dünnen rechteckigen Platte mit Seiten a=30cm und b=20cm und Flächendichte

um die längere Kante her.

Die Lösung ist:

usw...
Da a hier die "gesuchte" Kante ist muss ich über a integrieren, oder? Auch wenn es vielleicht komisch klingt verwirren mich die Differenziale am Ende; kartesisch würde ich zB rein intuitiv dx dy verwenden, aber ich muss hier ja auch über r integrieren... Wenn mir das einer noch erklären könnte und mir das Analogon für die Rotation um b zeigen könnte... (Wahrscheinlich über db statt da...)

Mathefix · Anmeldungsdatum: 05.08.2015 Beiträge: 5866 Wohnort: jwd

a = Breite (längere Kante)
b = Höhe

Bezugsline a

Bei einer dünnen Platte gilt:

Bezugslinie b

Nils Hoppenstedt · Anmeldungsdatum: 08.01.2020 Beiträge: 2019

Bei solchen Integralen ist es entscheidend sich erstmal Gedanken über das zugrunde liegende Koordiantensystem zu machen.

Im obigen Beispiel wäre ein geeignetes Koordinatensystem ein kartesisches Koordinatensystem, wobei die x-Achse mit der a-Kante zusammenfällt und die y-Achse mit der der b-Kante. In das Integral geht dann das Quadrat des Abstandes eines Punktes (x,y) zu der Drehachse ein, was bei dieser Wahl des Koordinatensystems einfach y² ist.

Das Trägheitsmoment ist dann also:

Bei Rotation um die b-Kante ist der Abstand eines Punktes (x,y) zur Drehachse nun x und es folgt:

Viele Grüße,
Nils

JSchneider · Anmeldungsdatum: 19.10.2018 Beiträge: 36

Also wird naiv ausgedrückt über die Rotationsachse komplett integriert während von der anderen der Abstand zur Rotationsachse einbezogen wird? (das "r-senkrecht" im Integral der Definition von I)

Ich habe es verstanden, ich weiß nur nicht wie korrekt meine Formulierung des Sachverhalts ist.
Ich danke jedenfalls.

Nils Hoppenstedt · Anmeldungsdatum: 08.01.2020 Beiträge: 2019

Hmmm ja, ist vielleicht etwas komisch ausgedrückt. Du integrierst ja in beiden Richtungen „komplett“ entlang der Kante. In der einen Richtung ist die Integration lediglich einfacher. Man sagt einfach, dass man das Integral von

über die Fläche der Platte bildet, wobei r der Abstand zur Rotationsachse ist.

Viele Grüße,
Nils

JSchneider · Anmeldungsdatum: 19.10.2018 Beiträge: 36

Damit wird es auf jeden Fall klarer, vielen Dank.