Planetenbahnen berechnen

Wizard of War · Gast

Moin, ich bin grade dabei ein Programm zu schreiben um Planetenbahnen zu berechnen und zu zeichnen.
Dabei will ich aber nicht eingeben:
kleine Halbachse, große Halbachse usw.
Sondern lediglich die Geschwindigkeit des Planetens an einem bestimmten Punkt sowie die Entfernung von der Sonne in diesem Punkt und die Richtung des Planeten in diesem Punkt.

Den Rest soll das Programm errechnen.
Nun bin ich über das Buch "Feynmans verschollene Vorlesung - Die Bewegung der Planeten um die Sonne" gestolpert und hab es bisher mehrmals gelesen, aber wenn ich versuche das umzusetzen haperts.

In dem Buch wird die Ellipsenformel bewiesen, leider wird zu den Kräften fast nix ausgesagt.

Ich schreib euch dann mal wos bei mir hakt:

Ich nehme also den sonnennächsten Punkt (genannt A) der Erde an:
r1=147*10^9m
sowie die geschwindigkeit in dem Punkt:
v1=30290m/s
und Richtung -> 90° zur Sonne

anfangs geht Feynman von gleichen Zeitabständen aus, also zeichnete ich mit CAD die räumliche Ausdehnung (in kleinerem Maßstab ;-)).
Als Zeitabstand nahm mal 36d an, um in 11 Schritten die gesamte umlaufbahn zu zeichnen, doch das klappte nicht:
Das erste Dreieck sieht also so aus:

die Strecke SA ist als 147 pixel lang
die Strecke AC ist 94.214 Pixel lang und verläuft senkrecht zu SA.
(C ist der Punkt den der Planet nach 36d (~3,1mio sek) mit v1 zurücklegen würde ohne anziehende Wirkung der Sonne.
der Punkt B ist genau mittig zwischen A und C
AB ist also 47,107 Pixel lang
wir haben jetzt das Dreieck SAB.
die Sonne wirkt jetzt entlang SB mit der Kraft F=G*M*m/r1²
M = Sonnenmasse
m = Erdmasse
G = Gravit.Konst.

Um nun von der Kraft auf die Wegänderung zu kommen habe ich
F=m*a --> F/m = a --> F*t/m=v --> F*t²/m = s --> s=G*M*m*t²/r1²
dieses t hier ist halb so groß wie das t von oben, also nur 18d (1,5Mio sek).
Wenn ich damit jetzt den Zurückgelegten Weg auf der Strecke SB einzeichne, und anschliessend nach C parallelverschiebe dann erhalte ich den Ort des Planeten nach 36d mit anziehender Wirkung.

Wenn ich dies so Zeichne komme ich leider nicht auf die Maße die die Ellipse der Erde besitzt, also wo liegt mein Fehler?

Ich hoffe ihr seit halbwegs im Bilde, einfacher ist es bestimmt wenn ihr die Abbildungen aus dem Buch kennt oder die aus Newtons Principia Mathematica da Feynman die selben verwendet hat.

Ich habs auch schon mit dem Orts und Geschwindigkeitsdiagramm versucht wie Feynman später in dem Buch beschreibt doch auch damit komme ich nicht zurecht :-(

hoffende Grüße, Wiz

Wizard of War · Gast

Ich habe hier mal das das Bild angehängt:

http://www.fh-merseburg.de/~skanzler/feynman1.jpg

Wizard of War · Anmeldungsdatum: 30.10.2004 Beiträge: 3

So hab mich endlich registriert in der Formel oben war noch ne Masse zu viel drinne:
F=m*a --> F/m = a --> F*t/m=v --> F*t²/m = s --> s=G*M*t²/r1²

So ists meine Formel ;-)

EDIT:
Ich hab ne ungereimtheit gefunden:
Das r womit ich die Kraft berechne, welches r nehm ich denn dann?
Sobald sich der Planet aus seiner ursprünglichen position wegbewegt hat kenne ich ja seine wahre Entfernung zur Sonne nicht mehr, denn die will ich mit der Kraftformel berechnen und für die brauch ich die Entfernung.

Wer kann mir aus diesem Dilemma helfen?

Speedy · Anmeldungsdatum: 29.09.2004 Beiträge: 91

Ich kenne mich da nicht wirklich aus, und verstehe auch nur wenig von dem was du bisher geschrieben hast, aber gibt es da nicht auch die Keplerschen gesetzte, mit denen man das berechnen kann?

Bruce · Anmeldungsdatum: 20.07.2004 Beiträge: 537

Für den Fall, daß ein Verfahren gesucht wird, mit dem die Bahn einer
Masse m im Schwerefeld einer sehr viel größeren Masse M aus einem
Geschwindigkeitsvektor v0 und einem Abstabd r0 berechnet werden kann,
habe ich etwas zur Löung anzubieten.

Betrachte die Skizze unten. Im Ursprung der beiden Koordinatensysteme
befindet sich die Zentralmasse M und auf der x-Achse im Abstand r0
von M bewegt sich die Masse m mit dem Geschwindigkeitsvektor v0.
Gezeichnet ist eine Ellipse, in deren einen Brennpunkt sich die Masse
M befindet und die die Bahn der Masse m im Schwerefeld von M darstellt.

Bekannt ist die Polardarstellung

der Bahnen im Gravitaitonsfeld von M. Hier gilt:

L ist der konstante Drehimpuls der Masse m bezogen auf M und E ist die
ebenfalls konstante Gesamtenergie von m, d.h. die Summe aus potentieller
und kinetischer Energie.

Die Bahnparameter p und epsilon können aus den Eingangsdaten r0 und v0
sofort berechnet werden. Für eine korrekte Skizze der Bahn muß auch der
Winkel phi_0 berechnet werden. Dieser gibt an, wieweit die große Halb-
achse der Ellipse gegen die x-Achse verdreht ist.

Für diesen Winkel gilt

wobei das + Zeichen gilt, wenn die radiale Komponente vr der Anfangsgeschwindigkeit
v0 negativ ist, d.h. wenn die Masse m sich zu Beginn der Zentralmasse M nähert und das
- Zeichen, wenn sich m zu Beginn von M entfernt.

Die Parameter der Bahn können aus dem Verhältnis sigma der kine-
tischen zur potentiellen Energie, dem Winkel alpha sowie dem Abstand
r0 berechnet werden. Zur Vereinfachung wird der Bahnparameter p als
Vielfaches rho von r0 angegeben. Mit

gilt:

Im skizzierten kartesischen Koordinatensystem mit den Achsen x und y
ist die Bahn schließlich gegeben durch:

Gruß von Bruce

Wizard of War · Anmeldungsdatum: 30.10.2004 Beiträge: 3

Vielen Dank für diese umfangreiche Antwort, ich habs bisher nur überflogen aber ich glaube ich versuche in eine andere Richtung zu gehen.

Alle diese Formeln gehen davon aus, dass sich die Planeten auf Ellipsen bewegen, und mittels Punkten auf der Ellipse wird die Bahn festgelegt.

Mein Versuch ist es die Bahn Stück für Stück zu berechnen, ohne zu wissen dass es eine Ellipse ist.
Somit will ich wenn es mit der Sonne funzt dann auch andere Schwerefelder hinzufügen (Jupiter o.ä.).

Leider habe ich bisher immer noch das Problem, daß es nicht klappt.
Ich weiss nicht wie Newton oder Feynman das gemacht haben doch bei mir klappt es nicht:

Ich bekomme in einem Fall eine Spirale in Sonne heraus in einem Fall eine Kreisbahn und einmal etwas total komisches.
Leider ist das ganze schwer zu erklären man müsste es sehen.
Ich werde morgen mal meinen Algorithmus und das entstandene Bild posten, vielleicht wirds dann klarer...

dachdecker2

Dein Hauptproblem ist die große Zeitschrittweite. Ich hatte mal das Sonnensystem simuliert (die neunplaneten und den Mond). Dabei hatte ich eine Zeitschrittweite im ein- bis zweistelligen Sekundenbereich.

Die neuen Positionen hab ich mit dem Runge-Kutta-Verfahren errechnet. Das ist zwar aufwendiger als die einfache Variante nach Newton, ist bei gleicher Schrittweite aber deutlich genauer.

Leider ist mir das Prog abhanden gekommen, sonst hätt ich schonmal die Lagrange-Punkte ausprobiert...

Bruce · Anmeldungsdatum: 20.07.2004 Beiträge: 537

@Wizard of War

Die Formeln gelten für alle möglichen Bahnformen, also für Ellipse, Kreis,
Parabel und Hyperbel!!

Die Ellipse in der noch nicht zu sehenden Skizze ist nur ein Beispiel. Der
Typ der Bahn hängt vom Parameter sigma ab. Bei der Implementierung
muß man natürlich beachten, daß für die Hyperbel die Nenner in den
Ausdrücken für x/r0 und y/r0 positiv bleiben.

Falls Du meherere Schwerezentren berücksichtigen willst, kannst Du
mit meinen Formeln nichts mehr anfangen. Dir ist nicht bekannt, daß man
für derartige Probleme Bewegungsgleichungen aufstellt und diese dann
numerisch integriert ?

Vergiss mal vorübergehend das Buch von Feynman und lese besser
eine richtige Einführung in die Mechanik (z.B. Berkley Physik-Kurs,
Band 1 Mechanik, Vieweg-Verlag). Dann weißt Du bald wo es langgeht!

Gruß von Bruce

Wizard of War · Anmeldungsdatum: 30.10.2004 Beiträge: 3

@Bruce
Ohja, Bewegungsgleichungen.
Ich erinnere mich glaubich das das ein paar spaßige Differentialgleichgungen sind, und für nen allgemeines Dreikörperproblem nicht zufriedenstellend lösbar.
Nur für bestimmte einschränkungen ist das dreikörperproblem bisher lösbar.
Deshalb versuche ich ja einen anderen Weg.

@Dachdecker
Wie kann man denn so ein Programm verlieren? awwwwwwww ;-)

Zeitschrittweite..., ja im Moment verwende ich Zeitschritte von entweder 1h oder 1d wobei sich die Bahnform nicht signifikant ändert.
Von Runge Kutta hab ich schonmal gehört werde mal danach Googlen.

Ich befürchte es liegt an der Geschwindigkeitsänderung, und das die nicht ausreichend berücksichtigt wird in meiner jetzigen Variante, habe nur zu wenig Zeit drüber zu grübeln :-(

@beide,
Danke nochmal für eure Antworten!