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Physics1997
Gast
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 Physics1997 Verfasst am: 13. Jun 2019 16:14 Titel: Vektorpotential bei gegebener Stromdichte berechnen |
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Meine Frage:
Hallo,
Ich rechne zurzeit zur Klausurvorbereitung ein paar Aufgaben in einem Buch (Nolting) zur Elektrodynamik. An der folgenden Aufgabe sitze ich nun schon eine Weile, da ich einige essenzielle Dinge nicht verstehe. Ich bin übrigens noch am Anfang der Klausurvorbereitung, weshalb einige Fragen möglicherweise trivial erscheinen.
Zur Aufgabe:
Berechnen Sie das Vektorpotential A(r) und die magnetische Induktion B(r) einer kreisförmigen Leiterschleife (Stromfaden). Die Stromdichte lautet in Zylinderkooridnaten ($ \rho, \phi$,z): j(r) = I $\delta(\rho - R) \delta (z) e_{\phi}$. Die Berechnung von A(r) führt auf ein elliptisches Integral, das nicht elementar gelöst werden kann. Schätzen Sie dieses für die Grenze $\rho << R$ Und $\rho >> R$ Mithilfe passender Taylorentwicklungen ab. Zeigen Sie, dass sich für $ \rho >> R$ Ein Dipolfeld ergibt. Geben Sie das entsprechende magnetische Dipolmoment an.
Vielen Dank im Voraus! :)
Meine Ideen:
Zur Lösung:
1. Für den Einheitsvektor gilt: $e_{\phi}$=$(-sin \phi , cos \phi, 0)$. In der Lösung steht, dass es reicht, die y-Komponente des Vektorpotentials zu betrachten. An dieser Stelle verstehe ich nicht, warum das ausreichend ist.
Es wird deshalb $\phi$=0 gesetzt. Dann folgt:
$A_{y} = \frac{\mu_{0}}{2 \pi} \cdot \int d^{3}r? \frac{I \delta( \rho? - R) \delta (z?) cos \phi?}{|r-r?|}$.
2. Es gilt in Zylinderkoordinaten für $\phi = 0$: r = $(\rho,0,z)$ und $r?=(Rcos \phi?, Rsin \phi?, 0)$. Meine Frage hierzu ist: Warum ist z?=0? Darf ich das willkürlich festlegen bzw. mein Koordinatensystem einfach so legen, dass es passt oder hat das einen speziellen nd, warum es Null sein muss?
3. Das Ganze wird dann in A eingesetzt und umgeformt. Dann wird die Abschätzung vorgenommen. In A haben wir einen Term $\frac{1}{\sqrt(R^2 + \rho^2 -2 \rho R cos \phi? +z^2)}$. Dieser wird dann erweitert mit $\frac{\sqrt(R^2+z^2)}{\sqrt(R^2+z^2)}$ und umgeformt, sodass gilt: $$ \frac{1}{\sqrt(R^^2+z^2)} \cdot (1+ \frac{\rho^2 -2 \rho R cos \phi?}{R^2+z^2})^{-1/2} $$. Dies wird dann abgeschätzt durch $\frac{1}{\sqrt(R^2+z^2)} \cdot (1-\frac{\rho^2 - 2 \rho R cos \phi?}{2(R^2+z^2)})$. Und genau diese Abschätzung verstehe ich nicht. Wie ist sie zustande gekommen ?
Mein Ansatz wäre es an dieser Stelle gewesen, eine Taylorentwicklung durchzuführen (wie es auch in der Aufgabe steht), aber ich erhalte etwas anderes dafür. |
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isi1
Anmeldungsdatum: 03.09.2006
Beiträge: 2902
Wohnort: München
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| isi1 Verfasst am: 14. Jun 2019 09:14 Titel: |
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Es scheint mir, Du solltest Deine Formeldarstellung überabeiten, oder?
_________________
Grüße aus München, isi •≡≈ ¹₁₂½√∠∞±∫αβγδεηκλπρσφω ΔΣΦΩ |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5873
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| Myon Verfasst am: 14. Jun 2019 13:06 Titel: |
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| Physics1997 hat Folgendes geschrieben: |
1. Für den Einheitsvektor gilt: ) . In der Lösung steht, dass es reicht, die y-Komponente des Vektorpotentials zu betrachten. An dieser Stelle verstehe ich nicht, warum das ausreichend ist. |
Es wird ja gesagt, dass ) die Form
=A(\rho,z)\vec{e}_\varphi
<br />
)
haben muss. Dies folgt aus
=\frac{\mu_0}{4\pi}\int\limits_\mathrm{Leiter}\frac{\vec{j}(\vec{r}')}{|\vec{r}-\vec{r}'|}\,dV')
und der Symmetrie von ) . (Dass  keine z-Komponente hat, ist klar. Dass auch die radiale Komponente = 0 sein muss, liegt daran, dass sich an jedem Punkt die radialen Beiträge beim Integrieren über den Kreis wegheben. Evtl. Skizze machen).
Wenn man nun =A(\rho,z)\cos\varphi) berechnet hat, dann hat man auch ) und damit .
| Zitat: | Es wird deshalb  =0 gesetzt. Dann folgt:
 \delta (z') cos \phi'}{|r-r'|}) |
Hier ist im Buch m.E. ein kleiner Fehler. Dies ist nicht  , sondern . (Und vor dem Integral steht im Nenner  statt  ).
| Zitat: | | 2. Es gilt in Zylinderkoordinaten (...) Meine Frage hierzu ist: Warum ist z'=0? Darf ich das willkürlich festlegen bzw. mein Koordinatensystem einfach so legen, dass es passt oder hat das einen speziellen nd, warum es Null sein muss? |
Dies folgt aus den Delta-Funktionen in . Beim Integrieren wird  für  und  ausgewertet.
| Zitat: | | 3. Das Ganze wird dann in A eingesetzt und umgeformt. Dann wird die Abschätzung vorgenommen. (...) Und genau diese Abschätzung verstehe ich nicht. Wie ist sie zustande gekommen ? |
Für  ist
und somit
^{-\frac{1}{2}}\approx 1-\frac{\rho^2-2\rho R\cos\varphi'}{2(R^2+z^2)}) ,
vgl. wenn =(1+x)^{-\frac{1}{2}})
dann ist für |x|<<1
\approx f(0)+\frac{\partial f(0)}{\partial x}x=1-\frac{1}{2}x) |
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