Bernoulli-Gleichung

asoaso · Anmeldungsdatum: 12.07.2015 Beiträge: 10

Hey,

Gegegeben ist ein zylinderförmiger Behälter der Grundfläche a , der bis zu einer bestimmten Höhe mit Wasser gefüllt ist. Der Zylinder hat ein Loch der Fläche A an der Seite, aus dem das Wasser ausströmt. Gesucht ist eine Funktion der Höhe des Wasserstands nach der Zeit.

Mein Ansatz:
Nach der Bernoulli-Gleichung ist die Geschwindigkeit des ausfließenden Wassers
v = \sqrt{2*g*h(t)}
Das Volumen des ausfließenden Wassers ist:
V = A * v(t) *t

Die Höhe des Wasserstands ist dann:
h(t) = \frac{V0 - A*v(t)*t}a

Jetzt ist aber v(t) von der Höhe abhängig, sodass ich dann eine Funktion hab, die von sich selber abhängig ist. Ich ahne, dass das Ganze auf eine Differentialgleichung hinauslaufen soll, aber bei einer Differentialgleichung hat man ja eigentlich die Ableitung der Funktion mit drin. Ich weiß jetzt nicht ob schon mein Ansatz falsch ist. Und falls mein Ansatz richtig ist, weiß ich trotzdem nicht, wie ich auf die Funktion für h(t) kommen soll.
Würde mich sehr über Hilfe freuen.

Viele Grüße

moody_ds · Anmeldungsdatum: 29.01.2016 Beiträge: 515

Etwas ubernachtigt und gerade am Handy, daher habe ich deine bisherige Rechnung nicht nachvollzogen. Hilft dir die Informationen dass die Änderung der Höhe nach der Zeit die Geschwindigkeit ist? Damit erhälst du die Ableitung die du vermisst Augenzwinkern

Mathefix · Anmeldungsdatum: 05.08.2015 Beiträge: 5881 Wohnort: jwd

A = Fläche der Öffnung
a = Fläche des Zylinders
y = Momentane Höhe des Wasserspiegels über Unterkante A.

Wenn A klein und A << a, näherungsweise

Kontinuitätsgleichung

asoaso · Anmeldungsdatum: 12.07.2015 Beiträge: 10

Vielen Dank schon mal an euch beide, ihr habt mir sehr geholfen ! Jetzt bin ich mir aber leider nicht sicher, ob ich diese Differentialgleichung richtig gelöst habe (Wir hatten noch keine diff-gleichungen in der Vorlesung). Ich hätte jetzt gesagt ich versuch es durch Seperation der Variablen

Dann komme ich auf:
(A/a) *dt = 1/(wurzel(2*g*y))*dy

Ich integriere auf beiden Seiten (aber ich welchen Grenzen ? ), stelle nach y um und erhalte:
y(t) = (1/2)*(A/a)^2 *g *t^2

Nach dieser Gleichung würde der Wasserpegel aber von 0 auf ansteigen. Die Gleichung müsste ja von der Form
y(t) = y(0) - ....sein.

Kann ich einfach annehmen, dass mein y(t) die Funktion für das Absinken des Wasserpegels ist, und ich somit als Ergebnis habe:

y(t) = y(0) - (1/2)*(A/a)^2 *g *t^2

Sorry dass ich das Ganze in dieser Form aufschreibe, aber der Formeleditor funktioniert grad irgendwie nicht.

Danke schon mal für Eure Hilfe

Mathefix · Anmeldungsdatum: 05.08.2015 Beiträge: 5881 Wohnort: jwd

1. Vorzeichen beachten

Bezogen auf die Bohrung:

fliesst ab,

fliesst zu

2. Integrationskonstante C fehlt

Wert aus Anfangsbedingung t = 0 ermitteln.

Hinweis:

Dies ist die Herleitung nach Torricelli: Massenerhalt, Kontinuitätsgleichung.

Der Ansatz von Bernoulli ist Energieerhalt:

Mit

und

erhält man für Ausflussgeschwindigkeit die schöne DGL

Daraus erhält man die Torricelli-Gleichung, wenn man bei a >> A

setzt.

asoaso · Anmeldungsdatum: 12.07.2015 Beiträge: 10

Ok, also wenn ich das Vorzeichen beachte, dann komm ich auf

-a*(dy/dt) = 1/(wurzel(2gy)

Variablen trennen, integrieren und nach y umstellen komme ich auf:
y = -(1/2)*(A/a)^2*g*t^2 + c

Wenn ich annehme, dass der Behälter zu Beginn voll war, hab ich die Anfangsbedingung: y(0) = y0
Damit komm ich auf c = y0
Und damit auf die Gleichung:
y(t) = y0 - (1/2) * (A/a)^2 * g * t^2

Kann das stimmen ? Würde nach dieser Gleichung das Wasser nicht gegen Ende immer schneller ausströmen ?
Hab ich irgendwo einen Fehler gemacht ?
Danke schonmal

Mathefix · Anmeldungsdatum: 05.08.2015 Beiträge: 5881 Wohnort: jwd

asoaso · Anmeldungsdatum: 12.07.2015 Beiträge: 10

Oh da hab ich mich wohl verrechnet gehabt. Dieses Ergebnis macht jetzt mehr Sinn. Vielen Dank !