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Agnodice
Anmeldungsdatum: 16.03.2007
Beiträge: 37
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 Agnodice Verfasst am: 27. März 2007 19:10 Titel: Bernoulli-Gleichung |
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Hallo,
hätte da einige Fragen zur Hydrodynamik:
Es existieren ja zwei Formen der Bernoulli-Gleichung:
1.) Zunächst hätte ich da ein kleines mathematisches Problem:
 (Gl.1)
-(p_2 -p_1) &=& \frac{1}{2}\varrho (v_2^2-v_1^2))
 (Gl.2)
Über die mittlere Gleichung gelangt man also quasi in die zwei Formen der Bernoulli-Gleichung. Das Problem ist nur, ich verstehe diese Äquivalenzumformung nicht! Die Frage ist mir jetzt ziemlich peinlich, aber warum steht denn bei Gl. 2 rechts vom Gleichheitszeichen =konstant und keine Null? Physikalisch gesehen wäre es den linken Term gleich Null zu setzen eigentlich falsch, da sich ja die Drücke (Summe aus hydrostat. Druck, Staudruck und Schweredruck) nicht gegenseitig aufheben können, oder nicht ? Bin irgendwie durcheinander
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sqrt(2)
Anmeldungsdatum: 16.03.2007
Beiträge: 35
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| sqrt(2) Verfasst am: 27. März 2007 20:31 Titel: |
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Sieh es so: Du hast einen Bezugspunkt mit dem Zustand ) und zeigst, dass an einem beliebigen anderen Punkt mit dem Zustand ) gilt
 .
Also ist in jedem beliebigen anderen Punkt der Ausdruck auf der linken Seite konstant (dem auf der rechten), also gilt für alle Zustände ) in diesem Fluid
 .
Anders kann man es ja auch so sehen: Du multiplizierst die Bernoulligleichung einfach mal mit dem Volumen V (das ja bei Inkompressibilität gleichbleibt) und erhältst
 ,
was dir ja sehr bekannt vorkommen sollte...  |
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Agnodice
Anmeldungsdatum: 16.03.2007
Beiträge: 37
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| Agnodice Verfasst am: 28. März 2007 14:08 Titel: |
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Danke für die Antwort, aber irgendwie verstehe ich das noch nicht ganz...
Ok, deine letzte Gleichung zeigt, dass die Energie im System konstant bleibt, d.h. damit auch, dass die Summe der Drücke auch konstant bleibt. Das zeigt mir, dass hinter das Gleichheitszeichen ein const. hingehört, was ich ja eigentlich nachvollziehen kann, nur erklärt das nicht unbedingt diese Äquivalenzumformung, oder ich verstehe es einfach nicht. Ich vereinfache das mal: für mich wäre  = c) gleich  Wieso ist das hier nicht entsprechend?
Tut mir wirklich leid, aber ich scheine grad auf dem Schlauch zu stehen.... |
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sqrt(2)
Anmeldungsdatum: 16.03.2007
Beiträge: 35
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| sqrt(2) Verfasst am: 28. März 2007 16:04 Titel: |
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 ist aber nicht nicht  . Es ist wie  und  ein Zustand an einem Punkt. An einem beliebigen eben.
Noch einmal das Vorgehen: Man zeigt, dass an einem beliebigen Punkt ein Zustand gleich dem Zustand an einem bestimmten Punkt ist. Damit ist dieser Zustand für alle Punkte konstant. |
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Agnodice
Anmeldungsdatum: 16.03.2007
Beiträge: 37
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| Agnodice Verfasst am: 28. März 2007 18:24 Titel: |
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Wenn aber  nicht gleich  ist,  nicht gleich  und  nicht gleich  ist, dann ist das, was ich in meinem ersten Beitrag gepostet habe, ja keine Äquivalenzumformung!
Die zwei Gleichungen (Gl. 1 und Gl.2) sind mir einzeln für sich genommen klar und ich verstehe auch die Physik dahinter (glaube ich zumindest)-- es geht mir jetzt eigentlich nur um diese mathematische Äquivalenzumformung... |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 28. März 2007 18:37 Titel: |
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Hm, hilft es dir, dass Gl. 1 und Gl. 2 nicht auseinander durch mathematische Umformungen hervorgehen, sondern dass diese beiden Gleichungen nur zwei verschiedene Schreibweisen für genau dieselbe Sache sind?
Gleichung Gl. 2 sagt ja, wenn man p, v und y nimmt und in diese Gleichung einsetzt, dann bekommt man "vorher" und "nachher" (zum Beispiel vor und nach einer Rohrverengung) denselben Wert heraus; das Ergebnis des Termes links in Gl. 2 ist also konstant.
Gleichung Gl. 1 sagt genau dasselbe, nur dass sie konkret p, v und y "vorher" mit dem Index 1 benennt und "nachher" mit dem Index 2. |
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Agnodice
Anmeldungsdatum: 16.03.2007
Beiträge: 37
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| Agnodice Verfasst am: 28. März 2007 19:11 Titel: |
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Das würde mir in der Tat weiterhelfen! -- wenn es das nur wäre (zumindest laut Tipler).
Wie gesagt, ich verstehe schon, dass diese Gleichungen zwei Ausdrücke für ein und dasselbe sind, nur der Tipler gelangt über mathematische Umformungen von einer Gleichung zur andern, wobei er allerdings an einer Stelle plötzlich ohne weitere Erklärung annimmt, was ich mit meiner Vereinfachung (siehe Gl. mit a, b, c) ausgedrückt habe!
Warum um Himmels willen müssen mich Physik-Bücher nur immer so verwirren....
Soll ich dieses Problem jetzt einfach ignorieren oder ist es irgendwie für mein Matheverständnis wichtig? Ich meine, dann hätte ich das schlechte Gefühl auch noch in Mathe zu versagen.... |
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sqrt(2)
Anmeldungsdatum: 16.03.2007
Beiträge: 35
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| sqrt(2) Verfasst am: 28. März 2007 19:28 Titel: |
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Ich habe dir schon gesagt, wie das mathematisch zu verstehen ist:
| sqrt(2) hat Folgendes geschrieben: | | Man zeigt, dass an einem beliebigen Punkt ein Zustand gleich dem Zustand an einem bestimmten Punkt ist. Damit ist dieser Zustand für alle Punkte konstant. |
Formal ist das schlicht und einfach eine Umbenennung. (Schreib's dir mal in einem prädikatenlogischen Ausdruck hin.)
Mehr ist nicht dahinter. Du erwartest da eine "mathematische Umformung", die einfach nicht gemacht wird. Ich bin eher Demtröder- als Tipler-Fan und kann deshalb ohne zur Uni zu laufen nicht nachlesen, wie es da im Tipler steht. Ich vermute aber, du missverstehst einfach die dortige Formulierung. |
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Agnodice
Anmeldungsdatum: 16.03.2007
Beiträge: 37
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| Agnodice Verfasst am: 28. März 2007 19:59 Titel: |
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Oh je, wenn ich deine Formulierungen nicht verstehe, brauchst du das doch nicht als Beleidigung aufzufassen! Ich bin dir sehr dankbar für deine Hilfe!
Um eines aber mal klarzustellen: Ich studiere KEIN Physik und bereite mich nur für mein mündliches Vordiplom Physik in einem Nebenfach vor. Daher kenne ich auch keinen Demtröder oder wie auch immer, daher ist mir der Gehrtsen ein Buch mit sieben Siegeln und daher weiß ich auch nicht was du mit "prädikatenlogischen Ausdruck" meinst...
Also dann, morgen poste ich mal, welche Stelle genau ich im Tipler nicht verstehe, und wenn du Lust hast, kannst du mir ja dabei helfen! Wäre dir, wie gesagt, super dankbar für:-)
Heute aber habe ich einfach keinen Nerv mehr für Physik..... |
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Agnodice
Anmeldungsdatum: 16.03.2007
Beiträge: 37
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| Agnodice Verfasst am: 29. März 2007 12:56 Titel: |
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Also, habe die Schuld fälschlicherweise dem Tipler in die Schuhe geschoben, dabei wars ein anderes Buch: Ein kleiner Ausschnitt aus dem Halliday:
"Die Energieerhaltung in der Form  lautet:  . Setzen wir die Ergebnisse aus den Gln..... ein, so folgt: -(p_2 -p_1) &=& \frac{1}{2}\varrho (v_2^2-v_1^2)) . Nach einer einfachen Umformung entsricht dies der Gl. , die wir beweisen wollten."
Tja, und dieser Ausdruck "nach einer einfachen Umformung" hat mich eben verwirrt. Versteht ihr jetzt, was ich meine?
Naja, was auch immer der Halliday mit der einfachen Umformung gemeint hat, ich nehms jetzt einfach als zwei verschiedene Schreibweisen oder meinetwegen Umbenennung hin. Um darüber noch lang zu philosophieren, hab ich leider keine Zeit mehr....
Aber danke für eure Hilfe |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 29. März 2007 13:23 Titel: |
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Ich finde, damit löst sich das in Wohlgefallen auf
Die einfache Umformung ist hier konkret: Man multipliziert die Klammern aus und addiert auf beiden Seiten der Gleichung  Dann bekommt man:
Damit hat der Halliday die letzte Gleichung aus dem Energieerhaltungssatz hergeleitet.
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| sqrt(2) hat Folgendes geschrieben: | Ich habe dir schon gesagt, wie das mathematisch zu verstehen ist:
| sqrt(2) hat Folgendes geschrieben: | | Man zeigt, dass an einem beliebigen Punkt ein Zustand gleich dem Zustand an einem bestimmten Punkt ist. Damit ist dieser Zustand für alle Punkte konstant. |
Formal ist das schlicht und einfach eine Umbenennung. (Schreib's dir mal in einem prädikatenlogischen Ausdruck hin.)
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@Agnodice: Ich habe den Eindruck, diese Formulierungen von sqrt(2) sind einfach nur ziemlich mathematisch geraten 
Das Wort "prädikatenlogisch" stammt aus der Mathematik, genauergesagt aus der Logik; ich habe es bisher in der Physik noch nie benötigt.
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Falls es doch interessiert: Beim Nachschlagen finde ich in:
http://www.uni-muenster.de/imperia/md/content/philosophischesseminar/mitglieder/huettemann/materialien/10.vorlesung_netz.pdf
| Zitat: | Ähnlich wie in der Aussagenlogik interessieren wir uns in der Prädikatenlogik in der Regel jedoch nicht für den Sinn einer Aussage bzw. die Bedeutungen von Prädikaten und Namen. Es kommt uns auf die logische Form (d.h. auf diejenige Komponente einer Aussage, die für die Korrektheit eines Schlusses, in die die Aussage eingeht, relevant sind) und ihre Wahrheitsdefinitheit an.
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Ich würde das vielleicht so versuchen zu umreißen: Betrachtet man einen Satz oder einen mathematischen Ausdruck vom Standpunkt der Prädikatenlogik, dann konzentriert man sich also nicht auf den Sinn der einzelnen Substantive oder der einzelnen Variablen, sondern einfach nur erst mal auf die Struktur des Satzes oder des Ausdrucks.
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@sqrt(2):
Wenn du oben von "mathematischen" Formulierungen sprichst, dann möchte ich (weil ich den Eindruck habe, dass mathematische Formulierungen meist sehr exakt und wortwörtlich gemeint sind) nicht verschweigen, dass ich an zwei Stellen in
| sqrt(2) hat Folgendes geschrieben: | | Man zeigt, dass an einem beliebigen Punkt ein Zustand gleich dem Zustand an einem bestimmten Punkt ist. Damit ist dieser Zustand für alle Punkte konstant. |
mit der Wortwahl nicht einverstanden bin.
Es geht hier nicht wirklich um Punkte, sondern eher um Stellen (also zum Beispiel einen Ort, der die gesamte Querschnittsfläche eines durchströmten Rohres vor einer Verengung bezeichnet),
und deine Aussage gilt nicht für komplette Zustände (Damit ein Zustand konstant bliebe, müssten alle Größen, die ihn beschreiben, also zum Beispiel auch die Strömungsgeschwindigkeit, konstant bleiben), sondern für Größen wie hier die Größe  , die konstant bleibt. |
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sqrt(2)
Anmeldungsdatum: 16.03.2007
Beiträge: 35
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| sqrt(2) Verfasst am: 29. März 2007 14:10 Titel: |
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Ich war mit der Wortwahl selbst nicht ganz zufrieden, du hast schon Recht. |
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Agnodice
Anmeldungsdatum: 16.03.2007
Beiträge: 37
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| Agnodice Verfasst am: 30. März 2007 15:35 Titel: |
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Oh Gott, wie furchtbar peinlich! Jetzt hatte ich den ganzen Beweis im Halliday verstanden und dann weiß ich plötzlich nicht mehr, was mit dieser kleinen Umformung gemeint ist...peinlich, peinlich... Ich danke euch auf jeden Fall für eure Geduld:-)
Jetzt will ichs aber doch noch wissen: ist denn dann die Umformung von meiner mittleren Gleichung zu Gl. 2 (also meine ursprüngliche Frage) auch so einfach? |
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sqrt(2)
Anmeldungsdatum: 16.03.2007
Beiträge: 35
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| sqrt(2) Verfasst am: 30. März 2007 16:39 Titel: |
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Man würde die mittlere Gleichung wieder in Gleichung 1 umformen, von der man wie schon beschrieben auf Gleichung 2 käme. Die mittlere Gleichung selbst hat in dieser Form nich viel physikalischen Aussagewert. |
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