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Addi
Anmeldungsdatum: 23.03.2017
Beiträge: 18
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 Addi Verfasst am: 12. Jan 2019 20:06 Titel: Kugelkondensator, Flächenladungsdichte, Feldstärke |
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Meine Frage:
Hallo zusammen,
Ich bräuchte paar Denkanstöße, vielleicht auch ein bisschen Hilfe bei etwaigen Verständnislücken zum oben genannten Thema. Die folgende Aufgabe ist eine aktuelle, zum 14.01.19 zu lösende Aufgabe, bei der ich unbedingt volle Punktzahl erreichen möchte 
Die Aufgabe lautet:
"In einem Kugelkondensator sei die innere Kugel mit dem Radius  mit der positiven Flächenladungsdichte
 und die äußere Kugel mit der negativen Flächenladungsdichte
Nachträglich korrigiert...
belegt.
(a) Bestimmen Sie die elektrische Feldstärke  als Funktion von r für die drei Fälle 1) innen 2) dazwischen 3) außen.
(b) Brechnen Sie das elektrische Potential  ) unter der Bedingung, dass es im Unendlichen verschwindet und bestimmen Sie die am Kondensator angelegte Spannung.
(c) Wie groß ist die Kapazität des Kugelkondensators?
(d) Berechnen Sie die Energie der elektrischen Feldstärke, die im Kugelkondensator gespeichert ist.
Vor Allem ist die Aufgabe (a) am wichtigsten, da ja meiner Meinung nach die anderen Aufgaben vom richtigen Feld abhängen.
Meine Ideen:
(a)
\quad? \qquad \mathrm{f\ddot{u}r} & 0\quad \leq r<R_{1} \\ 2)\quad? \qquad \mathrm{f\ddot{u}r} & R_{1}\,\leq r<R_{2} \\ 3)\quad? \qquad \mathrm{f\ddot{u}r} & R_{2}\,<r\leq \infty \end{cases})
Gaußschen Satz:
Den ich nach dem Integrieren nach E umstellen würde.
 \cdot \dd\vec{V} )
\,\dd\theta \,\dd\phi \,\dd r \,\,\, \mathrm{und} \,\,\, \dd V=r^2\cdot sin(\theta)\,\dd\theta \,\dd\phi \,\dd r )
\cdot r^2\cdot sin(\theta)\, \cdot \dd\theta \,\dd\phi \,\dd r = \frac{1}{\epsilon_{0}}\cdot \int_{0}^\infty \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^\pi \! \rho(\vec{r}) \cdot r^2\cdot sin(\theta) \cdot \dd\theta \,\dd\phi \,\dd r )
Natürlich ist die Ladungsdichte für innen und außen Null, was auch das E-Feld in den Bereichen Null werden lässt, aber wie sieht es dazwischen aus.
| = \begin{cases} 1)\quad0 \qquad \mathrm{f\ddot{u}r} & 0\quad \leq r<R_{1} \\ 2)\quad? \qquad \mathrm{f\ddot{u}r} & R_{1}\,\leq r<R_{2} \\ 3)\quad0 \qquad \mathrm{f\ddot{u}r} & R_{2}\,<r\leq \infty \end{cases})
Wie bekomme ich die Ladungsdichte aus den Flächenladungsdichten heraus?
Ich weiß, dass
 = \frac{Q}{4\cdot\pi\cdot\ R_{1}^{2}}\cdot\delta(r-R_{1})-\frac{Q}{4\cdot\pi\cdot\ R_{2}^{2}}\cdot\delta(r-R_{2}) )
brechnet wird, was mach ich aber mit der Delta-Funktion beim Integrieren im R^3? Ich komme da nicht weiter!!!
Wenn es geht, so ausführlich wie möglich die Umwandlungen und Rechnungen darstellen. Wenn ich etwas lückenlos nachvollziehen kann ist es immer am Besten für mich. Wahrscheinlich sind meine Lösungen deswegen immer so umständlich.
Bitte um Hilfe!
(b)
Um das elektrische Potential zu erhalten, muss ich doch einfach nur das negative totale Integral vom (in (a) ausgerechneten) elektrischen Feld über den Radius integrieren oder? Hoffentlich schreibe ich fachlich korrekt.
Also
Nachträglich korrigiert...
=-\oint_{\infty}^r \! E(r) \cdot \dd r = \begin{cases} 1)\,\,\, -\oint_{R_{1}}^r \! E(r) \cdot \dd r = 0 \qquad \mathrm{f\ddot{u}r} & 0\quad \leq r<R_{1} \\ 2) \,\,\, -\oint_{R_{2}}^r \! E(r) \cdot \dd r \qquad \qquad \mathrm{f\ddot{u}r} & R_{1}\,\leq r<R_{2} \\ 3) \,\,\, -\oint_{\infty}^r \! E(r) \cdot \dd r =0 \qquad \, \mathrm{f\ddot{u}r} & R_{2}\,<r\leq \infty \end{cases})
(c)
Erst die Spannung über die Potentiale berechnen, also
 - \phi(R_{2}) ) mit
 = 0) also
) mit
(d)
Für diese Aufgabe habe ich noch keine Ideen. Wahrscheinlich aber über die Arbeit.
Puh ist das anstrengend mit Latex alles trotzdem gut lesbar zu schreiben. ^^
Für mögliche Fehler entschuldige ich mich jetzt schonmal.
Ich hoffe es ist nicht zu viel und zu unübersichtlich, sodass mir keiner helfen kann! Falls mir jemand helfen kann, weiß ich gar nicht wie sehr ich demjenigen danken kann!!!
Trotzdem schonmal vielen Dank im Voraus!
Zuletzt bearbeitet von Addi am 13. Jan 2019 18:07, insgesamt einmal bearbeitet |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5870
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| Myon Verfasst am: 13. Jan 2019 15:10 Titel: |
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Mal zu a): Es ist klar, dass die Anordnung kugelsymmetrisch ist und ) sowie ) Radialfelder sind. Das ganze Rechnen mit Kugelkoordinaten und delta-Funktionen ist nicht nötig, denn die Ladungen der beiden Kugeln sind einfach Q bzw. -Q (ich nehme an, dass hier bei der Angabe oben nur die Indizes falsch sind).
Wie Du schreibst, ist ebenso klar, dass aus dem Gaussschen Gesetz sofort folgt, dass das E-Feld ausserhalb der äusseren Kugel und innerhalb der inneren Kugel =0 ist, da bei Bildung einer Kugel um den Ursprung in diesen Bereichen die enthaltene Ladung gleich null ist.
Für das Feld zwischen den Kugeln ist nur die Ladung der inneren Kugel relevant. Wenn
=E(r)\frac{\vec{r}}{r})
so folgt aus dem Gaussschen Gesetz für 
} \vec{E}\cdot d\vec{\sigma}=4\pi r^2E(r)=\frac{Q}{\varepsilon_0})
(K(r)=Kugel um Ursprung mit Radius r) sofort das E-Feld.
Teil b), das Potential, folgt aus a), Integration und der Bedingung, dass  im Unendlichen verschwindet.
Teil c) Die Kapazität des Kondensators ist gleich Q/V, sie folgt also aus b)
Teil d) Für die Energie kann man sich vorstellen, dass man von zwei ungeladenen kugelförmigen Leitern ausgeht und nun jeweils eine Ladung dQ von der inneren auf die äussere Kugel bringt. Dafür muss die Arbeit dW=V*dQ=CV*dV geleistet werden. Durch Integration erhält man die Feldenergie des Kondensators bei einer gewissen Spannung oder Ladung.
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 13. Jan 2019 15:38 Titel: |
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| Myon hat Folgendes geschrieben: | | (ich nehme an, dass hier bei der Angabe oben nur die Indizes falsch sind). |
Bevor wir weiter diskutieren, sollte der Fragesteller diese Annahme erstmal bestätigen, nämlich dass in der Aufgabenstellung eigentlich steht
Denn dann hätte er sich immerhin an zwei Stellen verschrieben (was ich zunächst nicht glauben wollte).
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5870
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| Myon Verfasst am: 13. Jan 2019 16:04 Titel: |
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@GvC: ich denke, hier wurde vielleicht copy-paste gemacht. Aber mal unabhängig davon, am E-Feld zwischen den Kondensatorkugeln würde sich ohnehin nichts ändern.
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Addi
Anmeldungsdatum: 23.03.2017
Beiträge: 18
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| Addi Verfasst am: 13. Jan 2019 16:16 Titel: |
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| Zitat: | | Das ganze Rechnen mit Kugelkoordinaten und delta-Funktionen ist nicht nötig, denn die Ladungen der beiden Kugeln sind einfach Q bzw. -Q. |
Ah perfekt, also wäre die Deltafunktion nur nötig, wenn die Ladungsverteilung auf den Kugeloberflächen (Sphären) nicht konstant ist.
So habe ich es aus deiner Antwort verstanden.
| Zitat: | | (ich nehme an, dass hier bei der Angabe oben nur die Indizes falsch sind) |
Stimmt, die negative Flächenladungsdichte sollte den Indize 2 haben.
Da habe ich mich leider nicht verschrieben, sondern bin beim ganzen Latex schreiben und denken, am kopieren und anpassen gescheitert.
Zudem glaube ich, dass bei den Integralgrenzen für mein Potential Grenzen falsch sind.
| Zitat: | | Denn dann hätte er sich immerhin an zwei Stellen verschrieben (was ich zunächst nicht glauben wollte). |
Habe ich also wirklich :/
| Zitat: | | das Potential, folgt aus a), Integration und der Bedingung, dass im Unendlichen verschwindet. |
Hier habe ich die Grenze wieder berichtigt oder?
 -\int_\infty^r \! E(r) \, \dd r \quad R_{2}<r\leq \infty =0)
Für (c)
Dafür muss ich also das Ergebnis von (b) also das Potential in } ) einsetzen.
(d)
Genau so habe ich es mir dann auch vorgestellt.
Jetzt habe ich den schreibfehler richtig gestellt und man kann weiter diskutieren ^^
Auf jeden Fall eine sehr große Hilfe mit der Delta Funktion, dass die hier eher unwichtig ist.
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Addi
Anmeldungsdatum: 23.03.2017
Beiträge: 18
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| Addi Verfasst am: 13. Jan 2019 20:37 Titel: |
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Ihr seid einfach super!!
Wäre es möglich, dass Ihr noch über meine fertige Lösung schaut. Ich bin eine Null wenn es mathematisch um Richtungen geht und bringe diese regelmäßig durcheinander.
Also Interationsgrenzen und Radius. Denn es kommt mir komisch vor, dass mein Potential und meine Arbeit die selbe Richtung haben.
Vielen vielen Dank an euch !!!!
| Beschreibung: |
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Kugelkondensator, E-Feld, Potential, Kapazität, Energie.pdf |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 14. Jan 2019 03:25 Titel: |
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Das Einzige, was in Deinen Ergebissen richtig ist, ist das Potential.
Die Feldstärke ist eigentlich abhängig von der Variablen r, ist also je nach betrachteter Stelle größer oder kleiner. Bei Dir scheint E aber eine Konstante zu sein. Das ist nicht richtig.
Gerade umgekehrt ist es bei der Spannung, der Kapazität und der gespeicherten Energie. Das sind eigentlich Konstante, bei Dir sind sie aber variabel, abhängig von der Variablen r. Du hast zwar die Integrationsgrenzen richtig gesetzt, im Ergebnis aber nicht berücksichtigt. Außerdem fehlt bei der gespeicherten Energie der Faktor 1/2.
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Addi
Anmeldungsdatum: 23.03.2017
Beiträge: 18
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| Addi Verfasst am: 15. Jan 2019 03:34 Titel: |
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Vielen Dank! Da war ja wirklich nicht viel richtig ^^
Tut mir wirklich leid, dass deine Zeit daran verloren ging.
Nun habe ich einen Lernzettel erstellt. Ich habe versucht nicht zu große Lücken zu lassen und so gehört die 1 Seite eigentlich nicht zur Lösung der Aufgabe dazu.
Ab Seite 2 sind die Aufgaben mit den Lösungen (grün umrandet und beschriftet).
Nur zum Potential habe ich noch Fragen:
Mein Professor meinte, dass das Potential im inneren der inneren Sphäre konstant
 ) ist, wenn es außerhalb der äußeren gegen unendlich gleich Null ist.
Umgekehrt aber, innen Null ist und dadurch dann außen ein Potential existiert.
Wie kann ich mir diese Aussage vorstellen/erklären? Wie lautet dann das Potential außerhalb?
Sofern alles richtig ist und ich die Antworten habe, wäre dieses Thema für mich vollständig geklärt. 
Vielen Dank!! ICH KANN MICH GARNICHT GENUG BEDANKEN BEI EUCH!!!
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 15. Jan 2019 15:45 Titel: |
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| Addi hat Folgendes geschrieben: | ...
Nun habe ich einen Lernzettel erstellt. |
Deine hochgeladene Datei hat keinen Inhalt. Das siehst Du schon, ohne sie zu öffnen, denn ihre Größe wird mit 0 Bytes angegeben.
| Addi hat Folgendes geschrieben: | Mein Professor meinte, dass das Potential im inneren der inneren Sphäre konstant
ist, wenn es außerhalb der äußeren gegen unendlich gleich Null ist.
Umgekehrt aber, innen Null ist und dadurch dann außen ein Potential existiert.
Wie kann ich mir diese Aussage vorstellen/erklären? |
Durch den Zusammenhang zwischen Felstärke und Potential
Wenn die Feldstärke null ist, gibt es keinen Gradienten des Potentials, d.h. das Potential ist konstant. Für die vorliegende Aufgabe heißt das, dass innerhalb der inneren Kugel und außerhalb der äußeren Kugel das Potential konstant ist. Wie groß es tatsächlich ist, d.h. ob es null oder irgendeinen anderen Wert hat, hängt von der Wahl des Nullpotentials ab. Wird das Potential wie in der vorlienden Aufgabe im Unendlichen zu null definiert, ist auch das Potential der Außenkugel null (das Potential im Außenraum ändert sich ja nicht). Im Raum zwischen den Kugeln ändert sich das Potential, weil dort ein Feld existiert, und erreicht an der Innenkugel den o.g. zitierten Wert. Im Innenraum der inneren Kugel muss dann dasselbe Potential herrschen, da sich wegen fehlender Feldstärke das Potential nicht ändern kann.
Wird dagegen das Potential im Inneren der inneren Kugel und damit auf der inneren Kugel zu Null definiert, verringert sich das Potential mit zunehmendem Radius, wird also immer negativer, bis es an der Außenkugel den negativen Betrag des o.g. Potentials erreicht hat. Dieses negative Potential ist dann im Außenraum wegen der dort fehlenden Feldstärke konstant bis ins Unendliche.
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Addi
Anmeldungsdatum: 23.03.2017
Beiträge: 18
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| Addi Verfasst am: 15. Jan 2019 21:23 Titel: |
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Perfekt! Danke dir.
Anscheinend war die Datei zu groß, es kam aber keine Warnung. Nun musste ich sie in 4 einzelne PDF-Dateien aufspalten und hochladen.
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Zuletzt bearbeitet von Addi am 15. Jan 2019 21:50, insgesamt einmal bearbeitet |
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Addi
Anmeldungsdatum: 23.03.2017
Beiträge: 18
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| Addi Verfasst am: 15. Jan 2019 21:26 Titel: |
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Und hier die restlichen beiden, da man nur 3 Dateien hochladen kann, ich jedoch eine gewisse Symmetrie vorziehe. 
Ach und ich glaube, dass ich vorm absenden des Posts mit der Datei auf Vorschau gedrückt habe, somit eine 0Mbit Datei hochgeladen wurde, ergo auch keine Warnung kam ^^
Beste Grüße Addi
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