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Kappalpha
Anmeldungsdatum: 30.06.2017
Beiträge: 2
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 Kappalpha Verfasst am: 30. Jun 2017 19:28 Titel: Erweitertes Noethertheorem: Geschwindigkeitsabhängige Funkti |
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Meine Frage:
Hallo,
mit dem erweiterten Noethertheorem erhalten wir, dass die Ableitung der Lagrangefunktion nach dem Parameter \epsilon gleich der totalen Zeitableitung einer Funktion F ist. Diese Funktion F kann nach Aussage unseres Professors von der generalisierten Koordinate sowie ihrer zeitlichen Ableitung und der Zeit selber abhängen. Möchte man nun die Noetherladung berechnen, so soll man aber nach Aussage NICHT die Lagrange-Bewegungsgleichung verwenden.
Es handelt sich um Aufgabe 20 von diesem Blatt: https://www.ttp.kit.edu/_media/courses/ss2017/theob/blatt10.pdf
Unsere Fragen: Wieso darf F auch von der Ableitung der generalisierten Koordinate abhängen? Und wieso dürfen wir die BGL nicht verwenden bzw. wie können wir ein solches Problem ohne lösen?
Meine Ideen:
Wir haben bisher die BGL genommen, um die zweite zeitliche Ableitung der generalisierten Koordinate in unserer Ableitung von L nach \epsilon zu eliminieren. Das wird in Teilen der Literatur ebenfalls so gemacht, allerdings ist das anscheinend falsch...
Danke im Voraus für eure Antworten! |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
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| jh8979 Verfasst am: 30. Jun 2017 21:12 Titel: Re: Erweitertes Noethertheorem: Geschwindigkeitsabhängige Fu |
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| Kappalpha hat Folgendes geschrieben: | | Möchte man nun die Noetherladung berechnen, so soll man aber nach Aussage NICHT die Lagrange-Bewegungsgleichung verwenden. |
Kannst Du das näher erläutern? |
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Kappalpha
Anmeldungsdatum: 30.06.2017
Beiträge: 2
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| Kappalpha Verfasst am: 30. Jun 2017 21:25 Titel: |
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Wir möchten die Lagrangefunktion nach \epsilon ableiten, also  für \epsilon = 0. Die kinetische Energie hängt ja von r' ab, in dem Fall von der Ableitung von r und der zeitlichen Ableitung der Änderung \Psi. Diese wiederum (die zeitliche Ableitung von \Psi) ist abhängig von der zweiten zeitlichen Ableitung von r.
Wenn ich nun die Ableitung von L nach \epsilon ausführe, erhalte ich einen Term, in dem die Komponenten von r sowie der ersten und zweiten zeitlichen Ableitung von r vorkommen. Wenn ich die Euler-Lagrange-BGL verwende, könnte ich meine zweite zeitliche Ableitung von r durch r ausdrücken und käme damit auf einen Term, der der Ableitung der gesuchten Funktion F entspricht (durch Vergleich mit dem Runge-Lenz-Vektor weiß ich, dass dieser Term korrekt ist).
Ich weiß jz nicht, wie wir die Ableitung von L nach \epsilon auflösen können OHNE die BGL zu verwenden, die uns ja den störenden zweite-Ableitung-Term eliminieren würde...
Ich hoffe, die Fragestellung ist nun etwas klarer geworden. |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
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| jh8979 Verfasst am: 30. Jun 2017 21:44 Titel: |
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Bei "\Psi" hab ich aufgehört zu lesen, da nirgends ein  vorkam... |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18088
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| TomS Verfasst am: 01. Jul 2017 10:00 Titel: Re: Erweitertes Noethertheorem: Geschwindigkeitsabhängige Fu |
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| jh8979 hat Folgendes geschrieben: | | Kappalpha hat Folgendes geschrieben: | | Möchte man nun die Noetherladung berechnen, so soll man aber nach Aussage NICHT die Lagrange-Bewegungsgleichung verwenden. |
Kannst Du das näher erläutern? |
Ein Beispiel:
Aus der Lösung der Wellengleichungen der QCD folgt unter Annahme periodischer Randbedingungen Farbneutralität, d.h. für diese Lösungen muss
gelten, d.h. die Ladungen sind "schwach Null"
Aber natürlich gilt damit nicht
d.h. die Kadungen sind nicht identisch Null, denn dies stände im Widerspruch zur Algebra
Mir fällt aber kein einfacheres Beispiel aus der klassischen Mechanik ein.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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ML
Anmeldungsdatum: 17.04.2013
Beiträge: 3403
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| ML Verfasst am: 01. Jul 2017 10:02 Titel: Re: Erweitertes Noethertheorem: Geschwindigkeitsabhängige Fu |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: |
d.h. für diese Lösungen muss gelten.
Aber natürlich gilt damit nicht
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Vertippt? |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 01. Jul 2017 10:09 Titel: |
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| Kappalpha hat Folgendes geschrieben: | Meine Frage:
Hallo,
mit dem erweiterten Noethertheorem erhalten wir, dass die Ableitung der Lagrangefunktion nach dem Parameter \epsilon gleich der totalen Zeitableitung einer Funktion F ist.
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Das ist nicht das Noether-Theorem. Das ist lediglich die Bedingung dafür, daß die mit epsilon parametrisierte Transformation eine Symmetrie der Wirkung ist. Das Noether-Theorem besagt, daß unter diesen Bedingungen eine Größe Q existiert, so daß gilt
 , genau dann wenn die Bewegungsgleichungen erfüllt sind.
Man kann die Symmetrieeigenschaft aber nicht damit beweisen, daß man in
die Bewegungsgleichungen einsetzt und dann prüft, daß nur eine totale Zeitableitung übrigbleibt. Denn das ist immer der Fall und folgt lediglich daraus, daß man ein paar Ableitungen hin und herschiebt. Zum Beispiel so: Betrachten wir die infinitesimale Transformation  . Dann ist  und
 + \frac{\dd}{\dd t}\left(\xi\frac{\partial L}{\partial x}\right))
Wenn ich hier die Euler-Lagrange-Gleichungen einsetze erhalte ich
obwohl ich gar keine Bedingungen an  oder  gestellt habe. Das beweist also gar nichts. Vielmehr muß für euer spezielles und
erfüllt sein ohne wenn und aber. So ein  müßt ihr finden. Dann könnt ihr die Noether-Ladung Q "berechnen" indem ihr einfach den Term unter der Zeitableitung
)
ablest. |
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