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mike1048
Gast
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 mike1048 Verfasst am: 03. Feb 2017 15:15 Titel: Raketengleichung |
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Meine Frage:
Hi,
habe ein wenig Verständnisprobleme bei masseveränderlichen Bewegungen, habe letztens schonmal eine Frage diesbezüglich gestellt, kommen aber immer wieder neue auf :P
Habe mal versucht die Bewegungsgleichung einer Rakete aufzustellen. Irgendwie komme ich aber auf ein Ergebnis, was nicht mit den bekannten Ergebnissen übereinstimmt; vielleicht könnt ihr mir ja sagen wo mein Fehler liegt:
Gegeben sei eine Rakete der Masse ) , aus welcher kontinuierlich ab dem Zeitpunkt t=0 Treibstoff mit der Geschwindigkeit  relativ zur Rakete und mit dem Massenstrom  ausströmt. Die Geschwindigkeit der Rakete sei ) .
Meine Ideen:
Die Rakete inkl. unverbranntem Treibstoff betrachte ich als offenes System. Aus diesem System strömt aufgrund der austretenden Gase der Impuls
Nach Newton 3 und Newton 2 gilt daher für die Kraft F, die dadurch auf die Rakete wirkt:
Zusammengefasst wirken auf mein Raketensystem also folgende äußere Kräfte: Die Erdanziehungskraft und und die Kraft F, die aus dem Impulsstrom resultiert; ergibt also zusammen:
g)
Nun wende ich Newton 2 auf die Rakete an. Es gilt:
 , also g=\dot{m}(t)v(t)+m(t)\dot{v}(t))
Mit ) gilt dann schlussendlich
v(t)+m(t)\dot{v}(t)+\dot{m}(t)u+m(t)g=0) .
Im Demtröder Band 1 lässt sich jedoch folgende Gleichung finden:
\dot{v}(t)+\dot{m}(t)u+m(t)g=0)
Es fehlt also der Summand v(t)) .
Da ich die Herleitung im Demtröder nicht verstehe, da ich einfach nicht einverstanden mit einigen Ansätzen bin, wollte ich das einfach selber mal rechnen, sodass ich auch jeden einzelnen Schritt verstehe und auch begründet habe. Wäre also sehr nett wenn mir jemand sagen könnte wo ich oben denn einen Fehler gemacht habe; ich denke, das würde mir so manche grundlegende Verständnisprobleme beseitigen :)
Vielen Dank schonmal fürs Durchlesen!
Gruß Mike |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8762
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| jh8979 Verfasst am: 03. Feb 2017 17:51 Titel: |
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Schau Dir mal das hier an:
https://en.wikipedia.org/wiki/Variable-mass_system
PS: Dem Demtroeder würde ich in solchen Fragen eher nicht trauen. Ich glaub der hat da auch ein Vorzeichen falsch, aber macht den Fehler beim Einsetzen der Vektors ve wieder wett... |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 03. Feb 2017 17:57 Titel: |
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Impulsänderung = Kraftstoß, Orientierung nach oben:
(v+dv)-mv]_{Rak}+[dm(v+u)]_{Gas}=-mgdt\Rightarrow v(t))
Zuletzt bearbeitet von franz am 03. Feb 2017 20:32, insgesamt 3-mal bearbeitet |
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VeryApe
Anmeldungsdatum: 10.02.2008
Beiträge: 3320
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| VeryApe Verfasst am: 03. Feb 2017 18:00 Titel: |
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| Zitat: |
Gegeben sei eine Rakete der Masse , aus welcher kontinuierlich ab dem Zeitpunkt t=0 Treibstoff mit der !!GESCHWINDIGKEIT!!  !!RELATIV!! zur Rakete und mit dem Massenstrom ausströmt. Die Geschwindigkeit der Rakete sei .
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relativ zur Rakete ist u.
| Zitat: |
Meine Ideen:
Die Rakete inkl. unverbranntem Treibstoff betrachte ich als offenes System. Aus diesem System strömt aufgrund der austretenden Gase der Impuls
[/latex] |
Das stimmt nicht. Wie ist denn die Inertialsystemgeschwindigkeit des Austretendengases für einen kurzen Augenblick dt.
wenn du so ansetzt mußt du anschließend positiv ansetzen, daß der resultierende Massestrom des offenes Systems negativ wird, denn es verliert ja an Masse.
_________________
WAS IST LOS IN EUROPA? https://www.youtube.com/watch?v=a9mduhSSC5w |
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mike1048
Gast
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| mike1048 Verfasst am: 03. Feb 2017 19:54 Titel: |
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Danke für den Link jh8979, da ist es meiner Meinung nach ziemlich gut beschrieben. Trotzdem beantwortet es meine Frage nicht so ganz.
Zu franz: Diesen Ansatz kenne ich natürlich auch, trotzdem beantwortet es meine Frage auch nicht ganz: Ich suche ja nach dem Fehler in meinen Überlegungen, weil ich ja so vorgehen möchte, die Rakete an sich als System zu betrachten, auf welches äußere Kräfte wie Schwerkraft und Impulsstrom wirken.
| VeryApe hat Folgendes geschrieben: |
| Zitat: | |
Das stimmt nicht. Wie ist denn die Inertialsystemgeschwindigkeit des Austretendengases für einen kurzen Augenblick dt.
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Im Inertialsystem ist die Geschwindigkeit des Gases natürlich v-u. Zur Begründung meiner Vorgehensweise an dieser Stelle: ich möchte ja erstmal die Kraft berechnen, die durch das Ausströmen des Gases entsteht, damit ich diese den äußeren Kräften zurechnen kann. Ich hab mich also ins System der Rakete gesetzt und von dort aus strömt das Gas ja mit der Geschwindigkeit u heraus. Aus dieser Sicht kann ich doch sagen, dass die Rakete in der Zeit dt den Impuls  verliert. Also sollte dieses ausströmende Gas meiner Meinung nach die Kraft  auf die Rakete ausüben.
Ich bin mir sehr sicher dass bei der Berechnung dieser "Schubkraft" der Fehler drin steckt. Ich glaube hier liegt einfach mein Verständnisproblem... Wie würdet ihr diese denn berechnen? |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8762
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| jh8979 Verfasst am: 03. Feb 2017 20:00 Titel: Re: Raketengleichung |
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Du benutzt zwei verschiedene Bezugsysteme hier:
| mike1048 hat Folgendes geschrieben: | Meine Frage:
Die Rakete inkl. unverbranntem Treibstoff betrachte ich als offenes System. Aus diesem System strömt aufgrund der austretenden Gase der Impuls
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und hier:
| Zitat: |
Nun wende ich Newton 2 auf die Rakete an. Es gilt:
, also
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Die beiden bewegen sich relativ mit der Geschwindigkeit v zueinander, das eliminiert den Term der zuviel ist bei Dir. |
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mike1048
Gast
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| mike1048 Verfasst am: 03. Feb 2017 20:25 Titel: |
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Hmm ok, und wie genau sieht dann die Schubkraft aus, wenn du meinst, ich benutze das falsche Bezugssystem? Komme da eben nicht drauf... |
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VeryApe
Anmeldungsdatum: 10.02.2008
Beiträge: 3320
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| VeryApe Verfasst am: 03. Feb 2017 20:32 Titel: |
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| Zitat: | | Aus dieser Sicht kann ich doch sagen, dass die Rakete in der Zeit dt den Impuls verliert. Also sollte dieses ausströmende Gas meiner Meinung nach die Kraft auf die Rakete ausüben. |
Die Rakete ist ein beschleunigtes Bezugssystem und kein Inertialsystem.
Die Rakete mag zwar aus dieser Sicht über der Zeit den Gas Impuls von
 verlieren, aber du darfsd nicht vergessen, daß aus dieser Sicht zusätzlich zur äußeren Kraft eine zeitlich veränderliche Trägheitskraft wirkt die diesen Impulsverlust kombiniert mit der äußeren Kraft bewirkt.
Also bleibe in einem Inertialsystem.
Wird die Kraft als Impulsänderung pro Zeit definiert und hast du Systeme mit veränderlicher Masse, ist die Kraft je nach Inertialsystem unterschiedlich, es gibt dann keine absoluten Kräfte mehr über Inertialsystem weg.
Der Impuls der Rakete ändert sich in jedem Inertialsystem mit
 )
im Inertialsystem in dem die Rakete für einen kurzen Moment ruht ist v=0 in jeden anderen System ist die Kraft anders.
Die Schubkraft ist diejenige Kraft, die auf die Rakete im Inertialsystem wirkt, indem die Rakete gerade ruht.
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Zuletzt bearbeitet von VeryApe am 03. Feb 2017 20:45, insgesamt 2-mal bearbeitet |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8762
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| jh8979 Verfasst am: 03. Feb 2017 20:40 Titel: |
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| mike1048 hat Folgendes geschrieben: | | Hmm ok, und wie genau sieht dann die Schubkraft aus, wenn du meinst, ich benutze das falsche Bezugssystem? Komme da eben nicht drauf... |
Du müsstest in der ersten Gleichung u durch u-v ersetzen (denn das ist die Geschwindigkeit des Gases im System, das Du weiter unten benutzt). Aber das wird spätestens dann verwirrend wenn v=u ist Laufe der Bewegung und man sich dann überlegen muss was passiert. Daher würde ich selber das nie so versuchen zu lösen, sondern mit der Impulserhaltung so wie im Link oben beschrieben. Sieht zwar fast gleich aus, ist mMn aber konzeptionell klarer.
PS: VeryApe war schneller im Editieren seines Posts (oder ich hatte seinen letzten Absatz überlesen).  |
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mike1048
Gast
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| mike1048 Verfasst am: 03. Feb 2017 22:30 Titel: |
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Also ihr sagt die Kraft ist ) . Wie genau kommt man denn darauf? Das was ihr bzgl der Geschwindigkeit schreibt leuchtet mir jetzt ein. Aber wenn ich dann also den Impuls als t) schreibe, dann kommt doch beim Ableiten noch ein Summand dazu, da v ja von der Zeit abhängt, d. h.  + \mu \dot{v}(t)) . Dann würde es ja irgendwie doch nicht passen? |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8762
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| jh8979 Verfasst am: 03. Feb 2017 22:31 Titel: |
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| mike1048 hat Folgendes geschrieben: | | Aber wenn ich dann also den Impuls als schreibe, dann kommt doch beim Ableiten noch ein Summand dazu, da v ja von der Zeit abhängt, d. h. . Dann würde es ja irgendwie doch nicht passen? |
Dann mach es doch einfach richtig... |
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mike1048
Gast
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| mike1048 Verfasst am: 03. Feb 2017 22:43 Titel: |
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Wie kommst du denn jetzt auf diese Kraft? |
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VeryApe
Anmeldungsdatum: 10.02.2008
Beiträge: 3320
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| VeryApe Verfasst am: 03. Feb 2017 22:52 Titel: |
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sorry, bei dir ist ja positiv.
dann müsste es sein
)
u ist auch positiv
| Zitat: | | Wie kommst du denn jetzt auf diese Kraft? |
wie ist denn die Impulsänderung der Rakete im Inertialsystem
die verliert Gas mit der Inertialsystemgeschwindigkeit v-u
und somit den Impuls dp pro dt) und da sie ihn Verliert minus. wie gesagt steckt das minus oft im Massestrom selbst drinnen.
und Kraft ist Impulsänderung pro Zeit, hast du selbst gesagt,
??????
-u) )
wie integriert man das richtig
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 03. Feb 2017 23:00 Titel: |
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(v+dv)-mv]_{Rak}+[dm(v+u)]_{Gas}=-mgdt)
=-u\cdot \ln \frac{m(0)}{m(t)}-gt) |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 6119
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 04. Feb 2017 09:55 Titel: |
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| franz hat Folgendes geschrieben: |
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Mit
= m(0) - \mu \cdot t)
und
m_R = Strukturmasse der Rakete
m_T = Treibstofmasse der Rakete
 = m_R + m_T) |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 04. Feb 2017 10:13 Titel: |
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| Mathefix hat Folgendes geschrieben: | |
OK, würde ich aus Schönheitsgründen als =m(0)(1-\alpha t)) schreiben:
=|u|\ln\frac{1}{1-\alpha t}-gt{,}\ \alpha :=\frac{\text{Masse Brennstoff}}{\text{Masse gesamt}}\cdot\frac{1}{\text{Brenndauer}}) |
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VeryApe
Anmeldungsdatum: 10.02.2008
Beiträge: 3320
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| VeryApe Verfasst am: 04. Feb 2017 11:18 Titel: |
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| franz hat Folgendes geschrieben: |
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| mike hat Folgendes geschrieben: |
Die Rakete inkl. unverbranntem Treibstoff betrachte ich als offenes System. Aus diesem System strömt aufgrund der austretenden Gase der Impuls.. |
@Franz wenn du einfach das System undefinierst und nicht das betrachtest was er betrachtet, redet ihr aneinander vorbei.
Du betrachtest doch Rakete plus unvebrannten Treibstoff plus ausgestömtes Gas als ein System von dem von aussen die Gravitationskraft wirkt.
Das betrachtet er doch gar nicht. Das bringt ihn wahrscheinlich jetzt durcheinander-
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 04. Feb 2017 13:18 Titel: |
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OT & hallo VeryApe,
ich geben nur, quasi als alter Frauenarzt, den Tip für eine glatte und schmerzarme Entbindung.
Das kann natürlich jeder halten, wie er mag: Mit Querlage, Dammriß, Sectio caesarea et cetera.
Draußen übrigens herrliches Wetter! |
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VeryApe
Anmeldungsdatum: 10.02.2008
Beiträge: 3320
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| VeryApe Verfasst am: 04. Feb 2017 14:01 Titel: |
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| Franz hat Folgendes geschrieben: |
ich geben nur, quasi als alter Frauenarzt, den Tip für eine glatte und schmerzarme Entbindung.
Das kann natürlich jeder halten, wie er mag: Mit Querlage, Dammriß, Sectio caesarea et cetera
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Diese Anspielung verstehe ich nicht.
Es ist wie bei einem Stahlträger, je nachdem wo durchschneidest bzw dein System aufspannst wirsd du unterschiedliche Schnittgrößen Kräfte, Momente erhalten.
was da schwerer oder leichter sein soll verstehe ich nicht
da deine Zeile
[quote="franz"]
zu
(v+dv)-mv]_{Rak}=-[dm(v+u)]_{Gas}-mgdt)
wird
und somit die Impulsänderung des Gases ausserhalb passiert und somit als äußere Kraft zählt.
wobei bei dir auch dm positiv ist der massestrom positiv ist.
und dein u muß negativ eingesetzt werden bei diesen ansatz
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VeryApe
Anmeldungsdatum: 10.02.2008
Beiträge: 3320
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| VeryApe Verfasst am: 04. Feb 2017 15:29 Titel: |
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Desweiteren hast du durch dein positives angesetztes dm das für die Massenänderung des Gesamtsystems steht, keines das für die Integration der Gleichung taugt die anschließend davon ausgehen will das die Massenveränderung von m0 auf mt negativ ist, denn dazu müsste dm positiv angesetzt werden,.
denn wenn du deine Gleichung richtig integrierst müsste dastehen
- u* ln m_{0}=-g*t+g*t_{0} )
mit v0=0 und t0=0
}{m_{0}}=-g*t )
und damit hast du eigentlich genau einen umgedrehten Bruch, als den du dann einfach so hinschreibst, welcher nichts taugt für die zeitliche Massenbeschreibung des Systems
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mike1048
Gast
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| mike1048 Verfasst am: 04. Feb 2017 16:14 Titel: |
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Sooo, habe mir das heute nochmal alles in Ruhe angeschaut und beide Wege mit allen Begründungen etc. verstanden. Hab beide Methoden mit eurer Hilfe gegenübergestellt (einmal alles als System betrachtet, einmal nur die Rakete) und bin auf jeweils identische Ergebnisse gekommen.
Ist mir eben allgemein wichtig, mit allen Axiomen, Methoden etc., die man so kennenlernt an die Probleme mal heranzugehen, ganz unabhängig davon, welche Vor- bzw. Nachteile die eine oder andere hat. Ich will ja mit eigenen Augen sehen, dass sich keine Widersprüche ergeben 
Nochmal vielen Dank an euch!
Bis Bald. |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 06. Feb 2017 08:45 Titel: |
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Für einen Tipfehler oben möchte ich mich entschuldigen. Er ändert zwar nichts
am Ergebnis, wurde aber mehrfach kopiert (u < 0, nach unten)
(v+dv)-mv]_{Rak}+[dm(v{\color{red}-}u)]_{Gas}=-mgdt)
=-u\cdot \ln \frac{m(0)}{m(t)}-gt)
Zur Sache noch ergänzend
- Interessant wäre auch die Frage der erreichbaren Höhe.
- Der Masseausstoß muß keineswegs linear verlaufen. Man kann mit der Formel zum Beispiel über eine schwebende Rakete nachdenken. Was jedoch den Rahmen sprengen würde, wäre eine veränderliche Ausstoßgeschwindigkeit (Wasserrakete z.B.) |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 6119
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 06. Feb 2017 09:46 Titel: |
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| franz hat Folgendes geschrieben: |
Zur Sache noch ergänzend
- Interessant wäre auch die Frage der erreichbaren Höhe. |
Für den Fall, dass ich mich verrechnet habe 
H = Gesamthöhe
h_T = Höhe bei Brennschluss
h_F = Flughöhe nach Brennschluss
}{m(t)} ) - g\cdot t)
 = m_R + m_T- \mu \cdot t)
Bestimmung h_T
Zeit T bis Brennschluss:
 \cdot \dd t - g\cdot \int_0^T\! t \, \cdot \dd t)
<br />
)
 \cdot \dd t - \frac{1}{2} \cdot g\cdot T^{2} )
<br />
)
Mit Substitution:
ergibt sich
 + u\cdot T- \frac{1}{2} \cdot g\cdot T^{2} )
Bestimmung h_F
v_T = Geschwindigkeit bei Brennschluss
 - g\cdot T)
Senkrechter Wurf
Zuletzt bearbeitet von Mathefix am 06. Feb 2017 15:15, insgesamt 4-mal bearbeitet |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 6202
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| Myon Verfasst am: 06. Feb 2017 10:11 Titel: |
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| franz hat Folgendes geschrieben: | Für einen Tipfehler oben möchte ich mich entschuldigen. Er ändert zwar nichts
am Ergebnis, wurde aber mehrfach kopiert (u < 0, nach unten)
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Jaja, die Vorzeichen bei der Raketengleichung... da habe ich mir schon einige Male den Kopf zerbrochen. In den älteren Auflagen von Demtröder z.B. hat es diesbezüglich auch Fehler.
Wenn u<0 ist, müsste es m.E. eigentlich ...dm(v+u) heissen. Weiter ist dm<0, sodass mit dp=(m+dm)(v+dv)-mv-dm(v+u)=-mg dt wieder das richtige Resultat herauskommt (wiederum, wenn u<0 gewählt wird). |
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VeryApe
Anmeldungsdatum: 10.02.2008
Beiträge: 3320
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| VeryApe Verfasst am: 06. Feb 2017 16:35 Titel: |
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| Myon hat Folgendes geschrieben: | Wenn u<0 ist, müsste es m.E. eigentlich ...dm(v+u) heissen.
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Na genau, wenn er das jetzt aber zu minus u ändert muß er u>0 einsetzen, daß die Inertialsystemgeschwindigkeit passt.
| myon hat Folgendes geschrieben: |
Weiter ist dm<0, sodass mit dp=(m+dm)(v+dv)-mv-dm(v+u)=-mg dt wieder das richtige Resultat herauskommt (wiederum, wenn u<0 gewählt wird). |
richtig.
du verwendest m+dm--- daher wenn von m0 auf mt geht und mt kleiner ist als m0 wird dm negativ durch diesen Ansatz, das hat dann aber nichts mit der Geschwindigkeit zu tun.
ich kann v+u ansetzen oder v-u im ersten fall ist u negativ im 2 Fall u positiv einzusetzen, daß die Inertialsystemgeschwindigkeit stimmt.
| franz hat Folgendes geschrieben: |
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franz setzt an m-dm daher wenn die Masse der Rakete abnimmt muß dm positiv eingesetzt werden das die Rakete an Masse verliert.
setzt man jetzt m0 ein und nimmt an mt wird kleiner dann ist aber die Massenänderung negativ und es kommt ein Käse heraus.
| franz hat Folgendes geschrieben: | }{m(t)}-gt) |
Das gilt jetzt für v-u
u muß jetzt positiv eingesetzt werden, daß die Inertialsystemgeschwindigkeit sitmmt
setzt man jetzt für m0 zB 1000kg ein und für mt etwas geringeres zum Beispiel 900 hat man nachdem man den ln zieht ein positives Ergebnis und mit u ebenfalls positiv aber durch das minus vor u bekommt man etwas negatives heraus.
Die Geschwindigkeit geht in Richtung Erdbeschleunigung und die Rakete beschleunigt zusätzlich in Richtung Erdbeschleunigung..
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