Lösen einer Exponentialgleichung

Kira · Anmeldungsdatum: 29.09.2016 Beiträge: 6

Hallo,

wie es der Titel bereits vermuten lässt scheitere ich beim Auflösen folgender Gleichung nach x:

30000 = 10000*1,05^x + 8000*1,07^x

Ich würde mich über Antworten freuen.

MFG

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18113

Die Lösung funktioniert nur numerisch, nicht analytisch.

Du könntest jedoch beide Exponenten bzgl. der selben Basis - z.B. e - darstellen und in der Differenz der Logarithmen eine Taylorentwicklung durchführen

Kira · Anmeldungsdatum: 29.09.2016 Beiträge: 6

Erstmal danke für die schnelle Antwort.

Die Umformungen sind soweit klar, nur weiß ich dann nicht wie ich weitermachen sollte um für x ca 8,87 (die Lösung laut Taschenrechner) rauszukriegen. Für welche Funktion und um welchen Punkt muss ich die Taylorreihe überhaupt machen bzw wie hilft sie mir im Endeffekt auf das Ergebnis zu kommen?

MFG

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18113

Du setzt

[/quote]

Und entwickelst in

In nullter Ordnung ist das exakt lösbar; d.h. man erhält eine nullte Näherungslösung.

Weitere Näherungen folgen dann z.B. mittels eines iterativen Lösungsverfahrens, z.B.

https://de.wikipedia.org/wiki/Regula_falsi

Dabei kann man allerdings wieder die exakte Funktion einsetzen. Wenn du die Näherung numerisch bestimmt hast, kannst du dir die Taylorentwicklung eigtl. sparen.

Kira · Anmeldungsdatum: 29.09.2016 Beiträge: 6

Tut mir leid aber das verstehe ich nicht wirklich. :/

ist in dem Fall ja eine bekannte Zahl und ich weiß nicht wie mir das weiterhilft, damit ich zur Lösung komme.

Stattdessen hab ich mal noch was anderes probiert. Die ursprüngliche Gleichung hab ich umgeformt in

Um das rauszubekommen musste ich auch die wurzel von x ziehen, was man ja auch vermeiden sollte oder?

Durch Substitution erhalte ich dann

Diese Gleichung ist analytisch aber auch unlösbar oder?

Der Taschenrechner kommt jedenfalls für t auf 1,54 und das ist richtig.

Dennoch hilft mir das bei dem eigentlichen Problem nicht viel weiter.

Grüße

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18113

Eine analytisch unlösbare Gleichung bleibt bei Umformung analytisch unlösbar.

Die Entwicklung in epsilon kannst du dir sparen, wenn du die Näherung schätzt, mit dem Taschenrechner bestimmst oder graphisch.

Du willst die Gleichung lösen. Da dies analytisch nicht möglich ist, benötigst du eine Näherung bzw. eine iterative Methode. Das ist genau die Regula Falsi. Damit kannst du iterativ bessere Näherungslösungen berechnen.

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Einfache Sonderfälle lassen sich durch Substitution lösen: