Koeffizientenvergleich beim Lösen stat. SGL mit Separation

mrdo87 · Anmeldungsdatum: 16.04.2016 Beiträge: 21

Hallo,
anbei ein Teil der Lösung einer Aufgabe. Hier wurde mit dem Koeffizientenvergleich argumentiert. Das kann ich hier leider nicht nachvollziehen. In meinen Augen folgt die in der Lösung gegebene Gleichung nur dann, wenn die anderen Summanden in der Klammer Null werden.

Stellt man die restlichen Gleichungen Y(y) und Z(z) analog auf und setzt alles in die Differentialgleichung ein, resultiert doch ein Faktor 3. Also

Übersehe ich hier irgendwas oder ist gar die Lösung falsch?!

Ich hoffe ihr versteht mein Problem und könnt mir weiter helfen.

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Wie lautet die Aufgabe?

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8762

"Koeffizientenvergleich" ist keine besonders gute Bezeichnung für das was man da macht. Das Stichwort hier lautet Separationsansatz.
https://de.wikipedia.org/wiki/Separationsansatz
Oder schau mal Seite 8 hier:
https://www.physik.tu-dresden.de/~timm/personal/skript/pde.pdf

mrdo87 · Anmeldungsdatum: 16.04.2016 Beiträge: 21

Die eigentliche Aufgabe lautet: "Lösen Sie die Schrödingergleichung mittels eines Separationsansatzes für die Wellenfunktion." Es geht hier um die auf den kubischen Hohlraum

beschränkte Bewegung eines Teilchens.

Die Schrödingergleichung, um die es geht, ist die stationöre Schrödingergleichung im innern des Hohlraums (mit entsprechenden Randbedingungen):

Der entscheidende Punkt, an dem ich nicht weiter komme, findet sich allerdings im Anhang.

@jh8979 Danke schon mal für die Links. Dann hat mich vermutlich hauptsächlich der Begriff Koeffizientenvergleich verwirrt. Ich arbeite mich mal durch die verlinkten Seiten und melde mich, falls noch was offen ist.

mrdo87 · Anmeldungsdatum: 16.04.2016 Beiträge: 21

Etwas verwirrt bin ich immer noch durch die Summer auf der linken Seite. Aber wenn ich es richtig verstanden habe, fehlt doch in der angehängten Lösung in Gleichung (12) die Separationskonstante oder?! Ich nehme an, die wurde hier weggelassen, da man sie später sowieso mit den Integrationskonstanen zusammenfassen kann. Also im A und B der resultierenden Lösung von Gleichung (12):

Ist das so richtig interpretiert?

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8762

Die Separationskonstante ist kx und hat nichts mit A und B zu tun.

mrdo87 · Anmeldungsdatum: 16.04.2016 Beiträge: 21

Dann habe ich es offensichtlich noch nicht ganz verstanden. Aber ich komme dem Ganzen langsam Näher, danke schon mal Thumbs up!

Ich starte mit Gleichung (11), ein bisschen umgeschrieben:

Teilen durch

führt auf

bzw.

Wie in den Links zum Separationsansatz erklärt, müssen für die Gleichheit beide Seiten der Gleichung konstant sein.

So weit so gut. Also sollte für k_x gelten:

Edit: Die Separationskonstante wäre dann -k_x^2

In Gleichung 12 der Lösung macht es allerdings den Anschein, als sei

Wo liegt mein Denkfehler? grübelnd

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8762

mrdo87 · Anmeldungsdatum: 16.04.2016 Beiträge: 21

optimal, dann sollte alles klar sein.

Dann vielen Dank für die extrem schnelle und wirklich gute Hilfe! Thumbs up!