Kommutator Drehimpuls Ort

desperate_student · Anmeldungsdatum: 26.06.2016 Beiträge: 1

Meine Frage:
Ich soll zeigen, dass

,

was eigentlich ziemlich leicht sein sollte, aber leider komme ich nicht auf das Ergebnis.

Meine Ideen:

Ich kann berechnen, dass

(Summenkonvention)

Wenn ich das jetzt allerdings in den Kommutator einsetze

und damit weiterrechne, dann komme ich auf das falsche Ergebnis:

weil

An der Rechnung ändert sich nix, wenn ich korrekterweise den Kommutator auf ein

anwende.
Irgendwo habe ich einen Denkfehler drin, glaube ich.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18076

Es ist nicht notwendig, den Impulsoperator mittels

zu schreiben.

Wenn du das jedoch tust, dann musst du immer beachten, dass sämtliche Operatoren x, p, L, ... auf Wellenfunktionen wirken, und dass dabei die Produktregel für die Ableitung gilt; d.h.

Ansonsten verwendest du einfach

ohne überhaupt die Ortsdarstellung bzw. Ableitung einzuführen.

Außerdem hast du noch einen Fehler in deinen Indizes: links = im Epsilonsymbol summierst du über beta und gamma; rechts steht jedoch beta als freier Index. Führe stattdessen links andere Indizes ein, z.B. gamma und delta.

desperate_studentx · Gast

Ich habe es dann auch gelöst, ohne den Impulsoperator auszuschreiben, erst allgemein mit alpha, beta, gamma, den Kommutator schrittweise nach den Rechenregeln in seine Einzelteile zerlegt:

eines aus

dann argumentiert dass bei zwei oder mehr gleichen Indizes Null herauskommt und die Vertauschungen auf dem Ring mit den Elementen beta und gamma die Vorzeichen des Ergebnisses entsprechend umdrehen, so dass die Gesamtheit über den Epsilontensor beschrieben werden kann.

Die Indizes beim Summieren haben mir auch Kopfzerbrechen bereitet, ich war mir nicht sicher, welche ich wann warum einfach umbenennen darf, das ärgert mich schon länger.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18076

Der Kommutator

führt auf Terme der Form

Die unterstrichenen Indizes gehören zur Summe. Sie dürfen keinem Index entsprechen, der irgendwo in einem derartigen Produkt auftaucht, sind jedoch sonst beliebig.