Skalar im Kommutator

Weizen598 · Anmeldungsdatum: 29.01.2022 Beiträge: 23

Meine Frage:
Hallo,

ich hätte eine allgemeine Frage zu Kommutatoren. Wenn ich habe:
[A+k,B+k], wobei A,B Operatoren und k ein Skalar ist.
Wie genau gehe ich jetzt hier mit dem Skalar um.

Meine Ideen:
Ich weiß, dass allgemein gilt:
[A+B,A+B]=[A,A]+[A,B]+[B,A]+[B,B]
Das kann ich aber jetzt nicht auf ein Skalar übertragen weil der Kommutator soweit ich weiß nicht für Skalare definiert ist. Kann ich das Skalar dann einfach aus dem Kommutator ziehen, etwa so:
[A+k,B+k]=[A,B]+k

Danke für jede Hilfe!

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18079

Mir ist nicht ganz klar, wieso du hier von einem Skalar sprichst.

Für einen beliebigen Operator A und eine beliebige komplexe Zahl z ist

Das gilt i.A. nicht für Funktionen f

Am besten machst du dir das klar für folgende zwei Spezialfälle:
1) ein Differentialoperator A und eine Zahl z bzw. eine Funktion f, die in verschiedenen Reihenfolgen auf eine Wellenfunktion psi wirken
2) eine Matrix A und eine Zahl z, die auf einen Vektor v wirken

Weizen598 · Anmeldungsdatum: 29.01.2022 Beiträge: 23

Und wenn ich statt einer komplexen Zahl eine Funktion f(t) hätte? Kann man das auch allgemein definieren oder ist es abhängig von der Aufgabenstellung?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18079

Wenn A ein Differentialoperator ist, dann wird er evtl. nicht mit f vertauschen. Betrachte z.B.

Weizen598 · Anmeldungsdatum: 29.01.2022 Beiträge: 23

Ich kann ja mal die explizite Aufgabe zeigen.
Ich habe hier den Orts- und Impulsoperator ausgerechnet

Nun soll ich folgende Kommutatoren berechnen:

index_razor · Anmeldungsdatum: 14.08.2014 Beiträge: 3259

Weizen598 · Anmeldungsdatum: 29.01.2022 Beiträge: 23

Der Hamilton Operator ist

mit a ungleich null.

index_razor · Anmeldungsdatum: 14.08.2014 Beiträge: 3259

index_razor · Anmeldungsdatum: 14.08.2014 Beiträge: 3259

Zur Kontrolle: die Heisenbergschen Bewegungsgleichungen sehen aus wie in der klassischen Mechanik

und

Und die Lösung sieht auch genau so aus. (Du hast vermutlich irgendwo einen Faktor

zuviel stehengelassen.)

P.S. Ich erhalte übrigens (abgesehen von Faktoren

)