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Kommutator und Erwartungswert
 
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Delta2
Gast





Beitrag Delta2 Verfasst am: 03. Nov 2022 16:54    Titel: Kommutator und Erwartungswert Antworten mit Zitat

Meine Frage:
Hallo

Gegeben sind 2 Operatoren für die gilt

Ist das gleichbedeutend mit

Danke für Antworten


Meine Ideen:
Aus meiner Sicht ja
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8387

Beitrag jh8979 Verfasst am: 03. Nov 2022 20:16    Titel: Re: Kommutator und Erwartungswert Antworten mit Zitat

Delta2 hat Folgendes geschrieben:

Gegeben sind 2 Operatoren für die gilt

Ist das gleichbedeutend mit

Die zweite Zeile folgt aus der ersten.
Umgekehrt folgt die erste aus der zweiten, wenn letztere für alle Zustände psi gilt.
Myon



Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5270

Beitrag Myon Verfasst am: 03. Nov 2022 20:58    Titel: Re: Kommutator und Erwartungswert Antworten mit Zitat

jh8979 hat Folgendes geschrieben:
Umgekehrt folgt die erste aus der zweiten, wenn letztere für alle Zustände psi gilt.

Wie zeigt man das? Würde mich interessieren...
Delta2
Gast





Beitrag Delta2 Verfasst am: 03. Nov 2022 22:10    Titel: Antworten mit Zitat

jh8979 hat Folgendes geschrieben:
Delta2 hat Folgendes geschrieben:

Gegeben sind 2 Operatoren für die gilt

Ist das gleichbedeutend mit

Die zweite Zeile folgt aus der ersten.
Umgekehrt folgt die erste aus der zweiten, wenn letztere für alle Zustände psi gilt.

Danke für die Antwort

Myon hat Folgendes geschrieben:
jh8979 hat Folgendes geschrieben:
Umgekehrt folgt die erste aus der zweiten, wenn letztere für alle Zustände psi gilt.

Wie zeigt man das? Würde mich interessieren...

Ich würde das so schreiben

















Das würde mich jetzt interessieren ob man das halbwegs so stehen lassen kann
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8387

Beitrag jh8979 Verfasst am: 04. Nov 2022 00:55    Titel: Re: Kommutator und Erwartungswert Antworten mit Zitat

Myon hat Folgendes geschrieben:
jh8979 hat Folgendes geschrieben:
Umgekehrt folgt die erste aus der zweiten, wenn letztere für alle Zustände psi gilt.

Wie zeigt man das? Würde mich interessieren...

Gar nicht. Ich war nicht vorsichtig genug. Die Aussage ist falsch. Hammer

Sie würde gelten, wenn links und rechts im Skalarprodukt verschiedene (beliebige) Zustämde psi_1 und psi_2 stehen würden. Dies beweist man dann, in dem man jeweils Basisvektoren für psi_i einsetzt. Das ist dann im wesentlichen die Definition dessen, was der 0 Operator sein soll.
Myon



Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5270

Beitrag Myon Verfasst am: 04. Nov 2022 08:06    Titel: Antworten mit Zitat

Ah, dann bin ich fast etwas beruhigt. Hab gestern versucht, die Behauptung zu zeigen. Mit beliebigen Zuständen links und rechts ist es klar, mit Zuständen einer abzählbaren Basis stehen ja dann einfach die Matrixelemente da bez. dieser Basis (vielleicht abgesehen von exotischen Fällen). Aber mit gleichen Zuständen kommt man irgendwie nicht weit... ein einfaches Gegenbeispiel fand ich aber auch nicht.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 15902

Beitrag TomS Verfasst am: 04. Nov 2022 08:26    Titel: Antworten mit Zitat

Ich könnte mir sogar vorstellen dass es eine Operator-Topologie gibt, in der das tatsächlich so gilt. Dann müsste man die jedoch zur Normtopologie in Beziehung setzen, oder auf einem separablen Hilbertraum ein Gegenbeispiel finden.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3116

Beitrag index_razor Verfasst am: 04. Nov 2022 08:48    Titel: Antworten mit Zitat

Die Aussage gilt zumindest für beschränktes [A,B] und folgt in diesem Fall aus



P.S. oder noch direkter: Für beschränktes T folgt aus für alle , daß T hermitesch ist. Der Kommutator von zwei hermiteschen Operatoren ist aber antihermitesch, d.h.



also wieder [A,B]=0.

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It is just this lack of connection to a concern with truth -- this indifference to how things really are -- that I regard as of the essence of bullshit. -- Harry G. Frankfurt
index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3116

Beitrag index_razor Verfasst am: 04. Nov 2022 09:10    Titel: Antworten mit Zitat

Delta2 hat Folgendes geschrieben:

[...]




[...]

Das würde mich jetzt interessieren ob man das halbwegs so stehen lassen kann


Du hast praktisch die komplette Behauptung zwischen diesen beiden Zeilen verwendet. Das ist also kein Beweis. (Da allerdings keine Voraussetzungen genannt sind, ist es ohnehin schwierig zu raten, was genau hier gezeigt werden soll.)

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Delta2
Gast





Beitrag Delta2 Verfasst am: 04. Nov 2022 18:21    Titel: Antworten mit Zitat

Ich blicke da nicht durch

Deshalb möchte ich die Frage nochmal wiederholen
Delta2 hat Folgendes geschrieben:

Gegeben sind 2 Operatoren für die gilt

Ist das gleichbedeutend mit


Ihr würdet also sagen,dass das nicht gleichbedeutend ist?
Weder in die eine noch in die andere Richtung
index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3116

Beitrag index_razor Verfasst am: 04. Nov 2022 18:53    Titel: Antworten mit Zitat

Delta2 hat Folgendes geschrieben:
Ich blicke da nicht durch

Deshalb möchte ich die Frage nochmal wiederholen
Delta2 hat Folgendes geschrieben:

Gegeben sind 2 Operatoren für die gilt

Ist das gleichbedeutend mit


Ihr würdet also sagen,dass das nicht gleichbedeutend ist?
Weder in die eine noch in die andere Richtung


Die eine Richtung ist natürlich trivial.

Wenn du zumindest weißt, daß [A,B] stetig ist, gilt auch die Umkehrung ohne weitere Voraussetzungen an A und B. Ob es noch allgemeinere Fälle gibt, weiß ich nicht. Für einen "Physikerbeweis" würde ich behaupten die beiden Aussagen sind äquivalent. Dort wird regelmäßig in Analogie zur linearen Algebra argumentiert und Stetigkeit ist nie ein Problem. Zwei Argumente habe ich ja oben schon angedeutet.

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Delta2
Gast





Beitrag Delta2 Verfasst am: 04. Nov 2022 19:18    Titel: Antworten mit Zitat

Danke für die Antwort

index_razor hat Folgendes geschrieben:

Die eine Richtung ist natürlich trivial.

Das ist schonmal gut

index_razor hat Folgendes geschrieben:

Wenn du zumindest weißt, daß [A,B] stetig ist, gilt auch die Umkehrung ohne weitere Voraussetzungen an A und B

Es geht um x und p


Das ist doch stetig
index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3116

Beitrag index_razor Verfasst am: 04. Nov 2022 19:27    Titel: Antworten mit Zitat

Delta2 hat Folgendes geschrieben:

index_razor hat Folgendes geschrieben:

Wenn du zumindest weißt, daß [A,B] stetig ist, gilt auch die Umkehrung ohne weitere Voraussetzungen an A und B

Es geht um x und p


Das ist doch stetig


[x,p] ist zwar stetig, aber nicht null; [x², p²] auch nicht. Was willst du da mit deiner Äquivalenz anfangen?

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Delta2
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Beitrag Delta2 Verfasst am: 04. Nov 2022 19:53    Titel: Antworten mit Zitat

Gegeben ist der Grundzustand der harmonischen Schwingung

und 2 Rechnungen


wie erwartet


eher unerwartet
Das war dann auch der Grund für die Frage
Vielleicht ein Rechenfehler
index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3116

Beitrag index_razor Verfasst am: 04. Nov 2022 22:56    Titel: Antworten mit Zitat

Delta2 hat Folgendes geschrieben:
Gegeben ist der Grundzustand der harmonischen Schwingung

und 2 Rechnungen


wie erwartet


eher unerwartet
Das war dann auch der Grund für die Frage
Vielleicht ein Rechenfehler


Es gilt tatsächlich , sogar auf einer kompletten Basis. Allerdings folgt daraus natürlich noch nicht, daß der Kommutator ebenfalls verschwindet. Es gilt z.B. auch . Aber natürlich heißt das nicht, daß die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren selbst verschwinden. Auf ist z.B.

Oben hatten wir den Fall diskutiert, daß für alle gilt. Das hattest du aber offenbar gar nicht gemeint.

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Delta2
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Beitrag Delta2 Verfasst am: 05. Nov 2022 10:53    Titel: Antworten mit Zitat

index_razor hat Folgendes geschrieben:

Es gilt tatsächlich , sogar auf einer kompletten Basis. Allerdings folgt daraus natürlich noch nicht, daß der Kommutator ebenfalls verschwindet.

Ich habe das noch gefunden



Da kommt aber zumindest beim Grundzustand des harmonischen Oszillators
auch wieder Null raus wenn ich das richtig gedeutet habe

index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3116

Beitrag index_razor Verfasst am: 05. Nov 2022 11:31    Titel: Antworten mit Zitat

Delta2 hat Folgendes geschrieben:
index_razor hat Folgendes geschrieben:

Es gilt tatsächlich , sogar auf einer kompletten Basis. Allerdings folgt daraus natürlich noch nicht, daß der Kommutator ebenfalls verschwindet.

Ich habe das noch gefunden




Ja, das stimmt.

Zitat:

Da kommt aber zumindest beim Grundzustand des harmonischen Oszillators
auch wieder Null raus wenn ich das richtig gedeutet habe


Wieso "aber"? Wie gesagt ist der Erwartungswert dieses Kommutators in jedem Energieeigenzustand null, nicht nur im Grundzustand. Der Kommutator selbst ist aber nicht null, und es gibt Zustände, auf denen sein Erwartungswert nicht verschwindet, z.B. .

Zitat:



Was soll das bedeuten? Fehlt da die Bildung des Erwartungswerts auf der linken Seite?

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Delta2
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Beitrag Delta2 Verfasst am: 05. Nov 2022 14:40    Titel: Antworten mit Zitat

index_razor hat Folgendes geschrieben:


Was soll das bedeuten? Fehlt da die Bildung des Erwartungswerts auf der linken Seite?

Ja das fehlt. Schien mir nicht so wichtig
Aber anscheinend geht es gerade darum
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