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Kommutator [x,H] berechnen
 
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escapado



Anmeldungsdatum: 08.05.2013
Beiträge: 49

Beitrag escapado Verfasst am: 19. Apr 2014 15:21    Titel: Kommutator [x,H] berechnen Antworten mit Zitat

Hallo, meine Aufgabe lautet wie folgt:
Betrachten Sie ein Teilchen im Potential mit Hamiltonoperator
Berechnen Sie dafür die Kommutatoren [x,H] und [p,H]

Also zunächst bin ich ein klein wenig verunsichert weil deine keine Hütchen über den Operatoren sind aber ich denke mal die soll ich mir dazu denken sonst steht da ja nur die Hamiltonfunktion. Ich habe mir nun folgendes gedacht:



Kann das sein oder mache ich einen schlimmen Fehler? Der 1 und 3, sowie der 2 und 4. Term haben sich ja weg und die zweifache Ableitung von x nach x ist doch null oder nicht?

Wenn ich nämlich im Schwabl schaue, dann steht da was ganz anderes und deshalb bin ich etwas verunsichert. Wenn das geklärt ist denke ich ,dass ich den anderen Kommutator richtig bestimmen kann. smile
adsadsd
Gast





Beitrag adsadsd Verfasst am: 19. Apr 2014 17:18    Titel: Antworten mit Zitat

Du muss die Produktregel für jede Ableitung einzeln ausführen.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17756

Beitrag TomS Verfasst am: 19. Apr 2014 17:31    Titel: Antworten mit Zitat

Also zunächst mal solltest du dich entscheiden, ob du in der Orstdarstellung



oder darstellungsfrei arbeitest.

Wenn du die Orstdarstellung nutzt, dann ist x immer eine (reelle) Zahl und kommutiert mit jeder Funktion von x. D.h. es ist sicher



Für den Kommutator von p mit einer Funktion von p kannst du genauso argumentieren (Kommutatoren sind darstellungsunabhängig, d.h. für p kannst du in der p-Darstellung mit p als reeller Zahl argumentieren). Außerdem kannst du argumentieren, dass in der Ortsdarstellung die Ableitungen vertauschen



Lange Rede - kurzer Sinn, es ist sicher



Die eigtl. Problematik liegt in den gemischten Termen und in der Bedeutung der Ableitung. Das kannst du umgehen, wenn du darstellungsfrei arbeitest.

Wenn du allerdings in der Ortsdarstellung arbeitest, musst du dir darüber im klaren sein, dass die Operatoren nach rechts immer auf eine Wellenfunktion wirken müssen. In deinem Fall hast du also z.B.



Außerdem musst du bei der Ableitung die Produktregel berücksichtigen.

Dabei ist



Wie du richtig erkannt hast ist der erste Term Null, und der letzte Term fällt im Kommutator weg. Aber der zweite Term bleibt stehen.

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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
escapado



Anmeldungsdatum: 08.05.2013
Beiträge: 49

Beitrag escapado Verfasst am: 19. Apr 2014 18:02    Titel: Antworten mit Zitat

Ahhh, da lag mein Fehler! Danke euch beiden! TomS, sag mal in welchem Buch findet man eine darstellungsfreie Beschreibung? Wir haben bisher immer in der Ortsdarstellung gerechnet aber leider wurde bei uns das ganze auch ziemlich lari-fari-mäßig eingeführt. Edit: Insbesondere würde mich eine etwas mathematisch rigorosere Beschreibung freuen.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17756

Beitrag TomS Verfasst am: 19. Apr 2014 22:02    Titel: Antworten mit Zitat

Sakurai ist eine gute Wahl. Und evtl. Ballantine, wobei ich den nicht aus eigener Erfahrung kenne.
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Feucht von Lipwig



Anmeldungsdatum: 19.09.2013
Beiträge: 122

Beitrag Feucht von Lipwig Verfasst am: 22. Apr 2014 18:19    Titel: Antworten mit Zitat

escapado hat Folgendes geschrieben:
Edit: Insbesondere würde mich eine etwas mathematisch rigorosere Beschreibung freuen.


Für eine mathematisch rigorose Behandlung der Quantenmechanik ist der Straumann zu empfehlen.

Meine erste Wahl, insbesondere für den Erstkontakt wäre allerdings der Sakurai. Dort schaue ich noch Heute gerne rein (zuletzt tatsächlich heute Morgen smile )
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