Potentialtopf, kinetische Energie, Erwartungswert

frage1 · Anmeldungsdatum: 20.02.2021 Beiträge: 567 Wohnort: bayern

Hallo!

Es geht hier wieder um den Erwartungswert des Impulses.
Ich kann die grün markierten Stellen nicht nachvollziehen. Wieso ist A1=A2 ?
Die e-Funktionen sind auf einmal verschwunden, wieso? Und wieso ist der Erwartungswert des Impulses 0 ? Und warum betrachtet man für den Erwartungswert des Impulses die Wände des Potentialtopfes?
Ich hab da noch einige Verständnisprobleme.

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5465

Wahrscheinlich sollte der Ansatz für den Bereich II lauten

Da phi(x)=0 gelten soll für den Bereich I (x<0) und da phi stetig sein soll, muss phi(0)=0 sein. Setzt man das in den Ansatz ein, folgt A1=-A2.

Zum Erwartungswert des Impulses: Wenn psi2 die Wellenfunktion zum 1. angeregten Zustand ist, so wäre der Erwartungswert für diesen Zustand

Es wird wieder über sin(k*x)*cos(k*x) integriert. Dies sollte für jeden Energie-Eigenzustand (Lösung der Schrödinger-Gleichung) gelten.

frage1 · Anmeldungsdatum: 20.02.2021 Beiträge: 567 Wohnort: bayern

Ich hab folgendes Ergebnis rausbekommen :

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5465

Da vom 1. angeregten Zustand geschrieben steht, hätte man wahrscheinlich auch einfach die Wellenfunktion, wie sie hier angegeben ist für n=2, verwenden können.

Den letzten Schritt in Deiner Rechnung konnte ich nicht recht nachvollziehen. Das Integral über sin(kx)*cos(kx) mit k=2*pi/a und diesen Grenzen sollte null ergeben.

Nils Hoppenstedt · Anmeldungsdatum: 08.01.2020 Beiträge: 1981

@frage1: du hast vergessen, die obere Grenze einzusetzen. Wegen sin(ka) = 0 kommt dann bei dir ebenfalls <p> = 0 heraus.

Nachdem man bereits gezeigt hat, dass A1 = -A2, kann man übrigens als Ansatz für die Wellenfunktion auch

psi(x) = A*sin(kx)

schreiben. Das vereinfacht die Rechnungen.

Viele Grüße,
Nils

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 16318

Warum löst du das selbe Integral nochmal und jetzt ganz anders?

Du hast sin(kx) und cos(kx), es muss also Null herauskommen, das weißt du schon aus der anderen Aufgabe.

Was ist der Fehler?

Du betrachtest sin(kx) im endlichen Intervall [0,a]. Es sind die für k erlaubten Werte zu bestimmen, die dafür sorgen, dass die genannten Randbedingungen bei x=0 und x=a erfüllt sind, d.h.

Du musst dir also überlegen, welche Werte für k in Frage kommen - und dann wirst du feststellen, dass du das Integral mittels Substitution wieder auf die Grenzen 0 bis 2*pi bringen kannst.

frage1 · Anmeldungsdatum: 20.02.2021 Beiträge: 567 Wohnort: bayern

Myon, du hast recht. Ich glaube man muss sogar die Formel des 1-Dim. Kastenpotentials verwenden, aber wie genau soll ich da genau herangehen?
Leute, ich weiß ehrlich gesagt nicht, ob ich da richtig gerechnet habe (ich hoffe aber), aber so sieht mein aktueller Stand aus. Ich hab den Sinn der Aufgabe immer noch nicht verstanden.
Edit: Der Grund warum ich das Integral davor nicht lösen konnte, war, dass ich nicht wusste, dass k=npi/a ist.

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5465

Bei der letzten Zeile bin ich nicht sicher, ob integriert wurde oder ob das Integralzeichen fehlt. Es ist jedenfalls noch nicht ganz richtig.

Bis auf Konstanten steht ja am Ende

Dieses Integral hat den Wert null für alle n, wie bei einer anderen Aufgabe erklärt wurde. Für den 1. angeregten Zustand wäre n=2.

Und sonst mit der Stammfunktion

frage1 · Anmeldungsdatum: 20.02.2021 Beiträge: 567 Wohnort: bayern

Da ich die Verschiebung immer noch nicht verstanden habe, habe ich das Integral ausgerechnet. So sieht‘s dann aus:

Bei den Grenzen habe ich 2x ne 0. Kann das so stimmen?

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5465

Jetzt sieht es gut aus. Einzig der Hinweis: wenn beim Integrieren substituiert wird, müssen im gleichen Schritt - nicht später - die Integralgrenzen ersetzt werden. Sonst gilt das Gleichheitszeichen nicht.
Eine Rücksubstitution ist hier nicht nötig, denn auch ohne eine solche wurde gezeigt, dass das Integral den Wert 0 hat.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 16318

frage1 · Anmeldungsdatum: 20.02.2021 Beiträge: 567 Wohnort: bayern

Alles klar, die Integralgrenzen habe ich nun ausgebessert.
Könne wir noch die zweite Frage durchgehen? Die lautet ja nämlich: Welche Messwerte für den Impuls des Elektrons sind in einer Einzelmessung möglich?
Muss ich dafür einfach die Formel p= +- hk verwenden?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 16318

Was genau habt ihr denn dazu gelernt?

frage1 · Anmeldungsdatum: 20.02.2021 Beiträge: 567 Wohnort: bayern

TomS, ich habe die Frage schon in einem anderen Thread beantwortet.
Mehr zu den Observablen weiß ich leider auch nicht. Wir haben auch überprüft, ob eine Funktion Eigenfunktion zu einem Operator ist.

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5465

Ich bin da leider selber unsicher. Die möglichen Messergebnisse für den Impuls sind die Eigenwerte des Impulsoperators. Für Funktionen der Form

gilt

Dass k die Werte

annimmt, kann man sich vielleicht noch damit erklären, dass dann eine Linearkombination der

jeweils eine Eigenfunktion des Hamilton-Operators ergibt. Allerdings erfüllen diese Funktionen die Stetigkeitsbedingungen nicht, welche bei der Lösung der Schrödingergleichung verlangt wurden.

Das Umgekehrte, dass man aus Linearkombinationen der

(Eigenfunktionen des Hamilton-Operators) Eigenfunktionen des Impulsoperators zusammenbaut, scheint leider nicht so einfach zu gehen.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 16318

1) Die prinzipiell möglichen Messwerte einer Observablen entsprechen den Eigenwerten des zugehörigen Operators A.
2) Die Wahrscheinlichkeit des Auftretens eines Messwertes a im Zustand psi folgt aus

Ein Messwert kann nur dann auftreten, wenn die Wahrscheinlichkeit ungleich Null ist, also nur dann, wenn

In deinem Fall sind dies gerade die nicht-verschwindenden Koeffizienten in der Entwicklung.

Für welchen Zustand stellst du die Frage?

Achtung: es sind nur Funktionen erlaubt, die die Randbedingungen im Potentialtopf bei x=0 und x=a respektieren. Das sind nicht die e-Funktionen!

frage1 · Anmeldungsdatum: 20.02.2021 Beiträge: 567 Wohnort: bayern

Sind das dann nicht die Werte - ih A? Ich bin verwirrt.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 16318

Nochmal dazu:

frage1 · Anmeldungsdatum: 20.02.2021 Beiträge: 567 Wohnort: bayern

Nein, ich verstehe leider nicht warum dieser Zustand wichtig ist. Ich hab da noch Verständnisprobleme.
Der Impulsoperator lautet ja -ih d/dx. Ich muss ja diesen Operator auf die Funktion wirken lassen und überprüfen, ob die Funktion eine Eigenfunktion ist. Somit kommt man dann auch auf die Eigenwerte.

Außerdem kann ich auch nicht nachvollziehen warum die Amplituden innerhalb der Wände 0 sind. Und warum betrachtet man hier für den Erwartungswert des Impulses die Wände des Topfes? Ich hab da noch Verständnisprobleme. Könntest du mir das noch einmal in einfachen Worten erklären?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 16318

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 16318

Nochmal was grundsätzliches.

Du wirst das alles nicht dadurch verstehen, indem du Aufgaben rechnest.

Aufgaben zu rechnen hilft, den Stoff aus der Vorlesung anhand praktischer Beispiele besser zu verstehen und die Rechentechnik zu festigen.

Aufgaben zu rechnen hilft nicht dabei, ein konzeptionelles Verständnis zu erwerben - allenfalls, dieses zu festigen. Dazu musst du in der Lage sein, z.B. Fragen zu beantworten wie

Was ist die Bedeutung der Wellenfunktion?
Welcher Lösungen der Schrödingergleichung sind in einem bestimmten Fall physikalisch sinnvoll? Oder sinnlos?
Welche Bedeutung haben die Eigenwerte und Eigenfunktionen eines bestimmten Operators?
Wie ist ein Zustand mathematisch definiert? Was bedeutet das?
Welche Messwerte können in einem bestimmten Zustand auftreten? Mit welcher Wahrscheinlichkeit?
Was bedeutet der Übergang zwischen zwei Zuständen? Welche Regeln gelten dabei? Warum, bzw. welche physikalische Überlegung steckt dahinter?
Was ist in einem konkreten Fall überhaupt zu berechnen? Warum genau dieses? Warum nicht etwas anderes?

Dazu benötigst du eine gute Vorlesung, ein gutes Skript oder ein Buch. Außerdem hilfreich ist eine Lern- bzw. Diskussionsgruppe.

frage1 · Anmeldungsdatum: 20.02.2021 Beiträge: 567 Wohnort: bayern

TomS, ich möchte mich wirklich sehr bei dir bedanken für all deine Erlärungen!
Ich werde mir das alles noch verinnerlichen, aber momentan bleibt mir nichts anderes übrig als die Rechnungen zu verstehen.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 16318

M.M.n. zwar die falsche Reihenfolge … aber es ist deine Entscheidung.

frage1 · Anmeldungsdatum: 20.02.2021 Beiträge: 567 Wohnort: bayern

Natürlich ist das eine falsche Entscheidung, aber uns wurde ja nichts anderes beigebracht außer die Rechnungen zu verstehen... ich werde mir sowieso ein lehrbuch holen und mir den stoff beibringen, aber ich muss diese Aufgaben können und (momentan) die Rechnungen verstehen, da es sich zeitlich anders nicht mehr ausgeht...