Kommutator zweier Operatoren

Aristo · Anmeldungsdatum: 24.11.2017 Beiträge: 105

Meine Frage:
Hallo zusammen,
im Prinzip ist meiner Frage wie man genau von Punkt (4.6 ) auf (4.7 ) und (4.8 ) kommt. Das Distributivgesetz ist meiner Meinung nach überschritten. Wenn ich die Klammern auflöse bei (4.6) fehlen bei mir die entscheidenden Ausdrücke, die in 4.9 übrig bleiben:

Es geht um folgende Seite https://www.ph.tum.de/academics/bsc/break/2008s/fk_PH0007_02_course.pdf

Meine Ideen:
Irgendwelche Sonderregelungen bei Kommutatoren kenne ich nicht. Deshalb kann ich mir auch keinen Reim darauf machen wieso das Distributivgesetzt quasi überstrapaziert wird.
Der Rest ist klar.

Liebe Grüße und besten Dank im Voraus.

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5850

Du musst Dir rechts von den Operatoren jeweils eine Wellenfunktion denken, dann sieht man, dass die Produktregel angewendet werden muss. Für den ersten Term z.B.:

Aristo · Anmeldungsdatum: 24.11.2017 Beiträge: 105

Wenn rechts neben den Operatoren eine Wellenfunktion steht, wo ist die Wellenfunktion beim y d/dz ? Sprich:

denn eine Wellenfunktion neben dem Operator müsste ja an beiden 'haften' wenn man so will..
Und ich verstehe nicht, wo die anderen Summanden hin sind. Es sind schließlich 4 Multiplikationen mit partiellen Ableitungen -Stichwort Produktregel-, die nur einen zusätzlichen Summanden erzeugen.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18018

So:

Aristo · Anmeldungsdatum: 24.11.2017 Beiträge: 105

So bringe ich die Infos zusammen. Wo ist denn mein Fehler?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18018

Mir ist unklar, was der doppelte Index bedeuten soll, und woher plötzlich das Quadrat der Wellenfunktion kommt. Du hast einfach einen Kommutator, das ergibt eine Summe von Termen, die insgs. auf eine Wellenfunktion wirkt.

Aristo · Anmeldungsdatum: 24.11.2017 Beiträge: 105

Ich hatte es etwas verkürzt ausgeschrieben. Die Summer von Termen soll mein 2. Schritt darstellen. Das wirken der Wellenfunktion auf diese ist dargestellt durch das psi hinter der Klammer. Wenn ich dann aus multipliziere komme ich auf die 3. Zeile. Der doppelte Index war wenig bis gar nicht sinnvoll, sorry.
Was ich damit meinte war die multiplikation der Terme von Li mit denen von Lj:

Was mir jetzt genau fehlt ist das Verständnis, wie das psi in die Rechnung reingezogen wird. Jeder Operator wird mit psi multipliziert/ Jeder Operator wirkt auf Psi. Habe ich denn dann nicht eine partielle Ableitung von Psi multipliziert mit einer anderen partiellen Ableitung? Und ergäbe das dann nicht beispielsweise:

Gruß und danke für die Geduld.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18018

Aristo · Anmeldungsdatum: 24.11.2017 Beiträge: 105

Wenn aber doch erst aus multipliziert wird und der Term erst dann auf die Wellenfunktion wirkt, wie kann die Wellenfunktion eine Produktregel notwendig machen während noch aus multipliziert wird (4.7) (4.8 )?

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5850

Die Operatoren werden hintereinander ausgeführt und wirken immer auf alles, was rechts davon steht. Folgt auf den Differentialoperator ein Produkt, wie z.B. bei

, muss die Produktregel angewendet werden.

Schau sonst noch einmal das obige Beispiel für den ersten Term an, dann sollte es eigentlich klar sein. Die Produktregel spielt nur bei zwei Termen eine Rolle bzw. liefert nur dort einen zweiten Summanden, da bei den restlichen Termen

etc. gilt.

Aristo · Anmeldungsdatum: 24.11.2017 Beiträge: 105

Ich begreife nicht wie das psi in die Rechnung kommt. So wie es im Beispiel oben geschrieben wurde leuchtet es mir nicht ein. Entweder klammer ich es hinter jeden Operator von [A,B] oder hinter die Kommutation oder eben hinter das aus multiplizierte Ergebnis. In keinem der Fälle habe ich an einer partiellen ABleitung kein psi, aber an der anderen und muss deshalb eine Produktregel anwenden.

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5850

Der ganze Kommutator wirkt auf die Wellenfunktion, also

Die Klammern nach dem letzten Gleichheitszeichen wären nicht nötig, ich habe sie nur zur Verdeutlichung gesetzt.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18018

Aristo · Anmeldungsdatum: 24.11.2017 Beiträge: 105

Wie groß war das brett vor meinem Kopf.
Also: [AB] psi= (AB-BA)psi = A Bpsi - B Apsi
A wirkt im ersten Summanden auf ein Produkt. Je nach Produkt kommt es vor, dass man die Produktregel anwenden muss. -> dx (x dy psi) war das Beispiel.
Korrekt? Schläfer