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Jacqueline
Anmeldungsdatum: 07.03.2006
Beiträge: 1
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 Jacqueline Verfasst am: 07. März 2006 14:30 Titel: Erstes Keplersches Gesetz |
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Hi zusammen. Hab anfngs meine Frage im Matheboard gestellt und wurde jetzt hierher geschickt. Hoffe das is erlaubt. Also:
Ich schreibe z.Z. meine Facharbeit in Mathe und hab als Thema Kegelschitte. Mein Part in dieser Arbeit befasst sich dabei mit dem Ersten Keplerschen Gesetz, wonach sich die bekanntlich auf elliptischen Bahnen bewegen. Nun habe ich nach HAMMER die verschiedenen Bahnformen in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit gegeben. Dabei ergibt sich z.B. eine elliptische Umlaufbahn, wenn die Geschwindigkeit v mit 7,9 km/s < v < 11,2 km/s liegt.
Jetzt zu meiner eigentlichen Frage. Ich würde gerne einen Zusammenhang herstellen, zwischen der Geschwindigkeit v und der Exzentrizität e ( 0 < e < 1; für Ellipse).
Einerseits habe ich dazu die Formel für die kosmische Geschwindigkeit nach der ich die Geschwindigkeit berechnen kann nach der sich bsp die minimale kreisbahngeschwindkeit berechnen lässt. Andererseits fällt mir der entscheidene Denkanstoss um einen Zusammenhang zwischen der Abhängigkeit der Bahnform von der geschwindigkeit und der Ezxentrizität oder allgemein der allg. Gleichung des Kegelschnitts aufzustellen und einen gescheiten Beweis darzustellen.
Ich bekomme den Ansatz einfach nicht hin. Ich bin jetzt schon dazu übergegangen, dass ich die minimale Kreisbahngeschwindigkeit darstelle, dann die Exzentrizität einer beliebigen Umlaufbahn berechne und somit zeige , dass es sich um eine Ellipse handelt. Dabei bekomme ich nur leider keinen Übergang hin.
Hinter dem ganzen steht eigentlich nur , dass ich einen Beweis kontruieren will über den ich zeige um welchen Typ Umlaufbahn es sich handelt. Gibt es bessere Ansätze , vielleicht über Polarkoordinaten?
Bedanke mich für konstuktive Antworten bereits im vorraus  |
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
Beiträge: 5789
Wohnort: Heidelberg
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| as_string Verfasst am: 07. März 2006 16:38 Titel: |
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Hallo!
Ganz einfach ist das nicht, wenn ich Deine Frage richtig verstehe! Ich habe das in der Theoretischen Physik 1 Vorlesung gelernt und weiß es inzwischen selber nicht mehr... Allerdings kann ich mal aus meinem alten Kuypers da was zusammenschreiben, vielleicht hilft Dir das etwas:
Erstmal die Energie in Polarkoordinaten:
+V(r))
Wobei V das Potential ist, das erst später explizit eingesetzt wird. Wir wissen, dass die Energie E und der Drehimpuls eine Konstante sind. Das mit dem Drehimpuls will ich nicht nochmal extra herleiten, obwohl das eigentlich auch hier rein gehört... Man kann dann mit  (L ist der konstante Drehimpuls) die Gleichung für die Energie so schreiben:
)
nach  aufgelöst:
-\frac{L^2}{2mr^2}\right)})
Wenn man die Anfangsbed.  = r_0) verwendet, kann man die Zeit in Abhängigkeit des Radius so schreiben (ich finde den Schritt auch etwas umständlich und frage mich, ob das nicht auch anders ginge, aber im Kuypers isses so drin...)
 = \pm \int_{r_0}^r \frac{\text{d}r}{\sqrt{\frac{2}{m} \left(E-V(r)-\frac{L^2}{2mr^2}\right)}})
Wenn man hier die Anfangsbedingungen kennt, kann man das Integral lösen und nach r auflösen. Damit hat man dann r(t). Wenn man das hat, kann man auch ) angeben, indem man:
})
nach der Zeit integriert:
 = \frac{L}{m}\int_0^t\frac{\text{d}t}{r^2(t)} + \varphi_0)
wobei hier wieder das  die Anfangsbedingung für den Winkel ist.
Jetzt müssen wir noch zu einer Gleichung für r(phi) kommen, um wirklich eine Bahn zu bekommen, die man mit einer Ellipse identifizieren kann. Auch hier macht er wieder nicht r(phi) sondern erstmal die Umkehrfunktion phi(r):
Jetzt basteln wir also unsere bisherigen Ergebnisse, etwas modifiziert, zusammen, dann bekommen wir aus:
})
das hier:
und aus der Gleichung für t oben:
-\frac{L^2}{2mr^2}\right)}})
Naja, das jetzt gleichsetzen, nach d-phi auflösen und integrieren:
 = \pm \frac{L}{m}\int_{r_0}^r\frac{\text{d}r}{r^2\sqrt{\frac{2}{m}\left(E-V(r) -\frac{L^2}{2mr^2}\right)}})
Das war aber erst der erste Teil. Jetzt erst geht es um ein spezielles Potential, nämlich das Keplerpotential:
 = -\gamma\frac{mM}{r} = -\frac{\alpha}{r})
hier gleich mal ein paar Konstanten zusammengefaßt zu Alpha! Das kann man jetzt einfach in unsere allgemeine Formel für Phi(r) einsetzen und bekommt:
 = \pm\int\frac{\text{d}r}{r^2\sqrt{\frac{2mE}{L^2}+\frac{2m\alpha}{L^2r} -\frac{1}{r^2}}})
Nunja, das Integral müssen wir jetzt leider lösen. Er macht das mit einer Substitution u = 1/r und kommt dann auf:
 = \mp \int \frac{\text{d}u}{\sqrt{\frac{2mE}{L^2} + \frac{2m\alpha}{L^2}u - u^2}})
Jetzt verwendet er ein Standardintegral, mit einem quadratischen Polynom unter der Wurzel im Nenner, was dann auf einen arccos führt und so. Kann man sicher irgendwo nachschlagen oder einfach mit einem CAS ausrechnen. Auf jeden Fall wird das oben dann zu:
 = \varphi_0 \pm \arccos{\frac{\frac{L^2}{m\alpha}u-1}{\sqrt{1+\frac{2EL^2}{m\alpha^2}}}})
Das mußt man jetzt aber noch nach u auflösen:
}\right))
Jetzt definiert er noch ein p und ein Epsilon, um auch wirklich zu einer Ellipsengleichung zu kommen:
und bekommt dann:
}\right])
Gruß
Marco |
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Gast
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| Gast Verfasst am: 08. März 2006 13:35 Titel: |
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puhh ... danke erstmal nur jetzt brauch ich erstmal ein bißchen zeit um das zu verstehen, da meine Physik-Kenntnisse doch nicht allzu ausgepärgt sind und ich eher das auf mathematischer Ebene herleiten wollte...  |
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