variables C: Zeitdehnung klassisch ausrechnen

gustav · Gast

Ich bin vor kurzem auf die Idee gekommen, bei der Herleitung zu der Formel für die Zeitdehnung: t'=Wurzel(1-(v/c)^2)*t,

also von dieser bewegten Lichtuhr und den beiden Beobachtern, bei dem einer sich relativ zu der Lichtuhr in Ruhe befindet, der andere aber sich relativ zu ihr bewegt,

von KLASSISCHEN Gegebenheiten auszugehen, also ein variables C ( c+v, mit v = Geschw. der Lichtuhr ) anzunehmen.
Wenn ich dies tue, müsste ich doch bei der Herleitung zu der obengenannten Formel doch auf t'=t kommen.

Leider konnte ich auch nach langem Herumrechnen nicht zu diesem Ergebnis kommen :-(

Ich bitte deshalb inständig um Hilfe.

Gast

Wenn du von klassischen Gegebenheiten ausgeht, sagst du dass (v/c)^2<<1 ist.

Und damit folgt dann t'=t

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Was hast du denn raus für das Verhältnis t'/t ?

Ich denke, auch wenn du klassisch mit einer klassischen Geschwindigkeitsaddition rechnest, bekommst du einen anderen Wert für die Zeitdauer, die ein Lichtstrahl in der Lichtuhr vom einen Spiegel zum anderen und wieder zurück benötigt, als für eine ruhende Uhr.

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//edit: Ein klassicher Beobachter wird dies allerdings in der Tat nicht als Zeitdauerunterschied, sondern als Unterschied in der Lichtgeschwindigkeit interpretieren.
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Ich nehme an, du hast mit einer Lichtuhr gerechnet, bei der die Spiegel senkrecht zur Bewegungsrichtung der Lichtuhr stehen, das Licht also immer parallel bzw. antiparallel zur Bewegungsrichtung der Lichtuhr läuft (also klassich gesehen auf dem Hinweg die Geschwindigkeit c+v, und auf dem Rückweg die Geschwindigkeit c-v hat.)

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Ich denke, Gast hat dich nicht ganz richtig verstanden, mit klassisch meintest du wohl nicht, dass du Näherungsrechnungen machen möchtest.

Gast

Nur ist doch die gesamte klassische Physik eine Näherung der Relativistischen.

Davon abgesehen bin ich nicht sicher ob man aus der Formel für die Zeitdilatation (welche ja aus der Lorentztransformation folgt), einfach durch einsetzen eines "variablen c" wieder die klassische Rechnung rausbekommen kann.

Denn diese Formel rührt doch gerade daher, dass die klass. Geschwindigkeitsaddition nicht richtig ist.

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Ich gebe Gast recht, dass du nicht das klassische Ergebnis t=t' erhalten wirst, wenn du eine Lichtgeschwindigkeit von c+v ansetzt.

Das Verhältnis der Lichtgeschwindigkeiten im ruhenden und bewegten System kommt vielmehr als Ergebnis heraus, wenn man das auf klassische Weise durchrechnet.

Die interessante Frage lautet hier also: Welche Lichtgeschwindigkeit misst (berechnet) ein klassisch rechnenden Beobachter mit einer Lichtuhr, die sich mit Geschwindigkeit v bewegt?

Die zwei Spiegel der Lichtuhr haben den Abstand d.
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Klassische Rechnung bedeutet folgende Annahmen:
1.) Geschwindigkeiten addieren sich nichtrelativistisch (also nach der Galilei-Transformation)
2.) t=t' , das heißt, bewegte Uhren gehen genauso schnell wie ruhende, es gebe keine Zeitdilatation.
3.) d=d', das heißt, Abstände im bewegten und im ruhenden System seien gleich, es gebe keine Längenkontraktion.

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1.Fall: Das Licht in der Lichtuhr bewegt sich parallel (und antiparallel) zur Bewegungsrichtung der Uhr. (Die Spiegel der Uhr stehen also senkrecht zur Bewegungsrichtung der Uhr.) Das Licht habe in diesem bewegten Bezugssystem die Lichtgeschwindigkeit c'

Für den Hinweg vom einen Spiegel zum anderen (in Bewegungsrichtung der Uhr) braucht der Lichtstrahl die Zeit t'_{hin}

also ist :

also

Für den Rückweg braucht er die Zeit

also

Die Summe dieser Zeiten ist die Zeit t' für Hin- und Rückweg

Bei einer ruhenden Uhr (also im ruhenden Bezugssystem, in dem die Lichtgeschwindigkeit = c ist) ist die Zeit t für Hin- und Rückweg

Das Verhältnis zwischen diesen beiden Zeiten ist nach der klassischen Annahme = 1:

Also gilt nach dieser klassischen Betrachtung für das Verhältnis der Lichtgeschwindigkeiten im ruhenden und bewegten System:

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2. Fall: Die Spiegel der Lichtuhr stehen parallel zur Bewegungsrichtung der Uhr, die Uhr ist also gegenüber Fall 1 um 90° gedreht.

Dieser Fall ist derselbe wie die Betrachtung der Lichtuhr zur Herleitung der Zeitdilatation (daher gebe ich hier nur das Ergebnis an), nur dass der klassische Beobachter das Ergebnis als Unterschied in der Lichtgeschwindigkeit interpretiert:

Wie man sieht, erhält der klassische Beobachter im bewegten System je nach Richtung der Lichtausbreitung unterschiedliche Lichtgeschwindigkeiten. Genau diesen Geschwindigkeitsunterschied versuchte man im Michelson-Morley-Experiment nachzuweisen. (Man maß keinen Unterschied, obwohl die Messgenauigkeit besser als der hier berechnete Unterschied war, wenn man für v die Erdbahngeschwindigkeit einsetzt, und das war ein wichtiges experimentelles Argument dafür, dass eine neue Theorie erforderlich ist.)

gustav · Gast

...dann ist c' aber ( klassisch gesehen ) nicht mehr c+v, sondern es gilt
c' = 1/Wurzel(1-(v/c)^2)* c

oder gilt auch c'=c+v ????

...bin etwas verwirrt, wie ihr seht.

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Stimmt. Der Ausdruck für die Differenz der Lichtgeschwindigkeit, den die klassisch betrachtete Lichtuhr misst, ist komplizierter als dein c'=c+v. Denn in der Lichtuhr fliegt das Licht ja sowohl hin als auch her:

In der Herleitung oben für 1.) steckt für den Hinweg des Lichtes die Überlegung "Geschwindigkeit = c' - v", und für den Rückweg des Lichtes die Überlegung "Geschwindigkeit = c' + v". Also misst (siehe Herleitungen oben) der klassische Beobachter mit seiner Lichtuhr etwas komplizierteres als dein c'=c+v.

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Dein c'=c+v gilt also in der klassischen Betrachtung tatsächlich, aber nur auf einer Teilstrecke des Lichtes in der Lichtuhr. Die Lichtgeschwindigkeit, die die Lichtuhr insgesamt misst, ist aber eine andere, nämlich je nach Orientierung der Uhr zur Bewegungsrichtung gilt etwas zwischen den oben hergeleiteten Ergebnissen

und

gustav · Gast

Aber in der Herleitung oben für 2.) müsste doch c'=c+v gelten und nicht

c' = 1/Wurzel(1-(v/c)^2)* c

...sorry euch noch mal zu nerven, Leute

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Wenn du oben in der Herleitung für den 1. Fall die fünfte Formel von oben anschaust, dann siehst du, dass hier tatsächlich die klassisch addierte Geschwindigkeit (c'+v) vorkommt:

Das ist aber nur die klassisch beobachtete Lichtgeschwindigkeit für den Rückweg.

Auf dem Hinweg hat das Licht klassisch die Geschwindigkeit (c'-v).

Und die "effektive" "Gesamt"- Lichtgeschwindigkeit, die für den gesamten Hin- UND Rückweg des Lichtes zwischen den beiden Spiegeln die Laufzeit erklärt, ist demnach nicht einfach eine Summe oder eine Differenz, sondern durch den oben genannten komplizierteren Ausdruck gegeben.

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

gustav · Gast

@ dermarkus

vielen Dank !

Dann ist also ( klassisch gesehen ) c'=(c^2 + v^2)^1/2 ( nach Pythagoras ).

Ich glaube jetzt habe ich es geschnallt!

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Ja, das glaube ich auch! smile

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

In der fünften Formel von oben für den 1. Fall, die ich oben mal zitiert habe, hatte ich vergessen, "rueck" statt "hin" zu schreiben.

Und in Folge dessen hatte ich in den Beiträgen, die ich eben editiert habe, ein paar Striche bei den c's und einmal die Bezeichnung Hin- und Rückweg ein bisschen durcheinandergebracht.

Ich hoffe, diese Ungenauigkeiten meinerseits haben dein Verständnis der Beschreibung des 1. Falls nicht zu sehr erschwert, und möglicherweise findest du sie nun in der korrigierten Version noch ein bisschen einleuchtender.

Michisuperfreak · Anmeldungsdatum: 19.12.2006 Beiträge: 36

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5786 Wohnort: Heidelberg

Hallo!

So, wie man halt Brüche addiert: Hauptnenner finden (hier einfach das Produkt aus beiden Nennern, das funktioniert natürlich so wie so immer), Brüche passend erweitern und die Zähler der erweiterten Brüche addieren. Fertig! Zum Schluß wurde noch mit c'² gekürzt.

Gruß
Marco

Michisuperfreak · Anmeldungsdatum: 19.12.2006 Beiträge: 36

Also eigentlich habe ich es so gemacht, entweder ich hab mich total doof verrechnet oder ich stehe auf der Leitung.

Zumindest weiß ich jetzt, dass mein Weg nicht falsch war smile

Danke!

edit: Mein Hauptnenner ist doch c²-v²?

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5786 Wohnort: Heidelberg

Hallo!

Genau der Hauptnenner steht doch auch da. grübelnd

Dann musst Du den ersten Zähler mit dem multiplizieren, was im zweiten Nenner steht (das ist der Faktor, mit dem Du den ersten Bruch erweitern musst) und den zweiten Zähler mit dem ersten Nenner. Genau das steht da.

Gruß
Marco

//Edit: OK, bis auf den Strich... Augenzwinkern

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Michisuperfreak · Anmeldungsdatum: 19.12.2006 Beiträge: 36

Oh gott, mir ist aufgefallen, dass ich auf meinem Blatt Papier irgendwo c² anstannt c' geschrieben habe.

Jetzt ist natürlich alles klar! Danke