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Tastatur
Gast
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 Tastatur Verfasst am: 13. Nov 2015 16:57 Titel: Integration über geschlossenen kreisförmigen Integrationsweg |
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Meine Frage:
Hallo,
folgende Aufgabe:
Überprüfen Sie, ob folgende Kräfte konservativ sind, indem Sie  über den geschlossenen kreisförmigen Integrationsweg
 = \begin{pmatrix} a+rcos(\varphi ) \\ b+rsin(\varphi ) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} )
berechnen:
(a)  = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} )
und dann noch das selbe mit (y/x) und (-y/x).
Meine Ideen:
Also konservativ bedeutet ja, dass die Arbeit wegunabhängig ist. D.h. ich muss überprüfen, ob bei der Integration das r herausfällt?
Aber ich hab das mit der kreisförmigen Integration noch nie gemacht und keine Ahnung, wie man da vorgeht. Kann mir da jemand helfen?
Danke!! |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 13. Nov 2015 17:24 Titel: |
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Zunächst mal gehört jemand, der solche Aufgaben stellt, bestraft. Die Konservativität eines Vektorfeldes prüft man nicht, indem man über einen geschlossenen Weg integriert, was lediglich notwendig, aber nicht hinreichend ist, sondern indem man ein Potential findet oder die Integrabilitätsbedingungen  prüft und schaut, daß der Definitionsbereich keine Löcher hat.
| Zitat: |
Meine Ideen:
Also konservativ bedeutet ja, dass die Arbeit wegunabhängig ist. D.h. ich muss überprüfen, ob bei der Integration das r herausfällt?
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Nein, du mußt prüfen, ob das Integral über den geschlossenen Weg null ergibt. Wenn es nicht null ergibt, weißt du, daß das Feld nicht konservativ ist. Wenn es null ergibt, weißt du nichts weiter, außer, daß ein bestimmtes Integral null ergibt.
| Zitat: |
Aber ich hab das mit der kreisförmigen Integration noch nie gemacht und keine Ahnung, wie man da vorgeht. Kann mir da jemand helfen?
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Das Kurvenintegral ist so definiert
)\cdot \frac{\dd \vec{r}(\phi)}{\dd \phi}\dd\phi)
Das mußt du nur einsetzen über den Vollkreis integrieren. |
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Tastatur
Gast
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| Tastatur Verfasst am: 13. Nov 2015 17:39 Titel: |
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Hallo, danke für die Antwort!
ich versuchs mal:
... \\ r\cos(\varphi ) \end{pmatrix} \, \dd \varphi)
da hab ich jetzt eingesetzt r abgeleitet. Stimmt das so weit?
Muss ich dann noch für (x/y) nochmal die Angabe einsetzen und dann integrieren? |
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Tastatur
Gast
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| Tastatur Verfasst am: 13. Nov 2015 17:40 Titel: |
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da fehlt noch ein Minus vor dem sin(phi), sorry |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 13. Nov 2015 17:52 Titel: |
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| Tastatur hat Folgendes geschrieben: | Hallo, danke für die Antwort!
ich versuchs mal:
...
da hab ich jetzt eingesetzt r abgeleitet. Stimmt das so weit?
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Das, was da steht, stimmt mit Ausnahme des Minuszeichens. Du mußt allerdings noch die Kurve in das Vektorfeld einsetzen und das Skalarprodukt ausrechnen.
| Zitat: |
Muss ich dann noch für (x/y) nochmal die Angabe einsetzen und dann integrieren? |
Die Frage verstehe ich nicht. Was soll (x/y) sein? Wenn es noch ein zweites Vektorfeld gibt, mußt du das natürlich unabhängig prüfen. |
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Tastatur
Gast
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| Tastatur Verfasst am: 13. Nov 2015 18:43 Titel: |
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ja, das minus ist klar.
(x/y) soll der Vektor sein, für den ich die Kurve einsetzen soll, ich war nur zu faul, Latex zu benutzen.
Danke für die Hilfe, das habe ich verstanden! |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 14. Nov 2015 08:42 Titel: |
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Du meinst das Vektorfeld F? Wie sieht denn die Lösung aus? |
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Tastatur
Gast
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| Tastatur Verfasst am: 14. Nov 2015 09:31 Titel: |
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Also ich habe jetzt ein Ergebnis, so bin ich draufgekommen:
was im Allgemeinen ja nicht Null ergibt. Stimmt das so?? |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 14. Nov 2015 09:51 Titel: |
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Was heißt "im Allgemeinen"? Die Kurve beschreibt einen Vollkreis. In welchen Grenzen mußt du also über  integrieren? Was ergibt das bestimmte Integral? Der Ausdruck stimmt ja soweit. Du hast nur die Integrationsgrenzen nicht eingesetzt. |
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Tastatur
Gast
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| Tastatur Verfasst am: 14. Nov 2015 09:55 Titel: |
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ach so, muss ich also 0 und 2pi als Integrationsgrenzen einsetzen? |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 14. Nov 2015 09:59 Titel: |
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Du kannst auch  und  einsetzen. Das macht keinen Unterschied. Hauptsache die Kurve beschreibt einen kompletten Kreis. |
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