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snit
Anmeldungsdatum: 18.06.2012
Beiträge: 10
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 snit Verfasst am: 18. Jun 2012 07:54 Titel: Traegheit eines geschlossenen Rechtecks |
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Meine Frage:
Ich habe ein sehr dünnes Vierkantrohr mit unterschiedlichen Seitenlängen. An beiden Enden ist es geschlossen. Also quasi ein hohles und geschlossenes Rechteck. Jetzt möchte ich das Trgheitsmoment Formeltechnisch bestimmen. Ich habe nur die Formel für ein volles Quader gefunden:
}{12} )
Meine Ideen:
}{12})-(\varphi *a_2b_2c_2*\frac{(a_2^2+b_2^2)}{12})\\ )
Wobei bei sehr dünnem Material doch: a=a_2, b=b_2, c=c_2? Aber so komme ich nicht weiter....
Zuletzt bearbeitet von snit am 18. Jun 2012 11:17, insgesamt einmal bearbeitet |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 18. Jun 2012 08:21 Titel: |
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Geometrisch eine Quaderoberfläche mit den Seitenlängen a, b, c?
Welche (gedachte) Drehachse wurde gewählt? |
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snit
Anmeldungsdatum: 18.06.2012
Beiträge: 10
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| snit Verfasst am: 18. Jun 2012 08:26 Titel: |
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Hauptachse (Parallel zu c).
Ja ein Quader mit den Seiletenlängen abc. Nur ist das Quader ausgehölt. |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 18. Jun 2012 08:36 Titel: |
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Dann würde ich mir, zum Einstieg, eine der parallelen Seitenflächen skizzieren, einen schmalen Massestreifen davon ausschneiden, senkrecht zur Achse und davon dJ. Anschließend die Fläche komplett ... |
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snit
Anmeldungsdatum: 18.06.2012
Beiträge: 10
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| snit Verfasst am: 18. Jun 2012 09:14 Titel: |
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Geht das nicht einfacher mit dem oben genannten Ansatz? Bei deinem Ansatz soll ich im Prinzip für jede Fläche ein Integral bilden? Das scheint mir nicht zu liegen. Oder ich habe irgendwas nicht richtig verstanden. |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 18. Jun 2012 09:25 Titel: |
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Dann erläutere den Ansatz bitte. |
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snit
Anmeldungsdatum: 18.06.2012
Beiträge: 10
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18067
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| TomS Verfasst am: 18. Jun 2012 15:53 Titel: |
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snit, du hast zwei Möglichkeiten:
1) du berechnest den Trägheitstensor (die Trägheitsmomente) von ebenen Rechtecken bzgl. Rotationsachsen durch den Massenmittelpunkt; anschließend wendest du den Steinerschen Satz an: d.h. du verschiebst die Rechtecke bzgl. der Drehachse, so dass sie den gewünschten Körper bilden und berücksichtigst die Änderung der Trägheitsmomente gemäß dem Steinerschen Satz
2) du berechnest den Trägheitstensor eines Hohlquaders durch Subtraktion "großer Vollquader minus kleiner Vollquader"; dabei lässt du die Differenz der Kantenlängen der Quader geeignet gegen Null gehen, skalierst dabei jedoch die Massendichte so, dass die Gesamtmasse konstant bleibt.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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snit
Anmeldungsdatum: 18.06.2012
Beiträge: 10
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| snit Verfasst am: 19. Jun 2012 06:52 Titel: |
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Ich habe mal ein bißchen rumprobiert, bleibe aber hängen. Ich habe den 2.) Weg gewählt:
}{12}-\frac{a_2b_2c_2*(a_2^2+b_2^2)}{12}))
Jetzt die erste Frage: Ist zusammenfassen sinnvoll?
Wenn ich jetzt noch die Dichte ersetze habe ich:
Kann ich besser zusammenfassen oder es eher lassen? Beim annähern habe ich jetzt meine Probleme. Also abc=a_2b_2c_2
Oder ist der 1) Weg mit Steiner einfacher? |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 19. Jun 2012 07:08 Titel: |
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| snit hat Folgendes geschrieben: |  |
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snit
Anmeldungsdatum: 18.06.2012
Beiträge: 10
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| snit Verfasst am: 19. Jun 2012 08:20 Titel: |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18067
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| TomS Verfasst am: 19. Jun 2012 08:48 Titel: |
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Wir starten mit dem Trägheitsmoment des Vollquaders
 = \frac{1}{12}\rho\,V\,(a^2+b^2) = \frac{1}{12}\,\rho\,abc\,(a^2+b^2) )
Davon subtrahieren wir den inneren Vollquader mit identischer Massendichte und erhalten
 - \frac{1}{12}\,\rho\,a_2b_2c_2\,(a_2^2+b_2^2))
Nun muss für die Masse M gelten
 = \text{const} )
also
Damit folgt
 - a_2b_2c_2\,(a_2^2+b_2^2)}{abc - a_2b_2c_2} )
Jetzt musst du einen geeigneten Grenzübergang durchführen, in dem du die Dicke d der Wände gegen Null gehen lässt:
wobei x für a,b,c steht.
Damit folgt
 = \frac{M}{12}\,\frac{ abc\,(a^2+b^2) – (a-d)(b-d)(c-d)\,((a-d)^2+(b-d)^2)}{abc – (a-d)(b-d)(c-d)} )
Zuletzt berechnest du
 )
Dazu multiplizierst du Zähler und Nenner jeweils aus und sortierst nach Potenzen von d. Die d-unabhängigen Terme werden beim Ausmultiplizieren und Subtrahieren wegfallen. Aus den in d linearen Termen kürzt du d heraus; aus diesen erhältst du für d=0 das gesuchte Trägheitsmoment. Die Terme höherer Ordnung in d fallen dann beim Grenzübergang nach d=0 weg.
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 19. Jun 2012 09:05 Titel: |
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Interessante Vorgehensweise. Ich hätte es a la Lattenrost zusammengestoppelt.  |
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snit
Anmeldungsdatum: 18.06.2012
Beiträge: 10
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| snit Verfasst am: 19. Jun 2012 11:25 Titel: |
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??? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18067
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| TomS Verfasst am: 19. Jun 2012 12:27 Titel: |
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2a² im Zähler kann dimensionsmäßig nicht stimmen.
Schreib mal die Zwischenschritte auf; beginne dabei mal mit den Termen
(b-d)(c-d))
und
(b-d)(c-d)((a-d)^2+(b-d)^2))
Sortiere die Terme nach Potenzen von d; dabei kannst du bereits d² vernachlässigen; die relevanten Beiträge sind alle linear in d.
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snit
Anmeldungsdatum: 18.06.2012
Beiträge: 10
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| snit Verfasst am: 19. Jun 2012 14:38 Titel: |
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(b-d)(c-d))
und
^2+(b-d)^2)
Ich hoffe es reicht jetzt nur der Term mit d^1
ergibt
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18067
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| TomS Verfasst am: 19. Jun 2012 15:10 Titel: |
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bereits in deiner ersten Zeile fehlt ein in d linearer Term
Hinweis:
(b-d)(c-d) = abc - d(ab+ac+bc) + \mathcal{O}(d^2))
^2+(b-d)^2 = a^2 + b^2 - 2d(a+b) + \mathcal{O}(d^2))
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snit
Anmeldungsdatum: 18.06.2012
Beiträge: 10
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| snit Verfasst am: 21. Jun 2012 07:29 Titel: |
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Das letzte Zeichen vor dem (d^2) kenne ich nicht. Ist das einfach die Zusammenfassung von allen d Potenzen? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18067
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| TomS Verfasst am: 21. Jun 2012 08:18 Titel: |
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Ja.
O(d²) bedeutet "alle Terme der Ordnung d² und höher".
O(d²) steht für alle Terme mit d², d³, ... die du hier nicht betrachten musst, da bereits O(d) die relevanten Terme liefert und die anderen Terme O(d²) bei der Grenzwertbildung verschwinden.
Wie ich oben sagte, du hast ja Polynome in d im Zähler und im Nenner. Die nullte Ordnung O(d°) = O(1) dieser beiden Polynome verschwindet. Bsp. a² - (a-d)² = 0. Du benötigst die erste nicht-verschwindende Ordnung, das ist hier eben gerade die erste Ordnung O(d).
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snit
Anmeldungsdatum: 18.06.2012
Beiträge: 10
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| snit Verfasst am: 21. Jun 2012 09:15 Titel: |
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dann ein neuer Vorschlag für den Bruch
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18067
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| TomS Verfasst am: 21. Jun 2012 12:49 Titel: |
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Kann dimensionsmäßig nicht stimmen ... ich setze mich mal hin und rechne das (nochmal) aus. Aber du solltest hier ebenfalls mal die Zwischenschritte reinschreiben, damit man sieht, wo du Fehler machst.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18067
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| TomS Verfasst am: 21. Jun 2012 23:47 Titel: |
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Ein Lösungsansatz:
Wir starten mit
 = \frac{M}{12}\,\frac{ abc\,(a^2+b^2) - (a-d)(b-d)(c-d)\,((a-d)^2+(b-d)^2)}{abc - (a-d)(b-d)(c-d)} )
Nun folgt
 = \frac{M}{12}\,\frac{ abc\,(a^2+b^2) - (abc-d(ab+ac+bc)(a^2+b^2-2d(a+b)) + \mathcal{O}(d^2)}{abc - (abc-d(ab+ac+bc)) + \mathcal{O}(d^2)})
Nach Ausmultiplizieren, Wegfallen der Terme O(d°) und Kürzen von d folgt
 = \frac{M}{12}\,\frac{ (ab+ac+bc)\,(a^2+b^2) + 2\,abc\,(a+b) + \mathcal{O}(d)}{ ab+ac+bc + \mathcal{O}(d)})
und damit für d=0
\,(a^2+b^2) + 2\,abc\,(a+b) }{ ab+ac+bc })
Sieht reichlich kompliziert aus; kann das mal jemand nachprüfen?
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