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Messunsicherheit Fehlerrechnung
 
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MatzeK
Gast





Beitrag MatzeK Verfasst am: 29. Aug 2015 02:00    Titel: Messunsicherheit Fehlerrechnung Antworten mit Zitat

Meine Frage:
Hallo,
meine Frage ist folgende:
Angenommen, man hat eine Größe/Ergebnis y (z.B. Geschwindigkeit), die/das sich über eine Formel mittels mehrerer voneinander unabhängiger fehlerbehafteter Größen (z.B. hier: Weg und Zeit) bestimmen lässt, dann geht man ja wie folgt vor: man bestimmt den Mittelwert für jede gemessene Größe, berechnet jeweils die Standardabweichung und die Messunsicherheit und berechnet dann mit der Gaußschen Fehlerfortpflanzung (totales Differential) die Unsicherheit delta y für das Ergebnis.
Dies heißt doch aber nur: der wahre Wert der errechneten Größe y (im obigen Bsp. der Geschwindigkeit) liegt mit einer Wahrscheinlichkeit von 2/3 (~67%) im Intervall y+/- delta y, d.h. dass aber der wahre Wert noch immer mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/3 außerhalb, d.h. mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/6 unter dem angegebenen Intervall liegen kann, da ja nur einmal die Standardabweichung verrechnet wurde. (Zum Vergleich: y+/-2*sigma~ 95% und y+/-3*sigma~ 99,8%)
Wie muss ich nun vorgehen, wenn ich eine "fertige" Größe gegeben bekommen (von der ich nur weis, dass sie wie oben berechnet wurde, also für +/-1*sigma~67%) und folgende Frage dazu gestellt bekomme:
"Berechnen sie die Unsicherheit für das Ergebnis y= 10+/-0,3, bei der der wahre Wert des Ergebnisses nur noch mit einer Wahrscheinlichkeit von ~0,1% unterhalb der ausgewiesenen Fehlergrenze liegen kann."

Meine Ideen:
Kann ich dann ganz einfach wie folgt vorgehen:
Da ja die Unsicherheit nur für 1*+/-sigma gegeben ist und ich sie aber für 3*+/-sigma angeben soll, rechne ich einfach wie folgt:
0,3*3=0,9 => 10-0,9= 9,1 => mit einer Wahrscheinlichkeit von ~99,9% ist der wahre Wert des Ergebnisses nicht kleiner als 9,1 (oder anders: der wahre Wert des Ergebnisses kann nur noch mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,1% unter 9,1 liegen).
Ist dies korrekt, wenn ich die 0,3, die ja über das totale Differential berechnet wurde, einfach mit 3 multipliziere?
schnudl
Moderator


Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
Wohnort: Wien

Beitrag schnudl Verfasst am: 29. Aug 2015 09:37    Titel: Antworten mit Zitat

Zitat:
"Berechnen sie die Unsicherheit für das Ergebnis y= 10+/-0,3, bei der der wahre Wert des Ergebnisses nur noch mit einer Wahrscheinlichkeit von ~0,1% unterhalb der ausgewiesenen Fehlergrenze liegen kann."


und was heißt das nun genau?

Klar ist: Je größer man ein symmetrisches Intervall um den Mittelwert wählt, umso größer wird die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsgröße in dieses Intervall fällt. Was meint man aber in der Frage, wenn man sagt, dass der Wert einer Zufallsvariablen unterhalb einer Fehlergrenze liegt? Und was ist die "ausgewiesene Fehlergrenze" ? Ist damit 0,3 gemeint?


ich habe das Gefühl, dass diese Frage schlampig formuliert wurde...
Falls nicht, bin ich schon neugierig, wie andere die Frage interpretieren.

_________________
Wenn du eine weise Antwort verlangst, musst du vernünftig fragen (Goethe)
MatzeK
Gast





Beitrag MatzeK Verfasst am: 29. Aug 2015 13:36    Titel: Antworten mit Zitat

Vielen Dank, für die schnelle Antwort!
Ja, der Meinung bin ich auch, dass die Frage nicht ganz korrekt gestellt ist, sie stammt aus einem Praktikum; ich kann gerne noch ergänzen, um was es eigentlich ging, falls das zu einem besseren Verständnis beitragen sollte. Auch auf die Gefahr hin, dass es etwas viel Text wird...
Der Teil des Versuches, auf den ich mich beziehe war wie folgt: man sollte zunächst mittels Energiedispersiver Röntgenfluoreszenzanalyse mit einem Siliziumdriftdetektor im Rasterelektronenmikroskop den prozentualen Eisengehalt einer Probe mit unbekannter Zusammensetzung bestimmen, worauf man von einer über einen PC mit dem Detektor verbundenen Analysesoftware folgenden Wert für den prozentualen Eisenanteil der Probe erhielt: Fe= 10,0at% +/- 0,3at% (at%= Atomprozent)
D.h. die Software liefert letztendlich einen Wert für den gemessenen Fe- Gehalt der Probe +/- die Unsicherheit, die ebenfalls von der Software nach der Gaußschen Fehlerfortpflanzung ermittelt wurde, da die Menge an Fe in at% nicht direkt messbar ist, sondern nur indirekt aus mehreren messbaren Größen nach einer festgelegten mathematischen Beziehung ermittelt werden kann.
Die Software verwendet aber für die Fehlerrechnung nur ein Intervall von +/- 1* die Standardabweichung um den Mittelwert, d.h., dass der wahre Fe- Gehalt der Probe nur mit einer Wahrscheinlichkeit von 2/3, d.h. ~67% in dem von der Software angegebenem Intervall (9,7at% bis 10,3at%) liegt, das habe ich doch so richtig verstanden, oder?
Nun war die eigentliche Aufgabe/ Frage, ein Intervall um den Mittelwert (10,0at%) anzugeben, in dem der wahre Wert nicht bloß mit einer Wahrscheinlichkeit von ~67at% liegt, sondern mit einer Wahrscheinlichkeit von ~99,8%.
D.h., man muss doch einfach das Intervall von +/- 1* die Standardabweichung auf +/- 3* die Standardabweichung erweitern?
Kann man dann einfach +/- 0,3at% mit der Zahl 3 multiplizieren und dann folgende Aussage machen: Mit einer Wahrscheinlichkeit von ~99,8% liegt der tatsächlich wahre Wert des Fe- Gehaltes der Probe in einem Intervall von 10,0at% +/- 0,9at%, also zwischen 9,1at% und 10,9at%?
Oder geht dies nicht, dass ich die von der Software errechneten +/-0,3at%, einfach mit 3 multipliziere, da die +/-0,3at% von der Software über das totale Differential ermittelt wurden?
Ich hoffe, dass ich verständlich ausgedrückt habe, was ich meine...
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8261

Beitrag jh8979 Verfasst am: 29. Aug 2015 17:10    Titel: Antworten mit Zitat

Bis auf eine Kleinigkeiten(?) find ich die Frage sehr präzise. Aber vllt findet ihr auch, dass das keine Kleinigkeit ist:
Zitat:

"[i]Berechnen sie die Unsicherheit für das Ergebnis y= 10+/-0,3, bei der der wahre Wert des Ergebnisses nur noch mit einer Wahrscheinlichkeit von ~0,1% unterhalb der ausgewiesenen Fehlergrenze liegen kann.[i]"

"Der wahre Wert des Fe-Gehalt" wie Du es in Deiner zweiten Antwort schreibst, wäre hier die bessere (korrekte) Formulierung.

MatzeK hat Folgendes geschrieben:
Vielen Dank, für die schnelle Antwort!
Die Software verwendet aber für die Fehlerrechnung nur ein Intervall von +/- 1* die Standardabweichung um den Mittelwert, d.h., dass der wahre Fe- Gehalt der Probe nur mit einer Wahrscheinlichkeit von 2/3, d.h. ~67% in dem von der Software angegebenem Intervall (9,7at% bis 10,3at%) liegt, das habe ich doch so richtig verstanden, oder?

Das ist richtig (sofern wir der Software trauen können Augenzwinkern ).
Zitat:

D.h., man muss doch einfach das Intervall von +/- 1* die Standardabweichung auf +/- 3* die Standardabweichung erweitern?
Kann man dann einfach +/- 0,3at% mit der Zahl 3 multiplizieren und dann folgende Aussage machen: Mit einer Wahrscheinlichkeit von ~99,8% liegt der tatsächlich wahre Wert des Fe- Gehaltes der Probe in einem Intervall von 10,0at% +/- 0,9at%, also zwischen 9,1at% und 10,9at%?

Auch das ist korrekt (zumindest als gute Näherung/modulo Rundungsfehler).
MatzeK
Gast





Beitrag MatzeK Verfasst am: 29. Aug 2015 18:59    Titel: Antworten mit Zitat

Super, vielen herzlichen Dank für die schnelle Antwort! Das hat mir sehr geholfen! Thumbs up!
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