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Klausurvorbereiter
Gast
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 Klausurvorbereiter Verfasst am: 30. Jan 2015 14:43 Titel: Retardiertes, skalares Potential (Rechenschritt) |
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Hallo!
Die Aufgabe ist das Berechnen des skalaren Potentials einer Ladungsdichte in Lorenzeichung, also retardierte Potentiale. Das Prinzip ist im Wesentlichen klar, ich hänge nur an einem Rechenschritt.
Im Folgenden lasse ich die Vektorpfeile der Einfachheit halber bzgl. Formeltippen weg. Bei allen Ortsvektoren gehören natürlich Vektorpfeile dazugedacht und  sei auch ein Vektor.
 = \frac{cos(w[t-\frac{1}{c}|r-r'|])-1}{|r-r'|})
 d_0 \nabla \cdot \delta(r'-r_0) \, \dd^3 r' ) __________(1)
Hier wird partielle Integration angewandt. Also:
 d_0 \delta(r'-r_0)) \, \dd^3 r' - \int_V \! d_0 \delta(r'-r_0) \nabla f(|r-r'|) \, \dd^3 r') __________(2)
Jetzt wird gesagt dass der 1. Term verschwindet, weil das Vektorfeld im Unendlichen verschwindet. Die Argumentation verstehe ich nicht so recht. Dann würde doch bereits (1) komplett 0 werden?
Erklärungsversuch: Es muss mit der dazugekommenen Divergenz im ersten Term von (2) zu tun haben. Divergenz im Volumenintegral => Satz von Gauß. "Der Fluss des Vektorfeldes durch die Oberfläche von V." Da aber V der gesamte Raum ist (also einschließlich gaaaaaaaanz weit weg, für  ) und das Vektorfeld für "gaaaaanz weit weg" immer schwächer wird (im Unendlichen eben 0), fließt da exakt 0 aus der Oberfläche.
Ist das richtig? Kann man dann allgemein sagen dass jedes Vektorfeld dass schneller als  abfällt keinen Fluss ermöglicht wenn über den gesamten Raum integriert wird? 
Nebenfrage. "Potentiale in Lorenz-Eichung" und "retardierte Potentiale" sind synonym, oder? Maxwellgleichungen in Lorenzeichung implizieren entkoppelte Wellengleichungen für das skalare und vektorielle Potential und deren Lösungen sind immer retardiert (oder avanciert)?
Merci. |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
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| jh8979 Verfasst am: 30. Jan 2015 15:42 Titel: Re: Retardiertes, skalares Potential (Rechenschritt) |
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| Klausurvorbereiter hat Folgendes geschrieben: |
Erklärungsversuch: Es muss mit der dazugekommenen Divergenz im ersten Term von (2) zu tun haben. Divergenz im Volumenintegral => Satz von Gauß. "Der Fluss des Vektorfeldes durch die Oberfläche von V." Da aber V der gesamte Raum ist (also einschließlich gaaaaaaaanz weit weg, für ) und das Vektorfeld für "gaaaaanz weit weg" immer schwächer wird (im Unendlichen eben 0), fließt da exakt 0 aus der Oberfläche.
Ist das richtig?
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Ja.
| Zitat: | Kann man dann allgemein sagen dass jedes Vektorfeld dass schneller als abfällt keinen Fluss ermöglicht wenn über den gesamten Raum integriert wird?
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Weiss nicht ganz was "Fluss ermöglicht" heissen soll, aber Oberflächenintegrale über Vektorfelder(*) die schneller als 1/r^2 abfallen, verschwinden im Unendlichen, falls das die Frage ist.
| Zitat: |
Nebenfrage. "Potentiale in Lorenz-Eichung" und "retardierte Potentiale" sind synonym, oder? Maxwellgleichungen in Lorenzeichung implizieren entkoppelte Wellengleichungen für das skalare und vektorielle Potential und deren Lösungen sind immer retardiert (oder avanciert)?
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Ja.
(*) Kleine Korrektur meiner Autokorrektur. Danke Steffen 
Zuletzt bearbeitet von jh8979 am 30. Jan 2015 18:23, insgesamt 2-mal bearbeitet |
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Klausurvorbereiter
Gast
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| Klausurvorbereiter Verfasst am: 30. Jan 2015 16:15 Titel: |
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Na ja, beim Satz von Gauß stellt man sich ja eine Divergenz (Quelldichte) eines Vektorfeldes im Volumen vor und das entspricht gleich dem Fluss (Vektor mal Fläche) durch die Oberfläche des Volumens. "Fluss ermöglicht" heißt dann, wenn das Vektorfeld im Unendlichen 0 ist, dann kann es auch keinen Fluss durch die Oberfläche (im Unendlichen) geben. Damit wird das Integral 0.
Ich habe jetzt vielleicht nur noch nicht so ganz begriffen wieso in meinem konkreten Fall das Vektorfeld schneller als 1/r^2 abfällt. Hat mein f nicht die Dimension 1/r? |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
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| jh8979 Verfasst am: 30. Jan 2015 18:20 Titel: |
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Da steht ja noch mehr als nur f als Randterm |
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Klausurvorbereiter
Gast
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| Klausurvorbereiter Verfasst am: 30. Jan 2015 19:50 Titel: |
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Ist 1/r^4 richtig? Dreidimensionale Delta-Distribution mit 1/r^3, oder? |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
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| jh8979 Verfasst am: 31. Jan 2015 09:31 Titel: |
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Was ist denn ) fuer  ? |
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Klausurvorbereiter
Gast
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| Klausurvorbereiter Verfasst am: 31. Jan 2015 14:40 Titel: |
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Na ja, die Delta-Distribution ist für  = 0) für alle  . |
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