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KAvonnichts
Gast
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 KAvonnichts Verfasst am: 14. Jan 2006 15:38 Titel: Trägheitsmoment eines Zylinders |
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Kann mir jemand erklären wie ich Das trägheitsmoment eines homogenen Vollzylinder herleite, der senkrecht zu seiner Körperachse im Schwerpunkt rotiert?
ich weis nähmlich nicht wie ich den abstand aller Punke zur drehachse beschreiben soll und nach welchen variablen man integrieren muss!!
schonmal danke im voraus;)
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 14. Jan 2006 16:47 Titel: |
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Hallo,
SENKRECHT zur Körperachse.
Ja, das ist nicht ganz leicht.
Ich erinnere mich vage, dass man da wohl in x, y, z - Koordinaten rechnen muss, wobei die Integrationsgrenzen von den anderen Variablen abhängen, über die dann in den weiter außen stehenden Integralen integriert wird.
Und der Abstand wäre dann die Wurzel nach Pythagoras.
Viele Grüße, dermarkus
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11460 mal |
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Zuletzt bearbeitet von dermarkus am 14. Jan 2006 18:08, insgesamt 2-mal bearbeitet |
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
Beiträge: 5786
Wohnort: Heidelberg
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| as_string Verfasst am: 14. Jan 2006 17:23 Titel: |
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Hallo!
Am leichtesten ist es, erstmal J von einer (flachen) Kreisscheibe bestimmen mit Drehachse in der Kreisebene. Dann kannst Du infinitesimal dünne Kreisscheiben nebeneinander "anordnen". Das Trägheitsmoment ergibt sich dann nach dem Steiner'chen Satz für jede einzelne Scheibe. Das aufintegriert ist dann Dein Gesamtträgheitsmoment.
Also erstmal Kreisscheibe. Leider probier' ich jetzt da auch schon eine Weile rum und bekomm' meine Integrale nicht gelöst... Muß nachher nochmal schauen. Das Traägheitsmoment ist auf jeden Fall (aus Formelsammlung):
Wenn Du das hast, dann kannst Du das hier schreiben:
 \text{d}z = \left[\frac{1}{4}\cdot \frac{m}{l} r^2 z\right]_{-\frac{1}{2}l}^{\frac{1}{2}l} + \left[\frac{1}{3}\cdot \frac{m}{l}z^3\right]_{-\frac{1}{2}l}^{\frac{1}{2}l} = \frac{1}{4}mr^2+2\left(\frac{1}{3}m\frac{1}{8}l^2\right) = \frac{1}{12} m \left(3r^2+l^2\right))
Ich schau mir das nachher nochmal mit der Kreisscheibe an.
Gruß
Marco
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Sciencefreak
Anmeldungsdatum: 30.11.2004
Beiträge: 137
Wohnort: Gemeinde Schwielosee
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| Sciencefreak Verfasst am: 14. Jan 2006 18:56 Titel: |
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Euer Lösungsansatz führt auch zum Ziel, aber ich würde es leichter finden, wenn man einen Stab nimmt und dazu dann den Satz von Steiner, damit sieht das ganze viel leichter aus und die Herleitung ist auch übersichtlicher 
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para
Moderator
Anmeldungsdatum: 02.10.2004
Beiträge: 2874
Wohnort: Dresden
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
Beiträge: 5786
Wohnort: Heidelberg
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| as_string Verfasst am: 14. Jan 2006 19:04 Titel: |
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Klingt interessant, aber ich kann mir im Moment leider nichts drunter vorstellen. Könntest Du das mal (grob) posten? Ich hab' das Trägheitsmoment der Scheibe nämlich immer noch nicht raus.
Wie war das eigentlich noch mal mit den Hauptträgheitsachsen. Bei einer Scheibe ist die eine ja in Scheibenachsen Richtung und die anderen Beiden dann eben die gesuchten. Ich kann mich irgendwie ganz finster dran erinnern, dass es einen Zusammenhang gab von den Trägheitsmomenten der einzelnen Achsen. Da man ja wegen Symmetrie weiß, dass die beiden Hauptachsen in der Kreisebene das selbe Tragheitmoment haben und das der Achse 1/2 mr^2 ist (was ja wirklich leicht zu berechnen ist), könnte man sich damit vielleicht sogar die Berechnung des Integrals ganz sparen... So nach dem Motto: J1 = J2+J3, aber das wird wahrscheinlich nicht allgemein stimmen... Ich kann mich nicht mehr erinnern!
Gruß
Marco
Edit: Ich meinte übrigens den vorletzten Post von Sciencefreak. para: Du bist mir etwas zuvor gekommen...
@para: Ja, das ist genau mein Problem. Dieses Integral habe ich jetzt schon sonst wie mißhandelt und das ganze auch schon mit Polarkoordinaten probiert (da komm ich irgendwie auf sinus-quadrat mal cosinus-quadrat, was auch nicht wirklich schön ist... wobei das aber wahrscheinlich sogar eher lösbar sein könnte)
Nochmal edit: @para: Hast Du ein CAS mal da? Mich würde die Stammfunktion interessieren von dem Wurzel aus Differenz Teil. Ich glaube, das ist ein ziemliches Standardintegral, aber ich habe weder Bronstein noch CAS zur Hand. Außerdem würde dann noch die Frage bleiben, wie man da zum Teufel eigentlich drauf kommt!
Und schon wieder edit:
@Sciencefreak: Ich glaube, ich kann Deinen Ansatz jetzt nachvollziehen. Aber man kommt da wieder auf das selbe Quadrat dann, oder? Dann halt beim Steiner'chen Satz, wenn man die Stangen versetzt...
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Gast
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| Gast Verfasst am: 14. Jan 2006 20:08 Titel: |
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Also so wirklich das Standardintegral ist das mit der Wurzel nicht. Beim Reziproken wäre der Arcussinus angebracht, aber so äußert sich Derive in der Art und Weise:
 + s \cdot \sqrt{r^2 - s^2}\right))
... und das unbestimmte Integral der Wurzel multipliziert mit s² sieht auch nicht so aus, als ließe es sich freundlicherweise mit einem einfachen Trick herleiten.
 + s \cdot \sqrt{(r^2-s^2)(r^2 - 2s^2)}\right))
Es ist eben fraglich, ob herleiten das Integrieren von Hand einschließt.
[wie jetzt, nicht eingeloggt?!?! - mein post, para]
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
Beiträge: 5786
Wohnort: Heidelberg
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| as_string Verfasst am: 14. Jan 2006 20:15 Titel: |
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Hoppla! Na da könnte ich ja lange rechnen!!!
Danke für die Info!
Gruß
Marco
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 14. Jan 2006 20:29 Titel: |
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Hallo,
eine nette online-Möglichkeit zum Knacken von bösen Integralen
(finden von auch etwas ungewöhnlicheren Stammfunktionen) ist
die folgende Mathematica-Seite:
http://integrals.wolfram.com/index.jsp
beispielweise auch für die Stammfunktion von sqrt{1-x^2}, mithilfe derer man hier von Hand durchkommen dürfte:
 \right) )
Viele Grüße, dermarkus
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
Beiträge: 5786
Wohnort: Heidelberg
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| as_string Verfasst am: 14. Jan 2006 20:55 Titel: |
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Oh, supercool!!! Vielen Dank! Nach so was hatte ich schon gesucht, weil ich keine Lust auf Raubkopien habe und auch der Studentenpreis mir etwas zu hoch ist von Mathematica. Ich habe zwar irgendwo noch MuPAD, was mir eigentlich auch ausreicht, aber auch nicht installiert im Augenblick.
Gruß
Marco
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
Beiträge: 5786
Wohnort: Heidelberg
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| as_string Verfasst am: 15. Jan 2006 20:25 Titel: |
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Ich hab's doch noch raus!
Also: Trägheitsmoment einer homogenen Kreisscheibe mit Rotationsachse in Kreisebene liegend:
Ich verwende Polarkoordinaten (siehe Zeichnung...) Ich will theta von 0 Grad bis Pi/2 integrieren (also nur im ersten Quadranten) und brauche dafür die Fläche eines infinitesimalen Streifens und auch dessen Abstand zur Drehachse.
Die Breite eines Streifens ist:
die Höhe (von ganz unten bis ganz oben, deshalb Faktor 2) ist:
also:
 \text{d}\vartheta)
Der Abstand zur Achse ist:
Die Flächendichte brauche ich auch noch:
Da ich jetzt nur die rechte Hälfte habe kommt nochmal ein Faktor 2 dazu.
Mein Trägheitsmoment ist dann:
Da jetzt alles einsetzen, dann kommt man auf:
Aha... schon wieder so ein doofes Integral! Aber diesmal kann ich's lösen! Allerdings schau ich erstmal bei dem coolen Link von dermarkus vorbei (Danke nochmal!) und bekomme für:
)
geboten. Das sieht doch schon halbwegs menschlich aus. Wie man darauf kommt, zeige ich dann unten noch, aber erstmal wollen wir doch mal das Trägheitmoment fertig rechnen!
Wenn man das jetzt verwenden, kommt man auf:
 = \frac{1}{4}mr^2)
Die Freude ist schonmal groß, weil das ja genau das gesuchte Trägheitsmoment ist.
Aber jetzt kommt nochmal ein Brocken, wenn man die Stammfunktion wirklich selber berechnen will. Dazu muß man sich ein wenig mit komplexen Zahlen auskennen. Vor allem muß man wissen, dass das hier gilt:
und:
Das jetzt noch her zu leiten lohnt nicht so recht, weil das ne ziemliche Standardsache bei komplexen Zahlen ist und wir wollen es hier jetzt auch nicht übertreiben mit dem Herleiten, oder?
Die Quadrate sind dann (kann man einfach ausrechnen wie mit normalen Zahlen auch und muß dann halt noch wissen, dass i*i = -1 ist):
)
)
dann ist cos^2 mal sin^2:
 \\ = -\frac{1}{16} \left( e^{4i\vartheta} - 2 + e^{-4i\vartheta} \right) = \frac{1}{8} \left(1 - \cos{4\vartheta}\right))
Ja, ich weiß... es gibt Leute die diverse Additionstheoreme auswendig wissen und so weit ich weiß ist das hier mit dabei... Aber ich muß so was immer ausrechnen.
Aber in dieser Form ist es jetzt wirklich leicht zu integrieren. Einfach konstanter Faktor vorgezogen, Differenz aufgetrennt und dann 1 und cos integriert. Bei der Cosinus-Integration muß man eigentlich noch die 4 Theta substituieren, wenn man es genau nimmt, aber dass da einfach 1/4 nach vorne kommt kann man vielleicht auch so sehen. Naja, alles in allem hat man dann eben die Stammfunktion wie oben schon geschrieben...
Ist doch geil, oder? 
Gruß
Marco
| Beschreibung: |
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| Dateigröße: |
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| Angeschaut: |
10425 mal |
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Mojo
Anmeldungsdatum: 04.09.2019
Beiträge: 16
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| Mojo Verfasst am: 08. Sep 2019 15:24 Titel: |
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Moin,
ich roll das ganze hier nochmal auf.
Toll wie ihr beschrieben habt wie man das Trägheitsmoment der Scheibe berechnet  danke!!
Aber ich komm nicht dahinter wie ich das mit Steiner aufintegrieren soll.
| as_string hat Folgendes geschrieben: |
Am leichtesten ist es, erstmal J von einer (flachen) Kreisscheibe bestimmen mit Drehachse in der Kreisebene. Dann kannst Du infinitesimal dünne Kreisscheiben nebeneinander "anordnen". Das Trägheitsmoment ergibt sich dann nach dem Steiner'chen Satz für jede einzelne Scheibe. |
Es soll ja heißen 
wie und was soll ich integrieren, damit ich aus  dann  herausbekomme??
Danke vielmals
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5873
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| Myon Verfasst am: 08. Sep 2019 20:56 Titel: |
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as_string hat in seinem ersten Beitrag die Rechnung ausführlich aufgeschrieben. Vielleicht nochmals mit Worten: hat man einen Zylinder der Länge l, Radius r und Masse m, dann hat eine dünne Scheibe der Dicke dz die Masse m/l*dz und ein Massenträgheitsmoment bezüglich einer Drehachse, welche in der Scheibenebene liegt und durch den Scheibenmittelpunkt geht, von
Eine Kreisscheibe des Zylinders, welche im Abstand z von der Zylindermitte liegt, liefert den Beitrag
Um das Trägheitsmoment des ganzen Zylinders zu erhalten, muss von z=-l/2 bis z=l/2 integriert werden.
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). Aber ein CAS-System sagt, dass dieses Integral genau ergibt:
