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Schwerpunkt eines Zylinders
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Mulder



Anmeldungsdatum: 01.11.2007
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Beitrag Mulder Verfasst am: 16. Jan 2008 21:11    Titel: Schwerpunkt eines Zylinders Antworten mit Zitat

Hallo,

wir sollen Trägheitsmoment und Schwerpunkt eines Vollzylinders mit dem Radius R und der Höhe H bestimmen. Das Trägheitsmoment haben wir, aber beim Schwerpunkt haben wir ein Problem.

Die Dichte nimmt mit zunehmender Höhe zu:

und

Die beiden Werte sind gegeben, die Dichte nimmt also mit zunehmender Höhe linear zu. Kann man also bestimmt irgendwie mit Integration bestimmen. Leider fehlt uns die Formel, die wir dafür benötigen.

Kann uns da jemand ein wenig weiter helfen? smile
dermarkus
Administrator


Anmeldungsdatum: 12.01.2006
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Beitrag dermarkus Verfasst am: 16. Jan 2008 23:38    Titel: Antworten mit Zitat

Kennt ihr schon die Formel für den Schwerpunkt, wenn es sich um den Schwerpunkt mehrerer Massenpunkte handelt? Also so etwas:



?

Und wollt ihr mal versuchen, daraus zu schließen, wie so eine Formel als Integral aussieht, wenn es sich statt dessen um viele infinitesimal dünne Massestückchen handelt, die da, mit ihrer Position multipliziert, im Zähler addiert werden?
Mulder



Anmeldungsdatum: 01.11.2007
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Beitrag Mulder Verfasst am: 17. Jan 2008 01:20    Titel: Antworten mit Zitat

dermarkus hat Folgendes geschrieben:
Und wollt ihr mal versuchen, daraus zu schließen, wie so eine Formel als Integral aussieht [...] ?


Genau da liegt nämlich das Problem... Augenzwinkern

Wie mag das aussehen? Also, die Dichte nimmt linear zu, also inegriert man eventuell über eine Gerade, wenn man so will?

Der Schwerpunkt wäre ja

(hattest du ja schon geschrieben...)

Sorry, ich weiß es wirklich nicht... ich würde irgendwas quadratisches erwarten, aber wie genau ich das angehen müsste... und vor allem, was ich mit dem Bruch machen müsste, weiß ich wirklich nicht. unglücklich
dermarkus
Administrator


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Beitrag dermarkus Verfasst am: 17. Jan 2008 01:27    Titel: Antworten mit Zitat

Das Summenzeichen ist schonmal der erste Fortschritt smile

Im Nenner steht ja nun nichts anderes als die Summe aller einzelnen Massen, das ist ja die Gesamtmasse M. Damit hätten wir also schonmal



Nun bleibt also nur noch, die Summe in ein Integral umzuwandeln. Dazu zerschneiden wir den Zylinder mal in Stückchen der Dicke

Wie groß ist dann die Masse eines solchen Scheibchens, wenn du die Querschnittsfläche des Zylinders und seine Massendichte in Abhängigkeit von der Höhe kennst?
Mulder



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Beitrag Mulder Verfasst am: 17. Jan 2008 02:29    Titel: Antworten mit Zitat

dermarkus hat Folgendes geschrieben:
Wie groß ist dann die Masse eines solchen Scheibchens, wenn du die Querschnittsfläche des Zylinders und seine Massendichte in Abhängigkeit von der Höhe kennst?


Also... Die Querschnittsfläche mit kennt man ja. Könnte man dies ebenfalls vor das Integral ziehen? Das ändert sich ja mit H nicht.
Allerdings nage ich immer noch an dem ...
Wenn ich mir das grafisch (Steigungsdreickk, wenn man so will) anschaue, gehe ich ja, wenn ich "um H nach rechts" gehe, um nach oben.

Da würde ich sagen, dass die Dichte abhängig von H dann so aussieht:

Oh weh... ich mache es mir bestimmt wieder viel komplizierter, als es eigentlich ist...
dermarkus
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Beitrag dermarkus Verfasst am: 17. Jan 2008 10:32    Titel: Antworten mit Zitat

Du bist genau auf der richtigen Spur smile

Als nächstes geht es in der Tat darum, die Funktionsgleichung für das aufzustellen. Und zwar so, dass

und

ist und dass die Funktionsgleichung zwischen diesen beiden Punkten eine Gerade ist.

Erfüllt dein bisheriges diese Bedingungen? Falls nein, versuch mal, es solange zu verändern, bis es passt!

Oder lies an deiner Skizze die Geradengleichung für das ab: Was genau ist der y-Achsenabschnitt der Geraden, und was genau ist ihre Steigung, die du an deinem Steigungsdreieck abliest?
Mulder



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Beitrag Mulder Verfasst am: 17. Jan 2008 16:53    Titel: Antworten mit Zitat

Also das ganze sieht doch so aus, wie in dem Attachment, das ich jetzt mal anhänge.

Wenn ich um H nach rechts gehe, gehe ich um p_0 nach oben.
Und dann würde ich sagen, dass die Dichte abhängig von der Höhe x lautet:



Oder nicht? grübelnd



dichte.JPG
 Beschreibung:
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dichte.JPG


dermarkus
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Beitrag dermarkus Verfasst am: 17. Jan 2008 17:09    Titel: Antworten mit Zitat

Einverstanden smile

Wie lautet damit die Masse so einer herausgeschnittenen Scheibe? Und was steht damit also insgesamt in unserer Formel für ?
Mulder



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Beitrag Mulder Verfasst am: 17. Jan 2008 17:14    Titel: Antworten mit Zitat

dermarkus hat Folgendes geschrieben:
Einverstanden smile

Wie lautet damit die Masse so einer herausgeschnittenen Scheibe?

Und was steht damit also insgesamt in unserer Formel für ?




Ich muss nun über das integrieren? Der Rest kann doch vor das Integral, oder?
dermarkus
Administrator


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Beitrag dermarkus Verfasst am: 17. Jan 2008 17:22    Titel: Antworten mit Zitat

Mulder hat Folgendes geschrieben:



Das stimmt noch nicht ganz, da fehlt noch die Dicke (= Höhe) der Scheibe.
Mulder



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Beitrag Mulder Verfasst am: 17. Jan 2008 17:25    Titel: Antworten mit Zitat

dermarkus hat Folgendes geschrieben:
Das stimmt noch nicht ganz, da fehlt noch die Dicke (= Höhe) der Scheibe.


Die ist doch dx, oder nicht? Also darüber integrieren?



So etwa? grübelnd
dermarkus
Administrator


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Beitrag dermarkus Verfasst am: 17. Jan 2008 17:27    Titel: Antworten mit Zitat

Ja, die ist dx. Aber nicht so schnell, schreib das erst einmal sauber in unsere Formel, bevor du anfängst, dir dann zu überlegen, was das dann für ein Integral ergibt, und über was dann da integriert werden muss.

Also mit allen erforderlichen Klammern, und erst noch mal mit dem Summenzeichen von oben.
Mulder



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Beitrag Mulder Verfasst am: 17. Jan 2008 17:29    Titel: Antworten mit Zitat



Irgendwie bescheuert.... Big Laugh

Edit: Ach so, mit Summenzeichen... Moment!
Mulder



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Beitrag Mulder Verfasst am: 17. Jan 2008 17:36    Titel: Antworten mit Zitat

Wäre das dann sowas hier:



?

Irgendwie weiß ich jetzt wieder nicht, was ich mit dem "x" aus der Formel für die Masse machen soll...
dermarkus
Administrator


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Beitrag dermarkus Verfasst am: 17. Jan 2008 17:40    Titel: Antworten mit Zitat

Mulder hat Folgendes geschrieben:



Schau mal genau hin, du hast noch was vergessen smile
Mulder



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Beitrag Mulder Verfasst am: 17. Jan 2008 17:42    Titel: Antworten mit Zitat

Ach so... die Dicke wieder? dx?



So?

Oder immer noch falsch?
dermarkus
Administrator


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Beiträge: 14788

Beitrag dermarkus Verfasst am: 17. Jan 2008 17:50    Titel: Antworten mit Zitat

Mulder hat Folgendes geschrieben:
Ach so... die Dicke wieder? dx?



Einverstanden, jetzt haben wir alles beieinander smile

Magst du nun am besten die Faktoren, die da stehen, so ordnen, dass das ganz hinten steht?
Mulder



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Beitrag Mulder Verfasst am: 17. Jan 2008 17:52    Titel: Antworten mit Zitat

Hmm?



So, oder was?
dermarkus
Administrator


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Beitrag dermarkus Verfasst am: 17. Jan 2008 17:57    Titel: Antworten mit Zitat

Einverstanden smile Damit haben wir nun



denn die Position unseres Massenscheibchens heißt ja nun einfach und nicht mehr wie vorher bei den durchnummerierten Stückchen.

Siehst du nun, welchem Integral diese Summe aus infinitesimalen Stückchen entspricht?
Mulder



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Beitrag Mulder Verfasst am: 17. Jan 2008 18:02    Titel: Antworten mit Zitat

Wäre das dann einfach ?
dermarkus
Administrator


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Beitrag dermarkus Verfasst am: 17. Jan 2008 18:04    Titel: Antworten mit Zitat

Das weiß ich noch nicht, so weit können wir doch jetzt noch gar nicht rechnen. Wir sind doch gerade noch dabei, aus der Summe ein Integral zu machen, oder?
Mulder



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Beitrag Mulder Verfasst am: 17. Jan 2008 18:11    Titel: Antworten mit Zitat

Tut mir leid, dann muss ich passen... wie ich das in ein Integral verwandle, will nicht in meinen Schädel.
dermarkus
Administrator


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Beitrag dermarkus Verfasst am: 17. Jan 2008 18:21    Titel: Antworten mit Zitat

Erinnerst du dich noch an den Matheunterricht aus der 11. Klasse? Ein Integral ist ja nichts anderes als die Summe infinitesimaler Stückchen. Also:



Magst du dazu noch die passenden Integralgrenzen ergänzen?
Mulder



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Beitrag Mulder Verfasst am: 17. Jan 2008 21:03    Titel: Antworten mit Zitat

Hmmm... man integriert doch von 0 bis H, oder? Über den ganzen Zylinder...

dermarkus
Administrator


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Beitrag dermarkus Verfasst am: 17. Jan 2008 21:09    Titel: Antworten mit Zitat

Einverstanden smile

Entschuldige übrigens, dass ich in der Gleichung manchmal fälschlicherweise noch geschrieben hatte, das soll natürlich da auch schon heißen.

Weißt du auch schon, was die Integrationsvariable in diesem Integral ist? Und kannst du damit das Integral schon komplett ausrechnen?
Mulder



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Beitrag Mulder Verfasst am: 17. Jan 2008 23:50    Titel: Antworten mit Zitat

dermarkus hat Folgendes geschrieben:
Entschuldige übrigens, dass ich in der Gleichung manchmal fälschlicherweise noch geschrieben hatte, das soll natürlich da auch schon heißen.


Nun gut, das lasse ich ganz ausnahmsweise nochmal durchgehen. Big Laugh Augenzwinkern

Okay, Scherz beiseite...

dermarkus hat Folgendes geschrieben:
Weißt du auch schon, was die Integrationsvariable in diesem Integral ist? Und kannst du damit das Integral schon komplett ausrechnen?


Da hänge ich noch ein wenig. Die Frage ist ja, was ich davon noch davor ziehen kann. Und ziemlich ungemütlich finde ich auch das x in der Klammer. Einfches ausmultiplizieren bringt da irgendwie herzlich wenig.
dermarkus
Administrator


Anmeldungsdatum: 12.01.2006
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Beitrag dermarkus Verfasst am: 18. Jan 2008 00:12    Titel: Antworten mit Zitat

Welche Variable läuft denn da von 0 bis H ?



Das im Integral mal auszumultiplizieren, ist sicher kein schlechter Schritt auf dem Weg, dieses Integral auszurechnen smile
Mulder



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Beitrag Mulder Verfasst am: 18. Jan 2008 01:36    Titel: Antworten mit Zitat

dermarkus hat Folgendes geschrieben:
Welche Variable läuft denn da von 0 bis H ?


Die Höhe x.

dermarkus hat Folgendes geschrieben:
Das im Integral mal auszumultiplizieren, ist sicher kein schlechter Schritt auf dem Weg, dieses Integral auszurechnen


Nein? Ist ja hässlich... nun gut, dann wäre ich jetzt an diesem Punkt:



In Ordnung?
dermarkus
Administrator


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Beitrag dermarkus Verfasst am: 18. Jan 2008 01:38    Titel: Antworten mit Zitat

Ja smile Nur weiter so smile
Mulder



Anmeldungsdatum: 01.11.2007
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Beitrag Mulder Verfasst am: 18. Jan 2008 01:43    Titel: Antworten mit Zitat

Hmm... okay, wenn ich das dann einfach mal so integriere, erhalte ich nach dem ganzen zusammenfassen (wenn ich den Rechenschritt noch aufschreiben soll, dann lass es mich wissen):



Einwände?
dermarkus
Administrator


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Beitrag dermarkus Verfasst am: 18. Jan 2008 01:48    Titel: Antworten mit Zitat

Keine smile

Nun bleibt nur noch, das M auszurechnen.

Kannst du dafür auf ganz ähnliche Weise ein Integral aufstellen?
Mulder



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Beitrag Mulder Verfasst am: 18. Jan 2008 01:53    Titel: Antworten mit Zitat

dermarkus hat Folgendes geschrieben:
Kannst du dafür auf ganz ähnliche Weise ein Integral aufstellen?


Nimmt das denn gar kein Ende? smile

Okay, versuchen wir es mal.



Geht das in Ordnung?
dermarkus
Administrator


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Beitrag dermarkus Verfasst am: 18. Jan 2008 02:03    Titel: Antworten mit Zitat

Was hast du da für die Masse m(x) eingesetzt? Magst du das nochmal mit dem vergleichen, was du oben schon mal hattest?

Mulder hat Folgendes geschrieben:

Mulder



Anmeldungsdatum: 01.11.2007
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Beitrag Mulder Verfasst am: 18. Jan 2008 02:06    Titel: Antworten mit Zitat

Ups.... also so:



Wenn ich das jetzt ganz stur einsetze.. vorhin hatten wir ja m(x)*x, und jetzt betrachten wir nur m(x), oder?
dermarkus
Administrator


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Beitrag dermarkus Verfasst am: 18. Jan 2008 02:09    Titel: Antworten mit Zitat

Genau smile
Mulder



Anmeldungsdatum: 01.11.2007
Beiträge: 80

Beitrag Mulder Verfasst am: 18. Jan 2008 02:16    Titel: Antworten mit Zitat

Also gut, dann integriere ich das einfach wieder auf.

Dann habe ich den ganzen Schmand zusammengefasst, vereinfacht, gekürzt und so weiter und nun bin ich bange, dass das jetzt wieder zu einfach wird, denn ich habe raus:



Das macht ja allein schon physikalisch gesehen keinen Sinn... wenn die Dichte zunimmt, sollte der Schwerpunkt weiter oben anzusiedeln sein.

Ich rechne es noch einmal durch...
Mulder



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Beitrag Mulder Verfasst am: 18. Jan 2008 02:21    Titel: Antworten mit Zitat

Quark... jetzt verrechne ich mich sogar schon bei (2/3) * (5/6)... Hammer

Also, jetzt habe ich

Das klingt plausibel, würde ich sagen...
dermarkus
Administrator


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Beitrag dermarkus Verfasst am: 18. Jan 2008 02:26    Titel: Antworten mit Zitat

Einverstanden smile

Damit haben wir also insgesamt nun erfolgreich eine Formel hergeleitet und verwendet, die folgende Form hatte:

Mulder



Anmeldungsdatum: 01.11.2007
Beiträge: 80

Beitrag Mulder Verfasst am: 18. Jan 2008 02:28    Titel: Antworten mit Zitat



Das meint jetzt die von der Höhe x abhängige Dichte, oder?
dermarkus
Administrator


Anmeldungsdatum: 12.01.2006
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Beitrag dermarkus Verfasst am: 18. Jan 2008 02:38    Titel: Antworten mit Zitat

Ja. Die hast du oben mit deinem Diagramm aufgestellt.
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