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shadow07
Anmeldungsdatum: 08.04.2007
Beiträge: 371
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 shadow07 Verfasst am: 23. Sep 2007 01:10 Titel: Schwerpunkt und Hauptträgheitsmomente eines Dreiecks |
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Hallo,
folgende Aufgabe:
Man hat drei gleiche Massen m und ein gleichschenkliges Dreieck. Die beiden gleich langen Schenkel schließen den Winkel  ein. Man berechne den Schwerpunkt.
Es gilt ja  für den Schwerpunkt.
Also hat man }{3m}=\frac{r_1 + r_2 + r_3}{3})
Das Ganze muss ich jetzt für x und y machen, denke ich.
Wie berechne ich die Radien? Lege ich den Schwerpunkt gedanklich in den Koordinatenursprung?
Zuletzt bearbeitet von shadow07 am 26. Sep 2007 18:13, insgesamt einmal bearbeitet |
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
Beiträge: 5786
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| as_string Verfasst am: 23. Sep 2007 02:14 Titel: |
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Hallo!
Erstmal ist ja klar, dass sich der Schwerpunkt auf der Symmetrie-Achse befinden muss. Ich würde jetzt erstmal so ein Dreieck aufzeichnen und zwar so, dass ich gerade die Seite, die als einzige eine andere Länge hat, waagerecht lege, so dass der Winkel von in der oberen Ecke gerade gegenüber der waagerechten Seite habe.
Dann kannst Du sehen, dass sich das Dreieck z. B. in zwei rechtwinklige Dreiecke zerlegen lässt, bei der jeweils die eine Kathete die Symmetrieachse in der Mitte ist und die andere eine Hälfte der waagerecht liegenden Seite des großen gleichschenkligen Dreiecks vom Anfang. Die Hypotenuse ist dann jeweils eine der beiden gleichlangen Schenkel des ursprünglichen Dreiecks. Diese beiden rechtwinkligen Dreiecke haben jeweils einen Winkel  in ihrer Ecke oben. Dann kannst Du die Höhe der oberen Masse schon mit ) berechnen, wenn d die Länge einer der beiden gleichlangen Seiten des großen Dreiecks ist. Hier ist übrigens die Frage, welche Länge überhaupt noch als gegeben angenommen werden soll. Der Winkel alleine genügt nämlich nicht. Wenn die Länge der waagerechten Grundseite gegeben ist, dann müsste man den Tangens verwenden und mit der halben Grundseite rechnen.
Für die Höhe des Schwerpunkts in y-Richtung (also senkrechter Richtung) kannst Du jetzt einfach ein Drittel der Höhe des gesamten Dreiecks nehmen, weil die y-Koordinate der beiden unteren Massen ja 0 ist und die der Masse in der Spitze ist h, also liegt der Schwerpunkt bei 1/3 h.
In x-Richtung liegt er einfach auf der Hälfte der Grundlinie bzw. an der selben x-Koordinate, wie die obere Masse hat.
Wie Du das genau angeben sollst, weiß ich aber auch nicht.
Gruß
Marco
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shadow07
Anmeldungsdatum: 08.04.2007
Beiträge: 371
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| shadow07 Verfasst am: 24. Sep 2007 18:58 Titel: |
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Hallo!
Ich erinnere mich auch, dass bei einem gleichschenkligen Dreieck der Schwerpunkt bei 1/3h liegt.
Kann man das nicht auch mit dem Schwerpunktsatz zeigen? Die 3 steht ja schon mal richtig im Nenner.
Man soll es auf theoretischer Basis lösen, nicht auf geometrischer.
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
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shadow07
Anmeldungsdatum: 08.04.2007
Beiträge: 371
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| shadow07 Verfasst am: 24. Sep 2007 21:21 Titel: |
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Stimmt, so kann man es machen 
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
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| schnudl Verfasst am: 25. Sep 2007 08:18 Titel: |
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| shadow07 hat Folgendes geschrieben: | | Stimmt, so kann man es machen |
Oder eben wie @as_string es beschrieben hat. Kommt auf das selbe raus:
| Zitat: | | Für die Höhe des Schwerpunkts in y-Richtung (also senkrechter Richtung) kannst Du jetzt einfach ein Drittel der Höhe des gesamten Dreiecks nehmen, weil die y-Koordinate der beiden unteren Massen ja 0 ist und die der Masse in der Spitze ist h, also liegt der Schwerpunkt bei 1/3 h. |
Leider hab ich nicht sofort erkannt was er meinte, sonst hätte ich mir das Posting gleich erspart.
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shadow07
Anmeldungsdatum: 08.04.2007
Beiträge: 371
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| shadow07 Verfasst am: 26. Sep 2007 17:26 Titel: |
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Hallo!
Alles klar. Danke 
Wenn ich jetzt den Trägheitstensor auf den Schwerpunkt anwende, dann fallen ja die Hauptträgheitsachsen mit den Koordinatenachsen zusammen.
Auf Wiki findet man )
In Matrixschreibweise wäre das: 
Das Ding ist symmetrisch und eine Hauptträgheitsachse fällt mit der Symmetrieachse zusammen. Die anderen zwei stehen senkrecht dazu.
Nun meine drei Fragen:
Wie sieht der Trägheitstensor für den Schwerpunkt dieses Dreiecks aus? Ich glaube die Deviationsmomente können hier verschwinden, da der Koordinatenursprung fest bleibt. Da es sich um einen 3D-Körper handelt, müsste man ja dann über das Volumen integrieren, oder? Die Dichte ist zwar konstant, aber nicht bekannt.
Wenn das so stimmt (was ich glaube), woher weis ich über welche Grenzen ich jeweils integrieren muss? Muss ja irgendetwas mit 1/3 und 2/3 sein.
EDIT: Im Moment bin ich mir gar nicht mehr sicher, ob es nicht doch ein 2D-Körper bleibt. Wenn ja, dann müsste man ja über die Summation gehen.
Oder muss ich die Matrix erst diagonalisieren, um die Hauptdiagonalelemente (=Hauptträgheitsmomente) stehen zu haben?
Woher weis ich, ob die Deviationsmomente null sind oder nicht?
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
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| schnudl Verfasst am: 26. Sep 2007 22:42 Titel: |
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Wenn man alle z Komponenten auf Null setzt und das Dreieck mit der "Spitze" in y-Richtung zeigt, bekommt man
Dass die restlichen Nebendiagonalelemente Null sind, ergibt sich aus der Geometrie. Somit sind alle Deviationsmomente Null.
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shadow07
Anmeldungsdatum: 08.04.2007
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| shadow07 Verfasst am: 26. Sep 2007 22:48 Titel: |
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Das wäre jetzt der Trägheitstensor im Schwerpunkt? Im Prinzip könnte man dann auch x oder y null setzen, je nachdem wie man das Koordinatensystem legt.
Wie berechne ich nun meine Hauptträgheitsmomente?
Zuletzt bearbeitet von shadow07 am 26. Sep 2007 22:55, insgesamt 2-mal bearbeitet |
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
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| schnudl Verfasst am: 26. Sep 2007 22:53 Titel: |
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| shadow07 hat Folgendes geschrieben: | Das wäre jetzt der Trägheitstensor im Schwerpunkt?
ja
Im Prinzip könnte man dann auch x oder y null setzen, je nachdem wie man das Koordinatensystem legt.
Wie berechne ich nun meine Hauptträgheitsmomente?
Für diesen Fall, ja
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Nur vorsicht: Die deviationsmomente verschwinden nicht automatisch wenn der Urprung mit dem Schwerpunkt zusammenfällt. Würde man das Dreieck um zB 20° um z kippen, dann wäre I(i,j) nichtdiagonal.
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Zuletzt bearbeitet von schnudl am 26. Sep 2007 22:56, insgesamt einmal bearbeitet |
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shadow07
Anmeldungsdatum: 08.04.2007
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| shadow07 Verfasst am: 26. Sep 2007 22:55 Titel: |
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Ich hätte jetzt gedacht, dass eines der drei Null ist, da das Dreieck in einer Ebene liegt.
Kann man da so mit der Summe stehen lassen?
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
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| schnudl Verfasst am: 26. Sep 2007 22:59 Titel: |
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Wenn eines der I(ii) Null wäre, dann könnte man das Dreieck um diese Achse i drehen ohne "Trägheit" zu spüren. Glaubst du wirklich, dass das geht?
Das Endergebnis würde ich noch durch den Winkel ausdrücken, da die xi und yi ja nicht explizit gegeben sind.
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shadow07
Anmeldungsdatum: 08.04.2007
Beiträge: 371
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| shadow07 Verfasst am: 26. Sep 2007 23:12 Titel: |
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| schnudl hat Folgendes geschrieben: | | Wenn eines der I(ii) Null wäre, dann könnte man das Dreieck um diese Achse i drehen ohne "Trägheit" zu spüren. Glaubst du wirklich, dass das geht? |
Klingt ersichtlich.
| schnudl hat Folgendes geschrieben: |
Das Endergebnis würde ich noch durch den Winkel ausdrücken, da die xi und yi ja nicht explizit gegeben sind. |
Du meinst mit dem Sinus/Cosinus und der Höhe des Dreiecks?
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
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| schnudl Verfasst am: 26. Sep 2007 23:13 Titel: |
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| shadow07 hat Folgendes geschrieben: | | schnudl hat Folgendes geschrieben: | | Wenn eines der I(ii) Null wäre, dann könnte man das Dreieck um diese Achse i drehen ohne "Trägheit" zu spüren. Glaubst du wirklich, dass das geht? |
Klingt ersichtlich.
| schnudl hat Folgendes geschrieben: |
Das Endergebnis würde ich noch durch den Winkel ausdrücken, da die xi und yi ja nicht explizit gegeben sind. |
Du meinst mit dem Sinus/Cosinus und der Höhe des Dreiecks? |
irgendwie so halt ...  hab ich mir nicht mehr angesehen.
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shadow07
Anmeldungsdatum: 08.04.2007
Beiträge: 371
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| shadow07 Verfasst am: 26. Sep 2007 23:23 Titel: |
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| schnudl hat Folgendes geschrieben: | | irgendwie so halt ... hab ich mir nicht mehr angesehen. |
Pfui auf dich 
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shadow07
Anmeldungsdatum: 08.04.2007
Beiträge: 371
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| shadow07 Verfasst am: 27. Sep 2007 13:06 Titel: |
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Ich denke so muss das aussehen:
Was jetzt schwierig wird sind die Integrationsgrenzen. Wahrscheinlich kommt hier der Winkel  ins Spiel. Aber keine Ahnung wie man das löst. Bei einem Quadrat wäre es noch leicht gewesen.
Vielleicht kommt man auch einfach mit  weiter.
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schnudl
Moderator
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| schnudl Verfasst am: 27. Sep 2007 20:18 Titel: |
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Wozu willst du nun unbedingt integrieren, wo es sich doch um eine diskrete Massenverteilung handelt ???? Du müsstest die Massen erst recht wieder durch Dirac'sche Deltafunktionen ersetzen und aus dem Integral würde wiederum eine Summe...
Die Lösung steht ja schon in deinen drei Formeln für die Hauptträgheitsmomente. Ich meine nur, du solltest noch die xi und yi durch die "bekannten" Dimensionen des Dreiecks (Winkel und Höhe) ersetzen.
Nun musst du nur noch einsetzen
oder so ... (habs nicht kontrolliert)
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shadow07
Anmeldungsdatum: 08.04.2007
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| shadow07 Verfasst am: 27. Sep 2007 21:29 Titel: |
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Ok
Wenn meine Hauptträgheitsachsen im Schwerpunkt liegen (egal um welchen Körper es sich dabei handelt), sind dann die Deviationsmomente stets null? Ich würde mal sagen ja, aber bin mir nicht sicher.
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schnudl
Moderator
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| schnudl Verfasst am: 27. Sep 2007 22:44 Titel: |
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| shadow07 hat Folgendes geschrieben: | | Wenn meine Hauptträgheitsachsen im Schwerpunkt liegen (egal um welchen Körper es sich dabei handelt), sind dann die Deviationsmomente stets null? Ich würde mal sagen ja, aber bin mir nicht sicher. |
Wie kommst du da drauf?
Stell dir zwei gleiche Massen vor, mit den Koordinaten
P1: (x=1/y=1/z=0)
und
P1: (x=-1/y=-1/z=0)
Der Schwerpunkt liegt dann in (0/0/0). Die Hauptträgheitsachsen gehen in +45°/-45° durch durch den Schwerpunkt, aber das Deviationsmoment I(21) bezüglich des gewählten Koordinatensystems ist
 \cdot (-1)) \ne 0)
Das hab ich gestern schon gesagt:
| Zitat: | | Nur vorsicht: Die deviationsmomente verschwinden nicht automatisch wenn der Urprung mit dem Schwerpunkt zusammenfällt. Würde man das Dreieck um zB 20° um z kippen, dann wäre I(i,j) nichtdiagonal. |
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shadow07
Anmeldungsdatum: 08.04.2007
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| shadow07 Verfasst am: 27. Sep 2007 23:05 Titel: |
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| schnudl hat Folgendes geschrieben: |
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Ok, gehe ich dann über das charakteristische Polynom oder kann ich jede Zeile für sich ausrechnen?
| schnudl hat Folgendes geschrieben: |
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Ich denke hier muss es
heißen.
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schnudl
Moderator
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| schnudl Verfasst am: 27. Sep 2007 23:43 Titel: |
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Sorry. Ich bin davon ausgegangen dass die beiden gleichen Schenkel den Winkel einschliessen. Es soll aber laut Angabe sein...
Daher
Ich wollte daher sagen
)
nicht
/2)
Wir reden irgendwie aneinander vorbei. Das kann man aus meiner Zeichnung ablesen, nur auf diese beziehe ich mich.
Wozu brauchst du nun das charakteristische Polynom ? 
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shadow07
Anmeldungsdatum: 08.04.2007
Beiträge: 371
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| shadow07 Verfasst am: 28. Sep 2007 00:08 Titel: |
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| schnudl hat Folgendes geschrieben: | Sorry. Ich bin davon ausgegangen dass die beiden gleichen Schenkel den Winkel einschliessen. Es soll aber laut Angabe sein...
Daher
( |
Wenn der Ursprung im Schwerpunkt liegt sehe ich nicht wie du auf h kommst für die Ankathete.
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schnudl
Moderator
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| schnudl Verfasst am: 28. Sep 2007 00:21 Titel: |
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Nimm ein halbes rotes Dreieck her (rechtwinkelig), zB das linke.
Dann ist
oder ?
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shadow07
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| shadow07 Verfasst am: 28. Sep 2007 00:27 Titel: |
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| schnudl hat Folgendes geschrieben: | Nimm ein halbes rotes Dreieck her (rechtwinkelig), zB das linke.
Dann ist
oder ? |
Korrekt. Ich hatte es anders gerechnet, in dem ich mit 1/3h gerechnet habe, indem der Ursprung im Schwerpunkt liegt. Dann liegt a und b jeweils 1/3h unterhalb der x-Achse, welches auch die Ankathete darstellt. Der Winkel findet sich in dem unteren Teil nochmal wieder.
Beides klingt mir logisch
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schnudl
Moderator
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| schnudl Verfasst am: 28. Sep 2007 00:35 Titel: |
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und auf was kommst du ? es muss das gleiche sein...egal wie mans rechnet.
Welcher Winkel ist der gleiche ?
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shadow07
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| shadow07 Verfasst am: 28. Sep 2007 12:06 Titel: |
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Ich habe nochmal eine Nacht drüber geschlafen und du hast recht. Ich habe meinen Denkfehler gefunden.
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