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Infernosquirrel
Anmeldungsdatum: 06.02.2015
Beiträge: 9
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 Infernosquirrel Verfasst am: 06. Feb 2015 21:15 Titel: Feld im inneren eines nichtleitenden Zylinders |
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Hallo Leute,
ich hänge ein bisschen an folgender Aufgabe:
Gegeben sei ein langer geradeliniger Zylinder mit Radius R und einer Linienladungsdichte Lambda (Ladungen pro Längeneinheit). Der Zylinder ist homogen geladen und nicht leitend. Benutzen Sie das Gauss'sche Gesetz um explizit das el. Feld im Abstand r von der Drahtachse innerhalb und außerhalb des Drahtes zu berechnen. Skizieren Sie E(r).
Wie ich das Feld außerhalb des Zylinders (E = Lambda/E0*r*Pi*2) berechne ist mir klar, wie komme ich jedoch zum Feld innerhabl des Zylinders? Geht das ähnlich wie das Feld innerhalb einer nichtleitenden Vollkugel?
LG
Zuletzt bearbeitet von Infernosquirrel am 06. Feb 2015 21:46, insgesamt einmal bearbeitet |
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bernd12345
Gast
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| bernd12345 Verfasst am: 06. Feb 2015 21:41 Titel: |
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Was denn nun Linienladungsdichte oder Flächenladungsdichte? Eigentlich mach nur letzter Sinn. Dann funktioniert das genai so wie bei der Kugel, nur eben mit einem Zylinder. Solange der Abstand r von der Achse im Außenraum nicht größer als die Länge ist, ist das Feld zylindersymmetrisch. Weiter Außen würde es Kugelsymmetrisch, weil dann auch jede Kugel die Ladung einschließen würde. Da aber von einem langen Zylinder die Rede ist, ist das wohl eher unwichtig, was mit den Randtermen passiert. Formulier dochmal deine Flächenladungsdichte und dann das Gaußsche Gesetz mit entsprechendem Satz unter Verwendung dieser Dichte, dann schauen wir mal.
Oder ist mit Linienladungsdichte (Ladung pro Fläche) gemeint, dass das die Ladungsdichte pro Länge ist, also Quasi Rho/L? |
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Infernosquirrel
Anmeldungsdatum: 06.02.2015
Beiträge: 9
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| Infernosquirrel Verfasst am: 06. Feb 2015 21:47 Titel: |
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Sorry da hab ich mich vertippt gegeben ist nur die Linienladungsdichte ( Ladungen pro Längeneinheit). |
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bernd12345
Gast
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| bernd12345 Verfasst am: 06. Feb 2015 22:18 Titel: |
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| Infernosquirrel hat Folgendes geschrieben: | | Sorry da hab ich mich vertippt gegeben ist nur die Linienladungsdichte ( Ladungen pro Längeneinheit). |
Ok, da steht noch ein Hinweis, nämlich, dass der Zylinder homogen geladen ist. Das bedeutet, das in jedem Längenelement deine Ladung sich gleichmäßig über die Kreisfäche verteilt. Also kannst du dir das so vorstellen, dass du eigentlich eine homogene Volumenladungsdichte Rho vorliegen hast. Um die Länge zu ignorieren wurde daraus eine Linienladungsdichte gemacht. Diese entspricht quasi der Volumenladungsdichte, mal der Kreisfläche des zylinders. Wenn du das beachtet hast, lässt sich wie üblich vorgehen. Analog zur geladenen Vollkugel (nichtleitend). Also alles was zu tun ist ist den gaußschen Satz zu verwende und die Ladung Q durch dein Lambda auszusrücken. Und dann musst du zwischen innen und außen unterscheiden und dir überlegen, wie Q in Abhängigkeit vom Radius aussieht.
Probiers mal! |
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Infernosquirrel
Anmeldungsdatum: 06.02.2015
Beiträge: 9
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| Infernosquirrel Verfasst am: 06. Feb 2015 22:35 Titel: |
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Also habe ich außerhalb des Zylinders
und innerhalb
 = \lambda * V)
 = \lambda * r^{2} \pi L)
Und dieses Q setze ich dann wieder in die Gauß Formel ein? |
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bernd12345
Gast
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| bernd12345 Verfasst am: 06. Feb 2015 23:09 Titel: |
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| Infernosquirrel hat Folgendes geschrieben: | Also habe ich außerhalb des Zylinders
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Das ist soweit in Ordnung. Ganz korrekt, was die Länge angeht, wäre es so (nur dass du den Zusammenhang zwischen \rho und \lambda mal siehst):
| Infernosquirrel hat Folgendes geschrieben: |
und innerhalb
Und dieses Q setze ich dann wieder in die Gauß Formel ein? |
Das ergibt keinen Sinn!
Du hast ein Lambda für das gilt:
Lambda ist dabei von z unabhängig, da der Zylinder ja homogen geladen ist. Das heißt als \lambda multipliziert mit er Länge des Zylinders gibt dir die Gesamt ladung des Zylinders. Genau das hast du ja für den Außenraum verwendet. Da ist nämlich die eingeschlossene Ladung Q=Q=const. unabhängig vom abstand. Im Innnraum ist das nicht so.
Du hast jetzt die Möglichkeit, dir deine Linienladungsdichte explizit aufzuschreiben (in Abhängigkeit von Q). Oder aber, und das würde ich machen, du Stellst eine einfach Verhältnisgleichungauf, die Irgendwie die Gesamtladung, die Ladung innerhalb(in Abhängigkeit von r) und die entsprechenden zugehörigen Volumina ins Verhältnis setzt. Dann lambda in deine Gesamtladung einsetzen und nach Q_in umstellen.
Beides führt zum Ziel. Vielleicht probierst du es, mit der expliziten Variante um zu sehen, was rauskommen muss und probierst dich dann mal an der Verhältnisgleichung, die du dann in Zukunft in solchen Situationen verwendest. |
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bernd12345
Gast
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| bernd12345 Verfasst am: 06. Feb 2015 23:10 Titel: |
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| bernd12345 hat Folgendes geschrieben: |
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Latex-Fehler |
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Infernosquirrel
Anmeldungsdatum: 06.02.2015
Beiträge: 9
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| Infernosquirrel Verfasst am: 06. Feb 2015 23:51 Titel: |
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Ok also die Gesamtladung ist ja demnach 
Aber wie komme ich jetzt am besten zur eingeschlossenen Ladung?
Ladungsdichte mal Eingeschlossenes Volumen oder?
Aber so ganz hab ich den Zusammenhang zwischen Rho und Lambda noch nicht verstanden... Wie schaffe ich es bei der gegebenen Ladungen pro Längeneinheit den Radius einfließen zu lassen? |
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bernd12345
Gast
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| bernd12345 Verfasst am: 07. Feb 2015 00:00 Titel: |
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| Infernosquirrel hat Folgendes geschrieben: | Ok also die Gesamtladung ist ja demnach
Aber wie komme ich jetzt am besten zur eingeschlossenen Ladung?
Ladungsdichte mal Eingeschlossenes Volumen oder?
Aber so ganz hab ich den Zusammenhang zwischen Rho und Lambda noch nicht verstanden... Wie schaffe ich es bei der gegebenen Ladungen pro Längeneinheit den Radius einfließen zu lassen? |
Genau Ladungsdichte mal Volumen.
Damit bekommste ja quasi deine (Volumen-)Ladungsdichte schonmal ohne Probleme raus, da ja offensichtlich gilt:
Damit lässt sich ja jetzt leicht mit bisschen überlegen herausfinden, wieviel Ladung innerhalb des Radius r<R enthalten ist. Und Anschließen kann man per Gauß wieder das Feld bestimmen.
Und am Ende schauen wir uns das ganze an, wie man leicht per Verhältnisgleichung auf das selbe kommt.
Probier mal des Feld innen zu berechnen jetzt. |
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Infernosquirrel
Anmeldungsdatum: 06.02.2015
Beiträge: 9
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ohneplan123
Gast
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| ohneplan123 Verfasst am: 07. Feb 2015 00:16 Titel: |
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| Infernosquirrel hat Folgendes geschrieben: | Ah ok als:
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Da fehlt beim Umstellen ein Faktor 2 im Nenner!
Ansonsten stimmt das so.
Jetzt setzt du noch Lambda für Rho aus der obigen Relation zwischen Q, Lambda und Rho ein und du hast deine Lösung.
Die da wäre? |
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bernd12345
Gast
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| bernd12345 Verfasst am: 07. Feb 2015 00:17 Titel: |
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| ohneplan123 hat Folgendes geschrieben: | | Infernosquirrel hat Folgendes geschrieben: | Ah ok als:
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Da fehlt beim Umstellen ein Faktor 2 im Nenner!
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Sorry übersehen! |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 07. Feb 2015 00:20 Titel: |
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| ohneplan123 hat Folgendes geschrieben: | | Da fehlt beim Umstellen ein Faktor 2 im Nenner! |
Wo fehlt der denn? Der steht doch da! |
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Infernosquirrel
Anmeldungsdatum: 06.02.2015
Beiträge: 9
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| Infernosquirrel Verfasst am: 07. Feb 2015 00:32 Titel: |
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Also fast geschafft
Eingesetzt ergibt sich dann
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 07. Feb 2015 00:42 Titel: |
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| Infernosquirrel hat Folgendes geschrieben: | Also fast geschafft
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Das ist falsch. Löse doch einfach die erste Gleichung richtig nach  auf
| Infernosquirrel hat Folgendes geschrieben: | Eingesetzt ergibt sich dann
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Das ist dann natürlich ebenfalls falsch. Außerdem wäre das derselbe hyperbolische Feldverlauf wie außerhalb des Zylinders. Die Feldstärke bei r=0 wäre unendlich groß. Ist das realistisch, wo doch bei r=0 gar keine Ladung eingeschlossen ist? |
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Infernosquirrel
Anmeldungsdatum: 06.02.2015
Beiträge: 9
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| Infernosquirrel Verfasst am: 07. Feb 2015 00:52 Titel: |
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Welche erste Gleichung meinst du denn? |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 07. Feb 2015 01:00 Titel: |
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| Infernosquirrel hat Folgendes geschrieben: | ...
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Welche dieser beiden Gleichungen ist wohl die erste? Ich beginne jedenfalls immer von oben zu zählen. Du nicht?
| Infernosquirrel hat Folgendes geschrieben: | Eingesetzt ergibt sich dann
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Noch ein Hinweis: Nach dieser Gleichung ist die Raumladungsdichte abhängig von r. Laut Aufgabenstellung soll sie aber konstant sein.
Zuletzt bearbeitet von GvC am 07. Feb 2015 01:01, insgesamt einmal bearbeitet |
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bernd12345
Gast
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| bernd12345 Verfasst am: 07. Feb 2015 01:00 Titel: |
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| Infernosquirrel hat Folgendes geschrieben: | | Welche erste Gleichung meinst du denn? |
Die erste Gleichung aus dem Teil, den er von dir Zitiert hat.
Du musst zwischen r und R unterscheiden. Das eine ist ein festgeschriebener Wert, der Radius deines Zylinders, das andere ist ein variabler Radius eines Zylinders, den du als Testvolumen für dein Integral verwendest.
Also nochmal! |
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Infernosquirrel
Anmeldungsdatum: 06.02.2015
Beiträge: 9
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| Infernosquirrel Verfasst am: 07. Feb 2015 01:18 Titel: |
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@GvC naja Java zB beginnt bei 0 zu Zählen nicht bei eins aber Spaß beiseite, hab gemeint vielleicht meinst du eine der anderen vorher erwähnten Gleichungen
Also nochmal:
Sollte so Stimmen oder? |
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bernd12345
Gast
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| bernd12345 Verfasst am: 07. Feb 2015 01:29 Titel: |
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| Infernosquirrel hat Folgendes geschrieben: |
Sollte so Stimmen oder? |
Jap, so ist es richtig!
Entsprechend noch das Feld ordentlich komplett Aufschreiben (für den gesamten Raum) und gut ist.
Jetzt mal noch die Info, wie du dir die ganzen Überlegungen zu Rho und Lambda sparen kannst.
Einfache Verhältnisgleichung wäre:
} = \frac{\lambda L}{Q(r)} = \frac{V_{ges}}{V(r)}=\frac{\pi R^2 L}{\pi r^2 L} )
 = \lambda L \frac {r^2}{R^2})
Der Vorteil ist, dass du das direkt in den Gauß Satz einsetzen kannst.
Wie du es am Ende machst ist dir überlassen, Hauptsache du behälst die Übersicht. |
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Infernosquirrel
Anmeldungsdatum: 06.02.2015
Beiträge: 9
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| Infernosquirrel Verfasst am: 07. Feb 2015 10:55 Titel: |
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Ok vielen dank für die schnelle und kompetente Hilfe |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 08. Feb 2015 09:44 Titel: |
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Vielleicht noch ein letzter Hinweis: Der Zylinder besteht aus einem festen Dielektrikum. Anderenfalls könnte in ihm keine konstante Raumladungsdichte existieren. Es gibt kein Dielektrikum, dessen Permittivitätszahl gleich 1 ist (kleinste Permittivitätszahl für festes Dielektrikum ist ca. 2). Das führt dazu, dass an der Stelle R, also an der Oberfläche des Zylinders zwei unterschiedliche Feldstärken existieren, nämlich an der "Innenseite" der Oberfläche und an der "Außenseite". An der Außenseite ist die Feldstärke  -mal so hoch wie an der Innenseite, sofern der Zylinder sich in Luft oder einem anderen Gas oder im Vakuum befindet. Das sollte sich auch in den Lösungsformeln ausdrücken, was bislang nicht der Fall ist.
=\frac{\lambda}{2\pi R\epsilon_0\epsilon_r})
und
=\frac{\lambda}{2\pi R\epsilon_0}) |
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bernd12345
Gast
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| bernd12345 Verfasst am: 08. Feb 2015 15:11 Titel: |
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| GvC hat Folgendes geschrieben: | Vielleicht noch ein letzter Hinweis: Der Zylinder besteht aus einem festen Dielektrikum. Anderenfalls könnte in ihm keine konstante Raumladungsdichte existieren. Es gibt kein Dielektrikum, dessen Permittivitätszahl gleich 1 ist (kleinste Permittivitätszahl für festes Dielektrikum ist ca. 2). Das führt dazu, dass an der Stelle R, also an der Oberfläche des Zylinders zwei unterschiedliche Feldstärken existieren, nämlich an der "Innenseite" der Oberfläche und an der "Außenseite". An der Außenseite ist die Feldstärke -mal so hoch wie an der Innenseite, sofern der Zylinder sich in Luft oder einem anderen Gas oder im Vakuum befindet. Das sollte sich auch in den Lösungsformeln ausdrücken, was bislang nicht der Fall ist.
und
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Sehr richtig  Du bist Elektrotechniker, oder? In der theoretischen Physik wird darauf leider weniger acht gelegt, weil es ja für die Rechnung an sich keinen Unterschied macht. Man könnte auch immer \epsilon schreiben, dann ist man auf der sicheren Seite, da das ja dann sowohl \epsilon_0 als auch \epsilon_r beinhaltet. Allerdings ist das fürs Verständnis der ganzen Sache durchaus wichtig und richtig darauf Wert zu legen. |
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