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Henri
Anmeldungsdatum: 08.02.2014
Beiträge: 82
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 Henri Verfasst am: 26. Nov 2014 14:53 Titel: Fourierintegral der Greenschen Funktion |
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Hi,
Ich bin momentan ziemlich verwirrt was Fouriertransformationen betrifft, da in den Aufzeichnungen die ich habe teilweise die Integrationsvariablen vertauscht sind.  Es ist doch richtig, dass die FT wie folgt aussieht?
 = \int \! f(\vec{r}) \, \dd^3 \vec{r} \cdot e^{-i\vec{k}\vec{r}})
 = \frac{1}{(2\pi)^3} \int \! \tilde f(\vec{k}) \, \dd^3 \vec{k} \cdot e^{i\vec{k}\vec{r}})
Denn in einer Mitschrift finde ich:
 = \frac{1}{(2\pi)^3} \int \! f(\vec{r}) \, \dd^3 \vec{k} \cdot e^{-i\vec{k}\vec{r}})
 = \int \! \tilde f(\vec{k}) \, \dd^3 \vec{r} \cdot e^{i\vec{k}\vec{r}})
Nun ist die Mitschrift nicht von mir, und ich weiß nicht genau ob ggf. etwas falsch abgeschrieben wurde... Mein Problem ist nun dass ich nicht weiß wie die Greens-Funktion aussehen soll; betrachten wir mal die Poission-Gleichung aus der Mitschrift:
)
Fouriertransformation liefert mir (nach der Def. oben, welche ich für richtig halte):
 = \int \! \Phi(\vec{r}) \, \dd^3 \vec{r} \cdot e^{-i\vec{k}\vec{r}})
 = \frac{1}{(2\pi)^3} \int \! \tilde \Phi(\vec{k}) \, \dd^3 \vec{k} \cdot e^{i\vec{k}\vec{r}} = \frac{1}{(2\pi)^3} \int \! \tilde \rho(\vec{k}) \cdot \frac{1}{\epsilon_0 k^2}\, \dd^3 \vec{k} \cdot e^{i\vec{k}\vec{r}} = \frac{1}{\epsilon_0(2\pi)^3} \int \! \frac{1}{k^2}\, \dd^3 \vec{k} \int \! \rho(\vec{r'}) \, \dd^3 \vec{r'} e^{i\vec{k} (\vec{r} - \vec{r'})})
In der Mitschrift sind entsprechend auch in der letzten Gleichung r und k vertauscht und die Greensfunktion ist demnach die mit der Integrationsvariablen k (also das innere Integral). Das funktioniert bei mir natürlich nicht, bzw. es wäre dann die mit Integrationsvariable r'. Ich bin mittlerweile ziemlich verwirrt mit den r' und ks, Vielleicht könnte mir einfach mal jemand bestätigen welche FT die richtige ist und wie eurer Meinung nach die Greensfunktion dazu aussehen müsste 
Lg |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18110
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| TomS Verfasst am: 27. Nov 2014 00:07 Titel: Re: Fourierintegral der Greenschen Funktion |
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| Henri hat Folgendes geschrieben: | Es ist doch richtig, dass die FT wie folgt aussieht?
Denn in einer Mitschrift finde ich:
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Die Mitschrift ist falsch. Wenn du über k integrierst, dann kann daraus keine von k abhängige Funktion entstehen. Und wenn du über k integrieren möchtest, dann sollte im Integranden auch eine von k abhängige Funktion stehen.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18110
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| TomS Verfasst am: 27. Nov 2014 00:11 Titel: |
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Trotzdem würde ich das ganze etwas anders notieren:
- es handelt sich um bestimmte Integrale mit Grenzen
- das Volumenelement ist kein Vektor
Ich persönlich finde es übersichtlich, wie folgt zu schreiben:
 = \int_{-\infty}^{+\infty} \dd^3r \, e^{-i\vec{k}\vec{r}} \, f(\vec{r}) )
Rücktransformation analog.
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 27. Nov 2014 10:47 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Trotzdem würde ich das ganze etwas anders notieren:
- es handelt sich um bestimmte Integrale mit Grenzen
- das Volumenelement ist kein Vektor
Ich persönlich finde es übersichtlich, wie folgt zu schreiben:
Rücktransformation analog. |
Punkt 1 verstehe ich nicht. Wir integrieren doch über den gesamten  ... Also, wenn schon unbedingt "Grenzen" angegeben werden sollen, dann doch am ehesten
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18110
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| TomS Verfasst am: 27. Nov 2014 21:04 Titel: |
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Ja, du hast recht, meine Angabe der Grenzen ist für die 1-dim. Integration OK, für 3-dim. falsch
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18110
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| TomS Verfasst am: 27. Nov 2014 21:06 Titel: |
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Trotzdem würde ich das ganze etwas anders notieren:
- es handelt sich um bestimmte Integrale mit Grenzen
- das Volumenelement ist kein Vektor
Ich persönlich finde es übersichtlich, wie folgt zu schreiben:
 = \int_{\mathbb{R}^3} \dd^3r \, e^{-i\vec{k}\vec{r}} \, f(\vec{r}) )
Rücktransformation analog.
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Henri
Anmeldungsdatum: 08.02.2014
Beiträge: 82
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| Henri Verfasst am: 28. Nov 2014 15:11 Titel: |
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Hi,
Ok vielen Dank für die Entwirrung  Dass im 1D von -unendlich bis unendlich integriert wird, war mir klar, der Rest eher nicht.
Jetzt habe ich allerdings noch Probleme die Greens-Funktionen zu berechnen. Also wir haben zunächst die ursprüngliche DGL, also hier die Poisson-Gleichung, auf beiden Seiten Fouriertransformiert. Ich dachte, man stellt nun einfach nach der Fouriertransformierten Lösung um und transformiert zurück, jedoch habe ich dann wieder falsche Integrationsvariablen, weshalb ich auch schlussendlich bei der Transformation unsicher war.
Konkret:
1. FT auf beiden Seiten:
 = \frac{1}{\epsilon_0} \tilde \rho (\vec{k}) \Rightarrow \tilde \Phi (\vec{k}) = \frac{1}{\epsilon_0 k^2 } \tilde \rho (\vec{k}))
2. Rücktransformation:
 = \frac{1}{(2 \pi)^3} \frac{1}{\epsilon_0} \int_{\mathbb{R}^3} \! \frac{\rho(\vec{k})}{k^2} e^{i \vec{k} \vec{r}} \, \dd^3 k)
Bin ich soweit noch richtig?
Der Ansatz ist ja, dass die Lsg. die Faltung der Greensfunktion mit der Inhomogenität ist:
 = \frac{1}{\epsilon_0} \int_{\mathbb{R}^3} \! G(\vec{r}-\vec{r'}) \rho(\vec{r'}) \, \dd^3 r')
Ich muss einen Denkfehler haben; ich dachte man transformiert in der 2. Gleichung noch die Dichte zurück und kann dann die Greensfunktion ablesen, aber ich hab ja dann eine andere Reihenfolge beim Integrieren 
Oder muss ich die Greensche Funktion über Fouriertransformation und Rücktransformation der Beziehung
 = \delta (\vec{r}))
berechnen? Letzteres ergibt für mich jedenfalls Sinn, da die Delta-Distribution transformiert zu e^0 * Vorfaktor wird und man dann nur noch das Fourierintegral hinschreiben muss...
Lg |
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